双相介质半空间中圆孔对透射SH波的稳态分析

齐辉; 蔡立明; 罗广龙; 潘向南; 杨杰; 王宪章; 李国文; 蒋敬江

doi:10.11883/1001-1455(2015)04-0591-08

双相介质半空间中圆孔对透射SH波的稳态分析

doi: 10.11883/1001-1455(2015)04-0591-08

1.
哈尔滨工程大学航天与建筑工程学院，黑龙江哈尔滨 150001
2.
上海电机学院机械学院，上海 201306
3.
中建一局总承包公司，北京 100070

基金项目: 国家自然科学基金项目(51379048)

详细信息

作者简介:
齐辉(1963-), 男, 博士, 教授

通讯作者:
潘向南, panxiangnan@hrbeu.edu.cn

中图分类号: O343
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出版历程
- 收稿日期: 2013-12-04
- 修回日期: 2014-03-01
- 刊出日期: 2015-07-25

Steady state analysis for circular cavity impacted by transmitted SH wave in a bi-material half space

1.
College of Aerospace and Civil Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, Heilongjiang, China
2.
School of Mechanical Engineering, Shanghai Dianji University, Shanghai 201306, China
3.
China Construction First Engineering Division Corp. Ltd., Beijing 100070, China

摘要

摘要: 研究了平面SH波在半空间双相弹性介质中的传播。通过Green函数和积分方程方法，按照复变函数描述，对透射波被圆孔散射的情况进行稳态分析。将双相介质半空间沿界面剖分为1/4空间介质Ⅰ和含圆孔的1/4空间介质Ⅱ，分别构造了介质Ⅰ和介质Ⅱ中反平面点源荷载的Green函数，按双相介质中平面SH波的处理方法，给出介质Ⅰ和介质Ⅱ中的平面位移波，两种介质之间的相互作用力与对应Green函数的乘积沿界面的积分与平面位移波叠加得到介质Ⅰ和介质Ⅱ中的全部位移场。按照界面的位移连续条件，定解积分方程组，得到问题的稳态解，并给出圆孔位置和介质参数对散射的影响。
- 固体力学 /
- 散射 /
- Green函数 /
- SH波 /
- 圆孔 /
- 双相介质半空间 /
- 振动与波
Abstract: To study the way that the plane SH wave propagating in an elastic bi-material half space from medium Ⅰ to medium Ⅱ, the steady-state scattering of the transmitted wave by a circular cavity is analyzed by using Green function and integral equation methods on complex function description. The bi-material half space is divided into a quarter space medium Ⅰ and a quarter space medium Ⅱ with a circular cavity in it. Their Green functions are constructed as anti-plane point source response problem respectively. The total displacement fields of medium Ⅰ and medium Ⅱ are formulated as two parts' vector sum. The first part is interfacial integral of interactive force multiplied by corresponding Green function. The second part is plane displacement field formed by omitting the circular cavity. Steady state solution is obtained by determining the integral equations along interface with displacement continuity. Numerical results are presented to reveal the effects of locations and material parameters on circular cavity scattering.
- solid mechanics /
- scattering /
- Green function /
- SH wave /
- a circular cavity /
- a bi-material half space /
- vibration and wave

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弹性动力学中将研究对象视为连续的弹性体, 运用数学物理的方法, 解析地研究机械运动, 不仅对数学物理的基础科学研究具有重要意义, 而且对岩土工程、地震工程等工程技术应用具有很大的价值。弹性波的传播及其在全空间中被一些特殊曲面散射的研究已经日趋完善^[1-4]。作为最简单的波动模式, 柱体在含复杂边界介质中的反平面散射研究取得了一定的进展^[5-6]。研究人员陆续研究了无限大弹性半空间、1/4空间中圆柱孔洞、夹杂、衬砌对SH平面波的稳态散射^[7-12]。双相介质半空间中SH波对圆柱孔洞、夹杂和界面裂纹的散射问题也得到了一定的研究^[13-18]。这些研究中主要考虑入射波与孔洞或夹杂在同一介质内的散射问题, 对于平面SH波从介质I穿过界面折射进入介质II, 透射波对介质II中圆孔的散射问题的研究相对匮乏。本文中用Green函数和积分方程, 按复变函数方法对其稳态响应进行分析, 求解双相介质半空间中位移场和应力场的解析表达式, 并采用数值方法计算算例中圆孔边沿动应力集中因子和地表位移幅值的分布。

