高速弹丸入水在反潜扫雷等方面有重要应用前景。该问题属于典型的流固耦合问题，涉及自由面破碎及其追踪、水空化和相变、受冲击载荷作用引起的弹丸形变和断裂、弹水动态流固耦合(水动弹性)等复杂物理过程^[1]。采用简化的理论模型只能分析空化泡形态等非耦合过程^[2]。Logvinovich^[3]提出空穴截面扩张的独立原理，这个原理是近似的，但用它可以很简单地确定各种情况下空化泡的外形。曹伟等^[4]通过实验研究了高速射弹的自然超空泡形态和发展规律。易文俊等^[5]基于Rayleigh-Plesset单一介质可变密度混合多相流模型，计算分析了不同射弹的超空泡减阻特性。安伟光等^[6]依据气体泄漏规则建立空泡内气体平衡方程，联合空泡截面扩展及运动体姿态方程，数值研究了运动体带空泡高速入水非定常过程。数值模拟非常适合求解上述多个耦合过程，其中无网格的光滑粒子流体动力学(smoothed particle hydrodynamics, SPH)方法适合求解弹丸入水过程中介质大变形和流固耦合问题^[7-8]。

本文中基于SPH方法，分析弹丸外形、入水速度和角度等因素对弹丸入水过程的影响，对弹丸入水过程中产生的空泡形态、弹道轨迹和弹丸阻力因数等进行模拟计算，研究弹丸入水的机理，为分析弹丸稳定性和阻力等提供理论依据。

1.   计算模型和数值方法

1.1   计算模型

设计3种外形的弹丸，以不同角度、速度入水，研究其入水过程的动力学特性及水中弹道规律。图 1给出了3种弹丸及入水模型的示意图。弹丸以初速度v₀、角度θ进入H×L的水域的计算模型，水域的边界条件设置为固壁边界。弹丸有3种类型：(A)平头弹丸的长度L₁=40mm，直径D=12mm；(B)尖头弹丸的长度L₂=20mm、L₃=20mm，直径D=12mm；(C)截断头弹丸的长度L₂=20mm、L₄=10.44mm，弹丸直径D=12mm，截断面直径D₁=6mm。弹丸入水初速度v₀分别为1200、200m/s，入水角度θ取90°、60°、30°。

图  1  弹丸外形及入水示意图

Figure  1.  Schematic diagram of the projectile shape and projectile entry into the water

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1.2   状态方程

冲击载荷作用下，通常采用Mie-Grüneisen状态方程来描述水的动力学性质^[9]。水的状态方程取决与水的状态，在压缩和膨胀状态下水的压力分别为：

式中：p为水的压力；ρ₀是初始密度；η是扰动前后的密度比，μ=η－1，当μ>0时，水处于压缩状态，当μ < 0时，水处于膨胀状态；γ₀为Grüneisen常数，a为体积修正系数；c为水中的声速，S₁、S₂、S₃均为实验拟合系数。水的相关参数如表 1所示。

表  1  Mie-Grüneisen状态方程的材料参数

Table  1.  Material parameters of Mie-Grüneisen equation of state

ρ0/(kg·m-3)	c/(m·s-1)	γ0	S1	S2	S3	a
1000	1480	0.5	2.56	1.986	1.227	0

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弹丸假定为理想弹塑性体，静水压力与体积变化率之间呈线性变化，相关方程如下^[10]：

式中：p_s为静水压力；ε_V为材料应变；K为体积模量，K=E/[3(1-2ν)]，E为弹性模量，ν为泊松比。弹丸的密度为7800kg/m³，弹性模量为210GPa，泊松比为0.3。

1.3   SPH方法

光滑粒子流体动力学(SPH)方法是由L.B.Lucy等^[11]提出的一种解决天体物理学问题的纯拉格朗日方法，后来该方法被用于研究介质大变形及流固耦合问题^[12]，在求解过程中展示出无网格方法所特有的强大的自适应性。SPH方法的核心思想：用一系列任意分布的粒子来表示问题域，用积分表示法来近似场函数，应用粒子来对核近似方程进一步近似，在每个时间步内都要进行粒子近似的过程，将粒子近似法应用于描述场函数的偏微分方程，得到只与时间相关的离散化形式的常微分方程，应用积分法来求解常微分方程，得到粒子的场变量。以上特点结合起来，使得SPH方法成为具有无网格、自适应、稳定等特点以及拉格朗日性质的动力学问题求解方法，非常适合求解弹丸入水过程中介质大变形和流固耦合问题。

