《爆炸动力学及其应用》一书简介

熊建国

doi:10.11883/1001-1455(1981)02-0109-1

摘要: 《爆炸动力学及其应用》(The Dynamics of Explosion and Its Use)一书于1979年由丹麦ELSVIE科学出版公司出版,作者是捷克J.Henrych博士。该书全面而系统地介绍了爆炸动力学的基本理论及其在土木、机械、采掘等工程与工业应用中的有关问题,总结了作者本人和苏、美等国学者关于将爆炸用于各个方面的实践经验。

聚能装药空中爆炸和水下爆炸都会产生强间断冲击波和高速聚能侵彻体，单一的冲击波载荷和侵彻体载荷毁伤特性不同，2种载荷存在耦合效应，其毁伤效果并不是单一的叠加，耦合效应的存在会使结构的破坏效果较单一冲击波或高速聚能侵彻体单独作用时严重得多。Li等^[1]提出了复合渐进破坏模型来研究材料的损伤和破坏，分析了冲击波和破片联合作用下对复合材料的毁伤机理，验证和评估了复合材料层压板在组合爆炸载荷和破片冲击下的协同效应。Zhang等^[2]研究了聚脲在冲击波和破片组合下对钢靶板防护性能的影响，分析了不同涂层方法的聚脲涂层钢板在爆炸冲击波和爆炸破片耦合作用下的失效特征、损伤过程和微观机制。Wang等^[3]通过水下爆炸实验和数值计算，研究了水下爆炸对含水复合材料结构的损伤，发现聚能侵彻体和冲击波的共同作用会导致含水复合结构的后板的穿孔和塑性变形，在相同装药当量的情况下，聚能装药对结构的破坏比爆破装药更严重。侯海量等^[4]、张成亮等^[5]、李茂等^[6]和Nyström等^[7]的研究结果表明：联合作用毁伤效果大于两者单独作用毁伤效果。因此，研究冲击波和侵彻体载荷的作用时序，对认识耦合毁伤机理具有重要的意义。

有关聚能装药空中爆炸冲击波与侵彻体作用时序的研究，吴华鑫等^[8]分析了冲击波的传播规律和高速破片的运动规律，得到了需要考虑两者耦合作用的爆距和时间判据，结果表明：在近距离空中爆炸情况下，必须考虑冲击波和高速破片的耦合毁伤作用，耦合作用对防护结构的毁伤更严重，毁伤机理更复杂。夏冰寒等^[9]针对柱状装药的预制破片战斗部，结合无量纲分析方法和爆炸驱动理论，确定了影响破片和冲击波相遇位置的关键参数，给出了破片冲击波作用时序的方法。陈长海等^[10]讨论了破片式战斗部空中爆炸下冲击波与破片的耦合作用机制，分析了冲击波和破片在空气中的运动规律，建立了冲击波与破片耦合作用区间的理论计算模型。郑红伟等^[11]从作用强度和作用时间两方面分析了空中爆炸冲击波和破片载荷，提出了一种两者复合作用的判据。吕勇等^[12]分析了破片和冲击波作用靶板的不同时序对靶板损伤变形的影响，结果表明：破片和冲击波对目标的复合毁伤效应不是两者毁伤效应的简单叠加，而是存在特殊的作用机理，研究两者先后到达目标的时序十分必要。赵德辉等^[13]、侯俊亮等^[14]和李峰等^[15]也探讨了空爆冲击波与高速破片这2种载荷的作用时序及其作用规律。但以上学者的研究大都集中在破片杀伤战斗部空中爆炸方面，有关聚能装药战斗部在水下爆炸时，冲击波和侵彻体的作用时序和耦合毁伤效应的认识并不清晰。

聚能装药起爆后不仅会在水中形成强间断冲击波，而且会在爆轰波作用下压垮药型罩形成高速聚能侵彻体，这2种毁伤元的形成时间较接近，这2种高频载荷的作用顺序将进一步影响结构附近冲击载荷的时空演化规律，对结构的破坏具有耦合效应。若冲击波载荷率先作用于结构表面，由于水、爆轰产物、钢板的阻抗不同，冲击波会在多层介质中发生反射、透射，结构内部形成的应力波会产生初期应力损伤，结构将发生塑性大变形甚至拉伸撕裂，侵彻体随后作用于损伤结构，侵彻体的形态及侵彻效果将受到影响。若侵彻体率先击穿结构并形成局部剪切破口，冲击波将在破损结构附近发生反射、绕射、透射等现象，形成复杂的压力时空分布。