1. 理论模型

如图 1所示, 连续、均匀、各向同性的弹性半空间, 由介质Ⅰ和Ⅱ组成, 其剪切模量分别为μ₁和μ₂, 质量密度分别为ρ₁和ρ₂, 两种介质的分界为B_V, 这种双相介质半空间的边界平面为B_H。介质Ⅱ中有一个圆形孔洞, 其半径为R, 其圆心O₁距离界面B_V为d, 距离边界B_H为h, 定义平面直角坐标系O₁x₁y₁(图 1), 以出平面方向为z轴正方向, x₁轴、y₁轴和z轴满足右手关系。

图 1 半空间双相介质中的圆孔

Figure 1. Circular cavity in a bi-material half space

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在介质Ⅰ中有稳态SH平面波入射, 其角频率为ω。入射波与它在边界B_H上的反射和在界面B_V的反射和透射, 造成了介质Ⅰ与介质Ⅱ中质点的反平面运动, 其反平面运动的位移分别为w_Ⅰ和w_Ⅱ, 满足标量波动方程:

$\mu_{1} \nabla w_{\mathrm{I}}=\rho_{1} \frac{\partial^{2} w_{\mathrm{I}}}{\partial t^{2}}, \quad \mu_{2} \nabla w_{\mathrm{II}}=\rho_{2} \frac{\partial^{2} w_{\mathrm{II}}}{\partial t^{2}}$

(1)

分离时间变量和空间变量, 得到对应的Helmholtz方程(介质Ⅰ和介质Ⅱ中位移场的控制方程):

$\nabla w_{\mathrm{I}}+k_{1}^{2} w_{\mathrm{I}}=0, \quad \nabla w_{\mathrm{II}}+k_{2}^{2} w_{\mathrm{II}}=0$

(2)

式中: , 分别为介质Ⅰ和介质Ⅱ中的波数。

位移场w_Ⅰ和w_Ⅱ在半空间边界B_H平面上产生的剪应力都为0, 满足Neumann边界条件; 位移场w_Ⅰ和对应的应力场τ_Ⅰ在界面B_V上与位移场w_Ⅱ和对应的应力场τ_Ⅱ相等, 分别满足Dirichlet边界条件和Neumann边界条件; 应力场τ_Ⅱ在圆形孔洞边界上为0, 满足Neumann边界条件。这4个边界条件与介质Ⅰ和介质Ⅱ中的控制方程(2)组成本文的定解问题。

2. 等价问题

为消除双相介质半空间边界B_H平面的影响, 引入等价问题。如图 2所示, 界面B_V将全空间分为介质Ⅰ和Ⅱ两个半空间。介质Ⅱ中有2个大小相等的圆形孔洞, 关于B_H平面对称, 圆心分别为O₁和O₂, 半径为R。以B_H和B_V平面的交线在坐标平面O₁x₁y₁内的投影O为原点, 建立平面直角坐标系Oxy, 同时以O₂为原点建立平面直角坐标系O₂x₂y₂。按复变函数方法, 引入复变量为虚数单位。对比图 1和图 2可得到复变量z, z₁, z₂的关系:

$\mathrm{z}_{1}=\mathrm{z}-\mathrm{d}+i \mathrm{~h}, \quad \mathrm{z}_{2}=\mathrm{z}-\mathrm{d}-i \mathrm{~h}$

(3)

图 2 等价问题

Figure 2. Equivalent issue

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在介质Ⅰ中有一对稳态的SH平面波入射, 其角频率均为ω, 初相位相等, 入射角关于平面B_H对称, 其位移w_i1和w_i2为:

$\left\{ \begin{array}{l} {w_{i1}}(z,t) = {{\rm{W}}_0}\exp \left[ {\frac{{{\rm{i}}{k_1}}}{2}\left( {z{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\alpha }} + \bar z{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\alpha }}} \right) - {\rm{i}}\omega t} \right]\\ {w_{{\rm{i}}2}}(z,t) = {W_0}\exp \left[ {\frac{{{\rm{i}}{k_1}}}{2}\left( {z{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\alpha }} + \bar z{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\alpha }}} \right) - {\rm{i}}\omega t} \right] \end{array} \right.$

(4)