与有限元方法不同，SPH方法的节点是离散的。该方法采用光滑长度内的粒子代替有限元方法中的影响节点集。因为没有固定的单元体连接，SPH方法中的每个粒子周围光滑长度内的粒子个数和分布是不固定的，采用J.J.Monaghan^[13]提出的B-样条函数的光滑函数，用积分表示法来近似某一点的场函数值。为了使SPH算法适合模拟冲击问题，引入Monaghan型人工黏度^[14]。弹丸入水问题中水域有2种不同边界：自由边界和固壁边界。由于SPH方法的自适应性，自由液面处的粒子可以自动跟随液面运动，不需要做特殊处理。固壁边界采用排斥边界条件，在壁面外设置一组虚拟粒子，虚拟粒子参与流体粒子计算，粒子自身密度也不断更新，但位置和速度保持不变^[14]。采用蛙跳法求解具有拉格朗日性质的SPH方法的N-S方程^[12]，时间步长满足CFL条件^[15]。

2.   计算结果分析和讨论

本文中研究3种外形的弹丸，以不同初速度v₀、角度θ入水，计算空泡形态、弹道轨迹、及速度的变化规律，了解影响弹丸动力学特征的相关因素。

2.1   弹道轨迹

图 2给出了尖头弹丸以初速度v₀=1200m/s，不同角度θ入水的空化泡形状的发展规律。由图可知：(1)弹丸垂直入水时，空化泡的长度、宽度是随着运动时间(t)增加而变大的，空化泡的长度的变化率要大于空化泡宽度，各时刻的空化泡形态保持几何相似，且关于y轴对称，在计算时间内空化泡的没有出现闭合现象，如图 2(a)所示；(2)弹丸以θ为60°和30°入水时，空化泡的长度、宽度随着运动时间增加而变大，空化泡没有出现闭合现象，由于受到偏转力矩作用，弹丸的运动轨迹是弧形的，导致空化泡不再是轴对称的形状，各时刻空化泡头部的形状、及运动规律主要是由弹丸姿态决定的，如图 2(b)和2(c)所示。

2a  尖头弹丸入水的空化泡形状发展(θ=90°)

2a.  Shape formation of cavitation bubble during the cuspidal projectile entry into the water (θ=90°)

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2b  尖头弹丸入水的空化泡形状发展(θ=60°)

2b.  Shape formation of cavitation bubble during the cuspidal projectile entry into the water (θ=60°)

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2c  尖头弹丸入水的空化泡形状发展(θ=30°)

2c.  Shape formation of cavitation bubble during the cuspidal projectile entry into the water (θ=30°)

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图 3是尖头弹丸以v₀=1200m/s，θ=60°入水的计算结果。由图可知：(1) t=0.1ms时，弹丸高速进入水域，弹丸的运动方向保持与入水前一致；(2) t=0.2和0.3ms时，由于弹丸入水角度θ=60°，因此在水中运动时会受到一个偏转力矩作用，引起弹丸的运动姿态发生变化，导致弹丸运动方向相对于入水前偏转了较大的角度(弹道失稳)，且弹丸周围产生空化泡；(3) t=0.5和0.7ms时，随着弹丸的稳定性的下降，弹道偏转现象越来越明显，弹丸周围形成了一个不闭合的弧形空泡，且速度急剧下降。

图  3  尖头弹丸的入水轨迹(v₀=1200m/s，θ=60°)

Figure  3.  Trajectory of cuspidal projectile entry into the water (v₀=1200m/s, θ=60°)

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图 4是平头弹丸以v₀=1200m/s，θ=90°入水的计算结果。由图可知：(1) t=0.08ms时，弹丸高速进入水域，会在弹头边界形成应力集中，导致边界产生裂纹；(2) t=0.2ms时，弹头边界部分出现断裂现象，破片与弹丸分离，弹头变化为锥形凸台，且弹丸周围有空化泡产生；(3) t=0.4和0.6ms时，随着弹丸在水中运动，空泡半径越来越大，产生的破片以较大的速度向两侧运动，同样也会产生空化泡，对弹丸周围的空化泡产生影响；(4) t=0.8ms时，弹丸的运动速度越来越小，弹丸周围形成闭合空泡。

图  4  平头弹入水运动轨迹(v₀=1200m/s，θ=90°)

Figure  4.  Trajectory of blunt projectile entry into the water (v₀=1200m/s, θ=90°)