为了解决聚能装药水下爆炸冲击波侵彻体载荷作用时序的问题，本文中基于接触爆炸理论和牛顿第二定律，推导药型罩压垮的加速度和速度公式的基本形式，提出完整的求解思路，并结合数值模拟讨论空穴长度为5倍装药半径时聚能装药水下爆炸复杂工况，验证理论公式的可靠性。

1. 基本理论

1.1 空中接触爆炸药型罩的压垮加速度和速度理论公式

1.1.1 爆速和爆压的计算公式

炸药的初始爆速v_d和爆压p_d的计算公式^[16]分别为：

${v_{\text{d}}} = 33.1{Q^{1/2}} + 243.2\omega {\rho _{\rm{e0}}}\;\;\;\;\;\;\; Q = \sum {Q_i}{\omega _i},\;\omega = \sum {\omega _i}{\varpi _i}$

(1)

$p_{\text{d}} = \frac{{{\rho _0}v_{\text{d}}^2 \times {{10}^{ - 6}}}}{{\gamma + 1}}$

(2)

式中：Q为混合炸药的爆热或特征热值，ω为位能因子，ρ_e0为装药密度，Q_i为组分i的爆热或特征热值，ω_i为组分i的位能因子， ${\varpi _i}$ 为混合炸药中组分i的质量分数，γ为绝热指数。

1.1.2 接触爆炸时冲击波垂直入射初始参量

接触爆炸时结构中冲击波的初始参量^[16]：

${p_{\text{x}}} = {\rho _{{\text{m0}}}}\left( {{c_0} + \lambda {u_{\text{x}}}} \right){u_{\text{x}}}$

(3)

${u_{\text{x}}} = \frac{{{v_{\text{d}}}}}{{\gamma + 1}}\left[ {1 - \frac{{\left(\dfrac{{{p_{\text{x}}}}}{p_{\text{d}}} - 1\right)\sqrt {2\gamma } }}{{\sqrt {(\gamma + 1)\dfrac{{{p_{\text{x}}}}}{p_{\text{d}}} + (\gamma - 1)} }}} \right]$

(4)

式中：p_x为接触爆炸时初始爆压，ρ_m0 为结构的密度，u_x为接触爆炸时初始质点速度， ${c_0}$ 和λ为Hugoniot参数。

1.1.3 应力波衰减理论

王作山等^[17]和李金河等^[18]分别对应力波的衰减进行了研究，均采用指数衰减的形式去拟合实验数据，得到了良好的验证，并给出了较常用的公式：

$p\left( x \right) = {p_0}\exp \left( { - \alpha x} \right)$

(5)

式中：p(x)为冲击波进入密实介质传播距离x处的压力，p₀为冲击波进入密实介质时的初始压力，α为密实介质中冲击波压力衰减系数，x为冲击波在密实介质中传播的距离。

冲击波在密实介质中传播的距离x必定与时间t存在一定的函数关系，即x=x(t)，即可得到应力波随时间变换的公式：

$p\left( t \right) = {p_{\text{x}}}\exp \left( { - \alpha t} \right)$

(6)

式中：密实介质中冲击波压力衰减系数α与材料的属性有关，由数据回归得到。

1.1.4 聚能侵彻空中成型加速度和时间的计算

理想化模型的条件为：(1)药型罩受力的瞬间保持原始位置不发生偏移，形状不改变，即药型罩厚度h不变；(2)不同位置的应力波必然不同，本文计算时采用最初分界面处的初始压力峰值；(3)忽略空气阻力的影响。

根据牛顿第二定律和压力公式，得：

$F = ma = {p_1}S$

(7)