式中:W₀为入射波的位移振幅, α为入射位移波w_i1传播方向与x轴的夹角, 为z的共轭复变量。

这样, 本文中定解条件变成等价的边值问题, 由B_V界面上位移和应力连续的Dirichlet和Neumann边界条件, 及介质Ⅱ中圆形孔洞边界B₁和B₂柱面上剪应力自由的Neumann边界条件组成。

介质Ⅰ中的入射位移波w_i1和w_i2在界面B_V将发生反射和折射, 折射波将透射进入介质Ⅱ, 在圆形孔洞的边界B₁和B₂柱面发生散射, 散射波也将在界面B_V发生反射和折射, 为了分析界面B_V对散射波的反射和折射效应, 引入Green函数方法。

3. Green函数

按照Green函数方法, 考虑点源荷载在界面B_V上分别对介质Ⅰ和介质Ⅱ的稳态位移响应, 其分离时间变量后, 即为Green函数。

在介质Ⅰ中, 点源荷载δ(z-iy₀)exp(-iωt)产生的Green函数G_Ⅰ(z, iy₀)是半空间中的基本解, 表达式为

$G_{\mathrm{I}}\left(z, \mathrm{i} y_{0}\right)=\frac{\mathrm{i}}{2 \mu_{1}} H_{0}^{(1)}\left(k_{1}\left|z-\mathrm{i} y_{0}\right|\right)$

(5)

式中:iy₀是坐标面Oxy上点源荷载作用点对应的复数值, 位于界面B_V上, 与x轴的距离为为0阶第一种Hankel函数, Hankel函数是第三类Bessel函数。

如图 3所示, 在介质Ⅱ中, 点源荷载δ(z-iy₀)exp(-iωt)产生的Green函数G_Ⅱ(z, iy₀), 按照叠加原理, 有:

$G_{\text {II }}\left(z, \mathrm{i} y_{0}\right)=G\left(z, \mathrm{i} y_{0}\right)+w_{\mathrm{Gl}}(z)+w_{\mathrm{Gl}}^{\prime}(z)+ \\ \ \ \ \ \ \ w_{\mathrm{G} 2}(z)+w_{\mathrm{G} 2}^{\prime}(z)$

(6)

$G\left(z, \mathrm{i} y_{0}\right)=\frac{\mathrm{i}}{2 \mu_{2}} H_{0}^{(1)}\left(k_{2}\left|z-\mathrm{i} y_{0}\right|\right)$

(7)

图 3 介质Ⅱ中的Green函数

Figure 3. Green function in medium Ⅱ

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式中:G(z, iy₀)是介质Ⅱ中没有孔洞时, 半空间中的基本解; w_G1(z)和w_G2(z)分别是点源荷载δ(z-iy₀)对圆形孔洞边界B₁和B₂柱面产生的散射波的位移场, G2(z)是w_G1(z)和w_G2(z)关于界面B_V对称的镜像散射波, 按照波函数展开法, 它们满足:

$\left\{\begin{array}{l} w_{\mathrm{G} 1}(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} A_{n} H_{n}^{(1)}\left(k_{2}\left|z_{1}\right|\right)\left(\frac{z_{1}}{\left|z_{1}\right|}\right)^{n} \\ w_{\mathrm{G} 2}(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} B_{n} H_{n}^{(1)}\left(k_{2}\left|z_{2}\right|\right)\left(\frac{z_{2}}{\left|z_{2}\right|}\right)^{n} \\ w_{\mathrm{G} 1}^{\prime}(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(-1)^{n} A_{n} H_{n}^{(1)}\left(k_{2}\left|z_{1}^{\prime}\right|\right)\left(\frac{z_{1}^{\prime}}{\left|z_{1}^{\prime}\right|}\right)^{-n} \\ w_{\mathrm{G} 2}^{\prime}(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(-1)^{n} B_{n} H_{n}^{(1)}\left(k_{2}\left|z_{2}^{\prime}\right|\right)\left(\frac{z_{2}^{\prime}}{\left|z_{2}^{\prime}\right|}\right)^{-n} \end{array}\right.$

(8)

式中: 是n阶第一种Hankel函数, A_n和B_n分别是圆形孔洞边界B₁和B₂柱面散射波的Fourier-Hankel波函数级数展开式的待定系数, z′₁=z₁+2d, z′₂=z₂+2d, 分别为以圆心O₁和O₂关于界面B_V的镜像点O′₁和O′₂建立的直角坐标系O′₁x′₁y′₁和O′₂x′₂y′₂的复数形式。