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图 5给出了3种弹丸在高速和低速下的弹道轨迹，其中：A、B、C分别代表平头、尖头和截断头的弹丸。图 5(a)为弹丸垂直入水的弹道轨迹：平头弹丸在高、低速条件下，弹道轨迹均保持良好的稳定性；尖头弹丸在高速情况下弹道稳定性良好，而低速情况下弹道则失稳；截断头弹丸在高、低速条件下，弹道轨迹均失稳。图 5(b)和5(c)分别是弹丸入水角度θ=60°和30°的弹道轨迹：低速情况下，3种弹丸的弹道轨迹均能保证良好的稳定性；而在高速情况下弹丸的弹道轨迹的稳定性均会变的不理想，尤其是尖头弹丸。实际上，弹丸在水中的弹道轨迹主要是由弹丸的质心、压心的位置关系决定的，设计弹丸外形时应给予考虑，如对于大长径比的弹丸，应该考虑通过摆动(尾拍)保持弹丸运动平衡。

5a  弹丸入水过程中的弹道轨迹(θ=90°)

5a.  Ballistic trajectory of projectile during the process of entry into the water (θ=90°)

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5b  弹丸入水过程中的弹道轨迹(θ=60°)

5b.  Ballistic trajectory of projectile during the process of entry into the water (θ=60°)

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5c  弹丸入水过程中的弹道轨迹(θ=30°)

5c.  Ballistic trajectory of projectile during the process of entry into the water (θ=30°)

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2.2   运动规律

图 6给出了3种弹丸在不同入水角度下的速度。图 6(a)为弹丸入水速度v₀=1200m/s的运动规律。垂直入水的情况下，尖头弹丸产生的空化泡有效的降低了水的阻力，而截断头弹的弹道轨迹发生了偏转现象，所以受到的阻力较大，速度下降的最为明显；θ=60°和30°时，3种类型的弹丸在水中运动的稳定性均比较差，受到的水的阻力均较大，尤其是尖头弹丸，速度下降的最为明显。图 6(b)为弹丸入水速度v₀=200m/s的运动规律：垂直入水时，3种弹丸的入水速度大小关系为v_B>v_C>v_A；θ=60°和30°时，则为v_B>v_C≈v_A。

图  6  弹丸入水的速度变化规律

Figure  6.  Profile of the velocity variation during the projectile entry into the water

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根据牛顿第二定律，在水中运动的弹丸质心运动方程为：

式中：m为弹丸质量，v为弹丸运动速度，R_x为弹丸受到的阻力，R_y为升力，R_z为马格努斯力，R_g为重力，R_C为科氏力升力，R_Ω为地球自转产生的惯性力。计算中只考虑阻力R_x=-0.5ρ_wv²C_xS，ρ_w是水的密度，C_x是弹丸阻力因数，S是垂直中心轴的最大截面积。

图 7给出了不同速度下，阻力因数随时间的变化规律。弹丸入水速度v₀=1200m/s时：垂直入水的情况下，平头弹入水的初始阻力因数较大，随着弹丸的破坏，弹头形状变为锥形凸台，有效的降低了阻力因数，尖头弹的阻力因数较小，随着时间增长保持在0.5左右，而截断头弹丸的弹道轨迹发生了偏转现象，所以阻力因数均较大；入水角度为60°、30°的情况下，3种类型的弹丸的阻力因数较垂直入水时大，3种弹丸的阻力因数从大到小依次为平头弹、尖头弹、截断头弹。弹丸入水速度v₀=200m/s时，平头弹丸的阻力因数明显要高于其他的2种弹形；尖头弹、截断头弹的阻力因数均在1.2附近震荡。

图  7  弹丸阻力因数随时间的变化规律

Figure  7.  Variation of the projectile's drag coefficient with time

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3.   结论

本文中采用具有无网格、自适应、稳定以及拉格朗日性质的SPH方法，研究了不同外形弹丸以不同初速度、角度入水的动力学过程：

(1) 弹丸入水时，如果弹道轨迹稳定，会产生对称的空化泡，否则会产生不规则的空化泡，空化泡的形态及发展规律主要由弹丸的运动姿态决定；

(2) 垂直入水时，高速条件下平头和尖头弹丸的弹道轨迹稳定性较好，低速条件下只有平头弹丸的弹道稳定；以一定角度入水时，3种外形弹丸在低速条件下的弹道稳定性要优于高速条件；弹道稳定性是由弹丸的质心、压心的位置关系决定的；

(3) 垂直高速入水时，尖头弹丸的阻力因数最小，而以一定角度高速入水时，截断头弹阻力因数最小；低速入水时，平头弹的阻力因数较大，而尖头弹、截断头弹的阻力因数大小相当；

(4) 弹道稳定性越好，阻力因数就越小，弹丸的存速就越大；阻力因数的大小还与弹丸头部空化器的尺寸相关。