式中：m为物体的质量，a为加速度，p₁为压力，S为受力面积。

球缺形战斗部主要由装药及药型罩组成，其中药型罩采用变壁厚设计，内径圆心O₁，内径长度R为12.20 mm，外径圆心O₂，外径长度r为13.99 mm，在起爆后形成典型的爆炸成型弹丸（explosively-formed projectile, EFP）。为了计算EFP参数，以药型罩上的顶部微元M_i为研究对象，药型罩顶部微元和药型罩整体单元的受力分析如图1所示。当采用后端点（O点）起爆时，装药瞬时爆轰，爆轰波阵面为球形，首先作用于药型罩外面顶点处，其压力为p(t)，作用面积为∆S，作用厚度为∆h。随后爆轰波阵面沿着药型罩外表面母线与药型罩各个微元相互作用，药型罩各个微元将获得不同的压垮速度。

图 1 药型罩顶部微元和整体受力分析

Figure 1. The top micro-element and overall force analysis of the liner

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对药型罩微元（微元质量为∆m）进行受力分析，则有：

$F = \Delta ma = p\left( t \right)\Delta S$

(8)

即：

$a = \frac{{p\left( t \right)\Delta S}}{{\Delta m}} = \frac{{p\left( t \right)\Delta S}}{{\rho \Delta S\Delta h}} = \frac{{p\left( t \right)}}{{\rho \Delta h}}$

(9)

对药型罩整体单元分析，则有：

$a = \frac{{p\left( t \right)}}{{\rho h}} = \frac{{{p_{\text{x}}}\exp \left( { - \alpha t} \right)}}{{\rho h}}$

(10)

式中：h为药型罩中心的厚度，p(t)为药型罩顶部与装药分界处的初始压力衰减曲线，ρ为药型罩的密度。

对加速度在成型时间内积分求得速度，即最大速度v_l。首先，在实际应用中，由于应力波的作用，药型罩被压垮形成射流，即理论公式中的h是随时间变化的函数，即h=h(t)，随着时间的增加，射流长度增大；其次，随着药型罩位移的增大，峰值压力势必减小。由于假设条件的存在，理论公式的分母h偏小，分子p(t)偏大。综上可知，理论公式求解的加速度偏大，即积分后的药型罩的速度会偏大。折减系数的方法通常被使用^[19]，即理论最大速度v_l和实际速度v_s之间存在一个折减关系，即：

${v_{\text{s}}} = \beta {v_{\text{l}}}$

(11)

式中：β为折减系数，0≤β≤1，由实验数据回归得到。

1.2 聚能侵彻体水下成型速度折减系数

留有空穴的药型罩前部仍为空气，忽略空气的阻力，药型罩加速的理论公式并不受影响，但由于周围介质的改变，冲击波在水中的传播强度强于空气中的，即导致药型罩成型后实际速度提高，因此折减系数β₂会略小于纯空气之中的折减系数β₁，则需要对空中爆炸得到的折减系数β₁进行修正，才能得到适用于水下爆炸的折减系数β₂。

1.3 聚能侵彻体入水速度衰减理论

聚能侵彻体入水后任意处的速度拟合公式^[20]为：

$v(t) = {v_0}\exp \left( { - At - B{t^2} + C{t^3}} \right)$

(12)

式中：v(t)为入水后任意处聚能侵彻体头部的速度，v₀为入水的初始速度，t为入水后的时间，A、B和C为衰减常数。

1.4 直达冲击波和聚能侵彻体作用时序问题

聚能侵彻体的3个阶段分别为爆轰阶段、加速阶段和入水阶段，如图2所示。第1阶段t₁为从爆心至药型罩最顶端，第2阶段t₂为药型罩最顶端至聚能侵彻体成型的加速过程，第3阶段t₃为聚能侵彻体入水衰减阶段，3个阶段的具体函数形式如下。

图 2 聚能侵彻体处于不同阶段示意图

Figure 2. Schematic diagram of an explosively-formed projectile in different stages

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(1)爆轰阶段（0≤t≤t₁）：

${t_1} = {{{L_1}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{L_1}} {{v_{\text{d}}}}}} \right. } {{v_{\text{d}}}}}$

(13)

式中：L₁为炸点到药型罩顶端的距离。

(2)加速阶段（t₁<t≤t₂），战斗部为了使药型罩顺利形成聚能侵彻体，会在前端预制一段空气域。因此，在加速阶段主要考虑药型罩全程处于加速阶段的典型情况。由1.1.4节可知药型罩成型过程中加速度a的公式，整理后为：