介质Ⅱ对应半空间中的基本解G(z, iy₀), 位移波w_G1和w′_G1的矢量和, 位移波w_G2和w′_G2的矢量和, 它们的应力场都满足界面B_V上的剪应力自由条件。位移场G_Ⅱ(z, iy₀)的应力场必须满足圆形孔洞边界B₁和B₂柱面上的剪应力自由条件做Fourier展开, 得到等价的剪应力自由条件, 用于确定Fourier-Hankel波函数系数A_n和B_n, 即定解条件。根据三角函数系的正交性, 得到和定解条件等价的两组方程。截断Fourier-Hankel波函数级数展开式, 取对应的方程, 组成定解方程组, 按Gauss消去法解得A_n和B_n的具体数值, 这样, 就确定了介质Ⅱ中Green函数G_Ⅱ(z, iy₀)位移场的具体表达式。

4. 位移波场

按照分区契合的方法, 研究SH波在双相介质中的传播与散射。界面B_V将双相介质分为介质Ⅰ和介质Ⅱ, 分别研究介质Ⅰ和介质Ⅱ, 定义介质Ⅰ的边界为平面, 介质Ⅱ的边界为平面, 在和平面上分别加以沿y轴分布的方向相反、大小相等的一组力f(y), 表征介质Ⅰ和介质Ⅱ的相互作用力, 如图 4所示, 其中点表示垂直纸面向外, 叉表示垂直纸面向里。

图 4 位移波场的契合

Figure 4. Conjunction of displacement wave field

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介质Ⅰ中的位移场w_Ⅰ(z)由3部分组成:入射波的位移场、反射波的位移场、介质Ⅱ对介质Ⅰ的作用力f(y)产生的位移场, 其表达式为:

$w_{\mathrm{I}}(z)=w_{i 1}(z)+w_{i 2}(z)+w_{r 1}(z)+$

$w_{r 2}(z)+\int_{-\infty}^{+\infty} G_{\mathrm{I}}\left(z, \mathrm{i} y_{0}\right) f\left(y_{0}\right) d y_{0}$

(9)

式中:w_i1(z)和w_i2(z)是入射波的位移场, 根据式(4), 略去时间谐和项exp(-iωt), 得到入射波位移场的表达式:

$\left\{\begin{array}{l} w_{\mathrm{i} 1}(z)=W_{0} \exp \left[\frac{\mathrm{i} k_{1}}{2}\left(z \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \alpha}+\bar{z} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha}\right)\right. \\ w_{\mathrm{i} 2}(z)=W_{0} \exp \left[\frac{\mathrm{i} k_{1}}{2}\left(z \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha}+\bar{z} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \alpha}\right)\right. \end{array}\right.$

(10)

w_r1(z)和w_r2(z)是反射波的位移场, 表达式为:

$\left\{\begin{array}{l} w_{\mathrm{rl}}(z)=W_{1} \exp \left[\frac{\mathrm{i} k_{1}}{2}\left(z \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\pi-\alpha)}+\bar{z} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pi-\alpha)}\right)\right. \\ w_{\mathrm{r} 2}(z)=W_{1} \exp \left[\frac{\mathrm{i} k_{1}}{2}\left(z \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pi-\alpha)}+\bar{z} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\pi-\alpha)}\right)\right. \end{array}\right]$

(11)

式中:W₁是反射波的振幅。讨论介质Ⅰ边界平面上的分布力f(y)的影响, 当y=y₀时, 即取坐标面Oxy上复坐标iy₀点, 加以集中力f(y₀)δ(z-iy₀), G_Ⅰ(z, iy₀)是介质Ⅰ中产生的Green函数, G_Ⅰ与f(y₀)乘积的积分项是介质Ⅱ对介质Ⅰ的作用力在介质Ⅰ中产生的位移场。

介质Ⅱ中的位移场w_Ⅱ(z)同样由3部分组成:折射波的位移场、散射波的位移场, 以及介质Ⅰ对介质Ⅱ的作用力-f(y)产生的位移场, 表达式为:

$w_{\mathrm{II}}(z)=w_{\mathrm{t} 1}(z)+w_{\mathrm{t} 2}(z)+w_{\mathrm{s} 1}(z)+w_{\mathrm{s} 1}^{\prime}(z)+$