$a = \frac{{p\left( t \right)}}{{\rho h}} = \frac{{{p_{\text{x}}}\exp \left[ { - \alpha \left( {t - {t_1}} \right)} \right]}}{{\rho h}}$

(14)

侵彻体速度v(t)在入水前停止加速，即时间为t₂，速度函数为：

$v(t) = {\beta _2}\int_{{t_1}}^{{t_2}} {a{\text{d}}t}$

(15)

(3)入水阶段（t₂<t≤t₃），由式(12)可知聚能侵彻体入水衰减函数，整理如下：

$v(t) = {v_0}\exp \left[ { - A\left( {t - {t_1} - {t_2}} \right) - B{{\left( {t - {t_1} - {t_2}} \right)}^2} + C{{\left( {t - {t_1} - {t_2}} \right)}^3}} \right]$

(16)

速度衰减至某一定值时，即可得时间t₃。

炸药在均匀、静止的水中爆炸时，高压爆轰产物向外急剧膨胀，便在水中形成初始冲击波，在爆轰产物中反射一道稀疏波。水中初始冲击波压力比空气中的大得多，这是由水的波阻抗接近于爆轰产物波阻抗这一特点决定的。本文水下冲击波传播采用声学近似，起爆后的2个阶段，第1阶段为爆轰阶段，第2阶段为冲击波恒定传播阶段。另外，需确定未知量成型时间t₂，即可求解出侵彻体各阶段的速度随时间变化的曲线，进而积分得到侵彻体和冲击波的位移曲线。成型时间t₂与药型罩形状、预留空穴长度、装药类型等有关^[21]，其时间在微秒量级，本文中对聚能装药数值模型的成型时间进行了一定的简化，通过观察数值模拟结果规定成型时间t₂，进而定量地求解药型罩加速度和空中/水下的折减系数。综上，聚能侵彻体和冲击波运动的速度曲线如图3所示。

图 3 聚能侵彻体/直达冲击波速度随时间的变化

Figure 3. Velocity versus time curves of explosively-formed projectile and direct shock wave

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2. 数值模型及收敛性分析

2.1 数值理论

2.1.1 流体控制方程

对于欧拉算法，欧拉网格在计算中是固定的，材料在欧拉网格间运输。一个欧拉单元里可以有着不同的材料，材料网格以拉格朗日单元的状态变量输送到固定的空间网格中。三大守恒方程分别为质量守恒、动量守恒和能量守恒，其具体形式^[22]如下：

$\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \frac{{\partial \rho u}}{{\partial x}} + \frac{{\partial \rho v}}{{\partial y}} = 0$

(17)

$\frac{\partial \rho v}{\partial t}+\frac{\partial \rho uv}{\partial x}+\frac{\partial \left(\rho {v}^{2}+p\right)}{\partial y}=0\text{，}\qquad \frac{\partial \rho u}{\partial t}+\frac{\partial \left(\rho {u}^{2}+p\right)}{\partial x}+\frac{\partial \rho uv}{\partial y}=0$

(18)

$\frac{{\partial E}}{{\partial t}} + \frac{{\partial u(E + p)}}{{\partial x}} + \frac{{\partial v(E + p)}}{{\partial y}} = 0$

(19)

2.1.2 状态方程

水的状态方程采用冲击状态方程^[22]：

${u_{\text{s}}} = {c_0} + {S_1}u + {S_2}{u^2}$

(20)

式中：u_s为冲击波速度；u为质点速度；c₀、S₁和S₂为常数，c₀=1647 m/s，S₁=1.921，S₂=0.000 s/m。

空气采用理想气体状态方程^[22]：

${p_{{\text{air }}}} = (\gamma - 1){\rho _{{\text{air }}}}{e_{{\text{air }}}}$

(21)

式中：p_air为空气压力，ρ_air为空气密度，绝热常数γ=1.4，比内能e_air=206.8 J/g。

炸药采用Jones-Wilkins-Lee (JWL)状态方程^[22]：

${p_{\text{e}}} = {A_1}\left( {1 - \frac{\omega }{{{R_1}\overline V}}} \right){{\text{e}}^{ - {R_1}\overline V}} + {B_1}\left( {1 - \frac{\omega }{{{R_2}\overline V}}} \right){{\text{e}}^{ - {R_2}\overline V}} + \frac{{{\omega _1}E_{\text{e}}}}{{\overline V}}$

(22)

式中： $\overline V = {\rho _{{\text{b}}0}}/{\rho _{\text{b}}},\ {\rho _{\text{b}}}和 {\rho _{{\text{b}}0}}$ 分别为爆轰产物的密度及初始密度；E_e为炸药的初始体积内能；A₁、B₁、R₁、R₂和ω₁为物质常数，数值根据具体实验确定；p_e为爆轰产物压力。装药奥克托今（cyclotetramethylene tetranitramine, HMX）的JWL方程主要参数^[22]见表1，D_CJ为CJ爆速，p_CJ为CJ爆压；金属药型罩在材料库中选择基础材料高导无氧铜（oxygen-free high-conductivity (OFHC) copper）。材料模型均为线性状态方程和Johnson-Cook强度模型构成。Johnson-Cook强度模型非常适合模拟高温度下金属材料因急速撞击或爆炸冲击引起的强度极限及失效过程，材料参数均来源于AUTODYN材料库^[22]。

表 1 HMX的JWL方程主要参数^[22]

Table 1. Main parameters of the JWL equation of HMX^[22]

A₁/GPa	B₁/GPa	R₁	R₂	ω₁	ρ_e/(kg·m⁻³)	D_CJ/(m·s⁻¹)	E_e/(GJ·m⁻³)	p_CJ/GPa
778.28	7.07	4.20	1.00	0.30	1891	9110	10.5	42.0

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2.2 数值模型

为了确定加速阶段理论公式中的未知量，即药型罩加速度和折减系数。首先是建立工况1聚能装药近场空中爆炸二维轴对称模型；其次是为了修正得到水下折减系数β₂，设置工况2；另外是依据现代鱼雷的设计现状设置工况3，选取空气域长度为5倍的装药半径以确保聚能侵彻体在空穴中成型，并验证数值模拟结果与理论公式计算得到的冲击波侵彻体先后的结果是否一致，具体工况如表2所示。

表 2 不同数值模型对应的工况

Table 2. Different cases corresponding to numerical models

工况	介质	空气域长度
1	空气	无限
2	水	20倍装药半径
3	水	5倍装药半径

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以工况3为例，如图4所示，装药高度L为40 mm，装药半径R_c为10 mm，空气域长度为l₁，药型罩的材料为紫铜，采用变壁厚设计，内径圆心O₁为（57.00 mm, 0.00 mm），内径长度R为12.20 mm，外径圆心O₂为（60.18 mm, 0.00 mm），外径长度r为13.99 mm，爆心位置为（10.00 mm, 0.00 mm），计算水域尺寸为250 mm×100 mm。为了得到交界面处的压力随时间变化的数据，设置固定压力测点，其位置为l₂=44.90 mm。为了避免冲击波到达边界后发生反射，在流场边界施加流出边界，网格大小在收敛性分析后确定。

图 4 数值模型

Figure 4. Numerical model

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2.3 收敛性分析

为了确保欧拉算法的可靠性，需要对数值模拟的工况进行收敛性分析。不同工况下模型的差异在于流体介质，并不影响计算域的尺寸，因此选取纯空气中聚能装药近场爆炸工况进行收敛性分析。选择不同大小的网格尺寸下聚能装药近场空中爆炸过程进行数值模拟，侵彻体头部速度随网格数量的变化曲线如图5所示。结果显示：网格尺寸为0.20 mm×0.20 mm时与网格尺寸为0.10 mm×0.10 mm和0.15 mm×0.15 mm时相比，数值模拟速度的相对误差分别为−2.39%和−1.29%，此时计算结果已经收敛。综合考虑计算精度和计算效率，本文中选取流体网格尺寸为0.20 mm×0.20 mm。另外，通过与文献[23]中的试验4进行对比，EFP的速度误差在9%以内，如表3所示，数值模拟与试验结果具有一致性，数值方法可靠。