$w_{\mathrm{s} 1}(z)+w_{\mathrm{s} 2}^{\prime}(z)-\int_{-\infty}^{+\infty} G_{\mathrm{II}}\left(z, \mathrm{i} y_{0}\right) f\left(y_{0}\right) d y_{0}$

(12)

w_t1(z)和w_t2(z)是折射波的位移场, 表达式为:

$\left\{\begin{array}{l} w_{\mathrm{t} 1}(z)=W_{2} \exp \left[\frac{\mathrm{i} k_{2}}{2}\left(z \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \beta}+\bar{z} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \beta}\right)\right. \\ w_{\mathrm{t} 2}(z)=W_{2} \exp \left[\frac{\mathrm{i} k_{2}}{2}\left(z \mathrm{e}^{\mathrm{i} \beta}+\bar{z} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \beta}\right)\right. \end{array}\right]$

(13)

式中:W₂是折射波的振幅, β是折射波的角度(见图 4)。按照界面B_V上位移和应力的连续性条件, 角度α和β满足Snell定律:

k₁sinα=k₂sinβ

入射波振幅W₀、反射波振幅W₁和折射波振幅W₂, 满足

$\left\{\begin{array}{l} W_{0}+W_{1}=W_{2} \\ W_{0} k_{1} \mu_{1} \cos \alpha-W_{1} k_{1} \mu_{1} \cos \alpha=W_{2} k_{2} \mu_{2} \cos \beta \end{array}\right.$

(15)

w_s1(z)和w_s2(z)是介质Ⅱ中圆形孔洞边界B₁和B₂柱面对折射波的散射所产生的位移场, w′_s1(z)和w′_s2(z)是散射波w_s1(z)和w_s2(z)分别对界面B_V反射产生的镜像散射波的位移场, 按照波函数展开法, 得到:

$\left\{\begin{array}{l} w_{\mathrm{s} 1}(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} C_{n} H_{n}^{(1)}\left(k_{2}\left|z_{1}\right|\right)\left(\frac{z_{1}}{\left|z_{1}\right|}\right)^{n} \\ w_{\mathrm{s} 2}(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} D_{n} H_{n}^{(1)}\left(k_{2}\left|z_{2}\right|\right)\left(\frac{z_{2}}{\left|z_{2}\right|}\right)^{n} \\ w_{\mathrm{s} 1}^{\prime}(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}(-1)^{n} C_{n} H_{n}^{(1)}\left(k_{2}\left|z_{1}^{\prime}\right|\right)\left(\frac{z_{1}^{\prime}}{\left|z_{1}^{\prime}\right|}\right)^{-n} \\ w_{\mathrm{s} 2}^{\prime}(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}(-1)^{n} D_{n} H_{n}^{(1)}\left(k_{2}\left|z_{2}^{\prime}\right|\right)\left(\frac{z_{2}^{\prime}}{\left|z_{2}^{\prime}\right|}\right)^{-n} \end{array}\right.$

(16)

式中:C_n和D_n是待定的Fourier-Hankel波函数系数。讨论介质Ⅱ边界平面上分布力-f(y)的影响, 当y=y₀时, 取坐标面Oxy上复坐标iy₀点, 加以集中力-f(y₀)δ(z-iy₀), G_Ⅱ(z, iy₀)是介质Ⅱ中产生的Green函数, G_Ⅱ与-f(y₀)乘积的积分项是介质Ⅰ对介质Ⅱ的作用力在介质Ⅱ中产生的位移场。

散射波w_s1和w_s2与镜像散射波w′_s1和w′_s2的矢量和满足平面上应力自由的条件, 其与折射波w_t1和w_t1的矢量和应满足圆形孔洞边界B₁和B₂柱面上的应力自由条件。做Fourier级数展开, 得到确定系数C_n和D_n的定解方程组; 相应地截断定解方程组和散射波的Fourier-Hankel波函数级数, 得到C_n和D_n的具体形式, 这样就求得了介质Ⅱ中由折射波在圆形孔洞边界上所形成的散射波。

5. 积分方程

由(9)和(12)式, 按照界面B_V上位移和应力的连续条件, 即契合条件, 得到:

$w_{\mathrm{I}}(\mathrm{i} y)=w_{\mathrm{II}}(\mathrm{i} y), \quad \tau_{\mathrm{I}}(\mathrm{i} y)=\tau_{\mathrm{II}}(\mathrm{i} y)$

(17)

式中:w_Ⅰ(iy)和w_Ⅱ(iy)分别是介质Ⅰ和介质Ⅱ中的位移沿界面B_V的分布, τ_Ⅰ(iy)和τ_Ⅱ(iy)分别是介质Ⅰ和介质Ⅱ中应力分量沿界面B_V的分布。作用在和平面上的一组大小相等、方向相反的力f(y), 本身代表介质Ⅰ和介质Ⅱ之间的相互作用力, 满足应力的契合条件。将第4节中构造的位移波的位移场和应力场代入方程(17), 入射波和反射波在介质Ⅰ中的位移场和应力场与折射波在介质Ⅱ中的位移场和应力场满足界面B_V上的契合条件, 而介质Ⅰ中的Green函数、介质Ⅱ中的Green函数、散射波与其镜像散射波的合位移波在界面B_V上剪应力均为0, 也满足界面B_V上的应力契合条件。因此, 界面B_V上的契合条件(17)等价于介质Ⅰ和介质Ⅱ中的位移连续性条件:

$\int_{-\infty}^{+\infty}\left[G_{\mathrm{I}}\left(\mathrm{i} y, \mathrm{i} y_{0}\right)+G_{\mathrm{II}}\left(\mathrm{i} y, \mathrm{i} y_{0}\right)\right] f\left(y_{0}\right) d y_{0}=w_{\mathrm{s} 1}(\mathrm{i} y)+w_{\mathrm{sl}}^{\prime}(\mathrm{i} y)+w_{\mathrm{s} 2}(\mathrm{i} y)+w_{\mathrm{s} 2}^{\prime}(\mathrm{i} y)$

(18)

这是积分限为无穷的第一种Fredholm积分方程。在y轴上对界面B_V取N+1个节点y_k, 同样地, 对积分区间取N+1个节点y_l, 按数值方法对(18)式进行离散求解:

$\sum_{l=1}^{N+1} Q_{l}\left[G_{\mathrm{I}}\left(\mathrm{i} y_{k}, \mathrm{i} y_{l}\right)+G_{\mathrm{II}}\left(\mathrm{i} y_{k}, \mathrm{i} y_{l}\right)\right] f\left(y_{l}\right) \approx w_{\mathrm{s} 1}\left(\mathrm{i} y_{k}\right)+w_{\mathrm{s} 1}^{\prime}\left(\mathrm{i} y_{k}\right)+w_{\mathrm{s} 2}\left(\mathrm{i} y_{k}\right)+w_{\mathrm{s} 2}^{\prime}\left(\mathrm{i} y_{k}\right)$

(19)

式中:Q_l是求积系数, 伴随求积节点y_l, 取决于数值积分所采用的方法。按Gauss消去法, 计算节点y_l上f(y_l)的数值, 之后用Lagrange插值拟合界面B_V上的分布力f(y)

6. 算例分析

按照第4节中的讨论, 结合第5部分求得的界面B_V上的分布力f(y), 分别按照(9)式和(12)式, 得到介质Ⅰ和介质Ⅱ中的位移场w_Ⅰ(z)和w_Ⅱ(z), 求得应力场τ_Ⅰ(z)和τ_Ⅱ(z), 它们足以描述介质Ⅰ和介质Ⅱ中全部质点的运动状态。

为直观的讨论圆孔散射所造成的动应力集中效应, 引入动应力集中因子(z)定量表征介质Ⅱ中的圆孔对透射SH波的散射:

$\tau_{\theta \xi}^{*}(z)=\frac{\left|\tau_{\theta \xi \text { І }}(z)\right|}{W_{2} k_{2} \mu_{2}}$

(20)

$\tau_{\theta \xi 一{\mathrm{II}}}(z)=\frac{1}{\left|z_{1}\right|}\left[\frac{\partial w_{\mathrm{II}}(z)}{\partial z_{1}} z_{1}+\frac{\partial w_{\mathrm{II}}(z)_{-}}{\partial \bar{z}_{1}} z_{1}\right]$

(21)