图 5 网格收敛性分析

Figure 5. Mesh convergence analysis

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表 3 数值模拟结果与试验结果^[23]的对比

Table 3. Comparison of numerical simulation results with experimental results^[23]

方法	时间/μs	头部速度/(m·s⁻¹)	尾部速度/(m·s⁻¹)
试验结果^[23]	60.60	3 610	2 240
数值模拟	60.50	3 920	2 310
相对误差	−0.17%	8.58%	3.12%

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3. 结果分析与讨论

3.1 聚能侵彻体成型加速度和速度公式的确定

炸药采用HMX，其爆速和爆压分别为9 110 m/s和42.0 GPa。药型罩采用紫铜，其密度和中心处厚度分别为8 960 kg/m³和1.39 mm。在药型罩内侧设置观测点，记录压力随时间的变化曲线，由数值模拟结果可知p_x=43.35 GPa，拟合收敛后衰减系数α=1 774 618.86 s⁻¹，整理后得到：

$a = 3\;481\;131\;166\;\exp \left( { - 1\;774\;618.86t} \right)$

(23)

式中：加速度a的单位为m/s²，时间t的单位为s。

在t=15 μs时，聚能侵彻体基本成型，即以此为基准，对加速度a在0～15 μs内积分得到药型罩速度v₁=1 968.80 m/s。由实验可知，药型罩在t=15 μs时成型，其速度v_s=1756.71 m/s，理论与数值误差为11.90%，这是由于理论计算存在简化条件。由此可知，理论值会大于数值模拟测试值，存在折减系数，本实验聚能装药空中爆炸成型过程中折减系数β₁=v_s/v_l≈0.89。对于聚能装药水下爆炸过程，虽然侵彻体在空穴中成型，但是外围水介质对成型也具有一定的影响，因此需要对折减系数进行修正。本文中设置工况2，已知在t=15 μs聚能侵彻体成型，即对0～15 μs进行积分得到理论速度v_l=1 998.33 m/s，根据数值模拟测得在t=15 μs时，v_s=1729.47 m/s，则可以得到水下折减系数β₂=1 729.47/1 998.33≈0.87，即带空穴聚能装药水下爆炸过程中侵彻体成型过程的药型罩速度可表达为：

$v(t) = {\beta _2}\int_{{t_1}}^{{t_2}} {a{\text{ }}} {\text{d}}t{\text{ = }}0.87\int_{{t_1}}^{{t_2}} {a{\text{ }}} {\text{d}}t$

(24)

3.2 理论公式的验证

关于直达冲击波和侵彻体的先后问题，当聚能装药在空中爆炸时，已有判据；当聚能装药无预留空气域在水中爆炸时，由于侵彻体瞬间降速较大，其速度一般均小于直达冲击波在水中的传播速度，即直达冲击波先于侵彻体；当参照鱼雷设计，聚能装药水下爆炸留有一定长度的空气域的情况下，存在着两者先后作用的现象，根据3.1节得到的已经确定的理论公式计算得到侵彻过程中不同阶段的速度曲线函数。在此基础上，对其进行积分，得到两者的先后关系，并通过数值模拟清晰直观地得到了验证。

当空气域长度为5倍装药半径时，基于上述的理论公式，可以计算得到爆轰波传播的时间t₁=4 μs，侵彻体入水时间取t₂=30 μs，压力随时间变化的数据来源于交界面处的测点，即可得各阶段的速度随时间变化的函数曲线，如图6所示。在此速度随时间变化的函数曲线的基础上，积分得到了直达冲击波和侵彻体的传播距离随时间的变化曲线，如图7所示。

图 6 侵彻体和直达冲击波速度随时间的变化曲线

Figure 6. Velocity versus time curves of explosively-formed projectile and direct shock wave

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图 7 侵彻体和直达冲击波传播距离随时间的变化曲线

Figure 7. Propagation distance versus time curves of explosively-formed projectile and direct shock wave

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直达波速度随时间变化的函数曲线：

$v(t) = \left\{ \begin{array}{ll} 0&\qquad 0 {\text{≤}} t {\text{≤}} 4\;{\text{μ}} {\rm{s}}\;\;({\rm{爆轰阶段}}) \\ 1\;647\;{\rm{m/s}}&\qquad t {\text{＞}} 4\; {\text{μ}} {\rm{s}} \;({\rm{传播阶段}}) \end{array} \right.$

(25)

侵彻体速度随时间变化的函数曲线：

$v(t) = \left\{ \begin{array}{ll} 0& \qquad 0 {\text{≤}} t {\text{≤}} 4 \;{\text{μ}}{\rm{s}} \;\;({\rm{爆轰阶段}}) \\ 0.87\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} 3\;481\;131\;166\exp \left( { - 1\;774\;618.86t} \right){\rm{d}}t & \qquad 4\;{\text{μ}} {\rm{s}} {\text{＜}} t {\text{≤}} 30\;{\text{μ}} {\rm{s}}\;\; ({\rm{加速阶段}}) \\ 1\;782.54\exp \left( - 11\;019.845\;2t + 1.163\;2{t^2} + 1.415\;4{t^3} \right) & \qquad t {\text{＞}} 30\; {\text{μ}} {\rm{s}}\;\; ({\rm{入水阶段}}) \end{array} \right.$

(26)

由于侵彻体在水中高速运动会产生弹道波，即弹道波必先于侵彻体作用目标。因此本文中考虑的是直达冲击波与侵彻体先后的问题，直达波的传播形式为声速恒定传播；爆轰波传播至药型罩顶部，药型罩开始发生塑性变形，随后，药型罩已完全被压垮，内外表面完成翻转，EFP呈扁平状，最大速度约为1800 m/s，忽略空气阻力，侵彻体成型加速后继续飞行；在t₂=30 μs时侵彻体入水，速度随之下降。由图7可知，在0～15 μs时冲击波略快于侵彻体，其主要原因是爆轰波入水后快速向外传播，然而这时侵彻体并未完全成型，处于加速成型阶段；在t=15 μs时，侵彻体和直达波处于同一位置，数值模拟结果如图8(a)所示；由图7可知，在15～55 μs时侵彻体略快于冲击波，取t=25 μs时与之验证，数值模拟结果如图8(b)所示；在t=55 μs时，直达波追上侵彻体，两者处于同一位置，数值模拟结果如图8(c)所示；在t=55 μs后，直达波超过侵彻体，如在t=70 μs时，侵彻体头部明显落后直达波，数值模拟结果如图8(d)所示。根据理论公式采用图解法得到追赶时间，随后根据数值模拟观察具体情况，两者的结果一致，证明了理论公式形式的可行性。

图 8 侵彻体和直达冲击波的传播

Figure 8. Propagation of explosively-shaped projectile and direct shock wave

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4. 结　语

基于接触爆炸理论和牛顿第二定律，推导了药型罩压垮的加速度和速度公式的基本形式，采用Euler方法建立了聚能装药空中和留有空穴的水下爆炸模型，定量确定了药型罩压垮的加速度和速度公式，分析了聚能侵彻体和直达冲击波作用时序的问题，总结如下。

(1)基于接触爆炸理论和牛顿第二定律，提出了聚能战斗部爆炸时药型罩压垮的加速度和速度公式的基本形式，结合聚能侵彻体入水速度衰减理论，分析了水下预留空气域聚能侵彻体成型、加速和入水3个阶段的速度特性和冲击波的传播规律，给出了两者的加速度、速度及位移随时间变化的数学表达式。

(2)结合理论分析和数值模拟，定量得到了空中/水下预留空气域时球缺型聚能装药爆炸时产生的聚能侵彻体的加速度和速度具体表达式，空中/水下预留空气域的速度公式中的折减系数分别取0.89和0.87。在此基础上，得到了聚能侵彻体和冲击波在水中的运动规律，即两者的加速度、速度和位移随时间变化具体的数学表达式，对于解决冲击波侵彻体作用时序问题提供了思路，对认识耦合毁伤机理、提高防护能力具有一定的参考价值。

(3)建立了空气域长度为5倍装药半径的聚能装药水下爆炸模型，采用本文中提出的理论公式进行预测，理论求解结果与数值模拟结果吻合较好，验证了该理论公式的正确性。结果表明，当空气域长度为5倍装药半径时，炸高在3倍装药半径之外，冲击波先于侵彻体。