式中:τ_θξⅡ是介质Ⅱ中应力张量场τ_Ⅱ的周向分量。是介质Ⅱ中z点在O₁x₁y₁坐标系中的周向应力分量的时间幅值与透射位移波w_t1在同一点产生的最大动应力的比值, 当|z₁|=R时, τ_θξⅡ(z)是B₁柱面上的应力, 是B₁柱面上的动应力集中因子。

为直观的讨论圆孔散射对水平边界B_H位移的影响, 引入标准化的位移幅值W^*(z):

$W^{*}(z)=\left\{\begin{array}{l} \left|w_{\mathrm{I}}(z)\right| / W_{0}, z \in \text { Medium } \mathrm{I} \\ \left|w_{\mathrm{II}}(z)\right| / W_{0}, z \in \text { Medium } \end{array}\right.$

(22)

水平边界B_H平面的存在极大地影响了圆孔的散射, 包括2部分:与圆孔到B_H平面的距离h无关的镜像透射位移波w_t2(z)对圆孔的散射, 以及随着h的增大而衰减的镜像散射波w_s2(z)对圆孔的散射。水平边界对圆孔散射的影响在弹性动力学反平面半空间问题中得到了广泛的讨论, 相较而言, 在双相介质半空间中, 垂直界面B_V对介质Ⅱ中圆孔散射的作用更值得注意。

算例以圆孔半径R为参考长度, 给定h=2R, d=2R, 取入射角α=0, 数值计算双相介质的不同波数、剪切模量对圆孔散射的具体影响, 定义波数比k^*=k₁/k₂, 剪切模量比μ^*=μ₁/μ₂。图 5和图 6分别给出由圆孔散射所造成的圆孔边沿的动应力集中因子的分布和受其影响的水平边界B_H平面上标准化的位移幅值的分布。

图 5 动应力集中因子在圆孔边沿的分布

Figure 5. Distribution of dynamic stress concentrations factors around the cylindrical cavity

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图 6 标准化位移幅值在水平边界上的分布

Figure 6. Distribution of normalized displacement amplitude along the horizontal bound

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7. 结论

双相介质半空间中圆孔的反平面稳态散射受到很多因素的影响, 诸如, 圆孔和边界的距离、和界面的距离, 双相介质的波数比、剪切模量比, 平面SH波的入射角度、频率, 等等。不同的圆孔位置对散射的影响可以参照1/4空间圆孔问题的研究, 当圆孔距离界面足够远, 界面另一侧介质的影响可以忽略, 界面附近的圆孔, 对穿过界面的透射平面SH波的散射受到界面另一侧介质的强烈影响, 集中体现在介质的波数和剪切模量。作为SH波在双相介质中传播的问题, 应充分考虑界面两侧介质对平面SH波透射的影响, 给定入射角度和频率。

在相对低频的透射波作用下, 圆孔散射造成更大的动应力集中, 在相对高频的透射波作用下, 圆孔散射造成的动应力分布受到界面另一侧介质的影响更大。在一定范围内, 界面另一侧介质的剪切模量很大程度地决定着圆孔散射所造成的动应力的数值与分布, 这种效应随着界面另一侧介质的质量密度的增大而减小。在相对高频的透射波作用下, 圆孔散射造成局部更大的地表位移, 也更受界面另一侧介质的影响, 随着界面另一侧介质波数的增大, 圆孔散射所造成的局部地表位移的变化也越大, 这种效应随着界面另一侧介质的剪切模量的增大也略微地增大。

图 1 半空间双相介质中的圆孔

Figure 1. Circular cavity in a bi-material half space

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图 2 等价问题

Figure 2. Equivalent issue

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图 3 介质Ⅱ中的Green函数

Figure 3. Green function in medium Ⅱ

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图 4 位移波场的契合

Figure 4. Conjunction of displacement wave field

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图 5 动应力集中因子在圆孔边沿的分布

Figure 5. Distribution of dynamic stress concentrations factors around the cylindrical cavity

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图 6 标准化位移幅值在水平边界上的分布

Figure 6. Distribution of normalized displacement amplitude along the horizontal bound

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1. 理论模型
2. 等价问题
3. Green函数
4. 位移波场
5. 积分方程
6. 算例分析
7. 结论

双相介质半空间中圆孔对透射SH波的稳态分析

doi: 10.11883/1001-1455(2015)04-0591-08

作者简介: 齐辉(1963-), 男, 博士, 教授

通讯作者: 潘向南, panxiangnan@hrbeu.edu.cn

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