径向非均匀压电介质中圆孔对SH波的散射

张希萌; 齐辉; 孙学良

doi:10.11883/1001-1455(2017)03-0464-07

径向非均匀压电介质中圆孔对SH波的散射

doi: 10.11883/1001-1455(2017)03-0464-07

哈尔滨工程大学航天与建筑工程学院，黑龙江哈尔滨 150001

基金项目:

黑龙江自然科学基金项目 A201404

详细信息

作者简介:
张希萌(1989-)，男，博士研究生

通讯作者:
齐辉，qihui205@sina.com

中图分类号: O343.4
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出版历程
- 收稿日期: 2015-11-23
- 修回日期: 2016-06-24
- 刊出日期: 2017-05-25

Scattering of SH-wave by a circular cavity in radial inhomogeneous piezoelectric medium

College of Aerospace and Civil Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, Heilongjiang, China

摘要

摘要: 利用复变函数理论对SH波作用下含圆孔径向非均匀压电介质的反平面动力特性进行了研究。压电介质的密度沿径向按幂函数形式变化，但压电参数、弹性参数、介电参数均为常数。利用变量替换法将非均匀压电介质的变系数波动方程组转化为标准的Helmholtz方程组，得到了满足边界条件的波函数解析表达式。通过数值算例分析了入射角度、入射波频率、幂次等对应力集中系数和电场强度集中系数的影响，并与已有文献进行比较。结果表明，某些参数组合下，动应力集中系数与电场强度集中系数均随幂次增大而增大。
- 径向非均匀压电介质 /
- 反平面动力特征 /
- SH波 /
- 动应力集中系数 /
- 电场强度集中系数
Abstract: The dynamic anti-plane behavior of the radial inhomogeneous piezoelectric medium with a circular cavity under the SH-wave was investigated using the complex function theory. It was assumed that the density of the piezoelectric medium varied as a power-law function on the radial distance but the elastic parameters, the piezoelectric parameters, and the dielectric parameters all remained as constants. The wave equations of the inhomogeneous piezoelectric medium were converted to the standard Helmholtz equations by variable substitution and the analytical expression of the wave function satisfying the boundary condition was obtained. The influence of the incident angle, the frequency of incident wave and the power of the power-law function, etc. on the dynamic stress concentration factor and electric field intensity concentration factor was analyzed and compared with the existing references in the calculated example. The numerical results show that the values of the dynamic stress concentration factor and the electric field intensity concentration factor increase as the power increases with combination of certain parameters.
- radial inhomogeneous piezoelectric medium /
- dynamic anti-plane behavior /
- SH wave /
- dynamic stress concentration factor /
- electric field intensity concentration factor

HTML全文

压电材料可以制造成执行器或传感器等智能元件，广泛应用于国防工业与实际生活中。由于压电材料中力学与电学性质相互耦合，在SH波作用下压电材料中夹杂或圆孔等缺陷处的动应力集中及电场强度集中问题也比一般材料更复杂。近年来，许多学者对缺陷问题进行了研究，并取得了丰富的成果^[1-12]。X.F.Li等^[1]基于电磁材料弹性理论研究了径向非均匀性的压电压磁球壳的静态响应问题；时朋朋等^[2]利用分离变量法和Hilbert核奇异积分方程理论研究了功能梯度压电压磁双材料的周期界面裂纹问题；靳静等^[3]利用积分变换法和奇异积分方程技术研究了压电压磁双材料界面裂纹的二维断裂问；舒小平^[4-5]基于等效单层理论的位移场和电势场求解了正交压电复合材料层板在各类边界条件下的解析解；宋天舒等^[6-7]研究了双相压电介质中圆孔与界面裂纹相互作用的动力学问题。但是，以上工作中大部分是关于径向非均匀介质的静态响应问题的求解，对含圆孔的压电介质在SH波作用下的动态响应问题，目前仍未见报道。

1. 控制方程

含圆孔的全空间非均匀压电介质如图 1所示，已知其密度ρ(r)=ρ₁β²r^2(β-1)，其中ρ₁为常数，β为幂次。弹性常数、压电常数、介电常数分别为c₄₄、e₁₅、κ₁₁；圆孔内部可以形成电场，其压电常数为e₁₅^c，介电常数为κ₁₁^c。在直角坐标系中：r²=x²+y²，ρ(x, y)=ρ₁β²(x²+y²)^(β-1)。满足控制方程：

$\left\{ \begin{array}{l} {c_{44}}{\nabla ^2}w + {e_{15}}{\nabla ^2}\varphi + \rho \left( {x, y} \right){\omega ^2}w = 0\\ {e_{15}}{\nabla ^2}w - {\kappa _{11}}{\nabla ^2}\varphi = 0 \end{array} \right.$

(1)

图 1 含圆孔径向非均匀压电介质模型

Figure 1. Model of the radial inhomogeneous piezoelectric medium with a circular cavity

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式中：w和φ分别为压电材料的位移和电势，ω为SH波的圆频率。令φ=e₁₅(w+f)/κ₁₁，对式(1)化简得：

$\left\{ \begin{array}{l} {\nabla ^2}w + k_0^2{\beta ^2}{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^{\left( {\beta - 1} \right)}}w = 0\\ {\nabla ^2}f = 0 \end{array} \right.$

(2)

波数满足：

${k^2} = \rho {w^2}/{c^ * } = k_0^2{\beta ^2}{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^{\left( {\beta - 1} \right)}}$

(3)

式中：k为波数；k₀²=ρ₁ω²/c^*，c^*为压电介质的剪切波速，且c^*=c₄₄+e₁₅²/κ₁₁。

利用复变函数法，令z=x+iy, z=x-iy，在复平面(η, η)中控制方程可化为：

$\left\{ \begin{array}{l} \frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial z\partial \bar z}} + \frac{1}{4}{\beta ^2}{\left( {z\bar z} \right)^{\beta - 1}}k_0^2w = 0\\ \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial z\partial \bar z}} = 0 \end{array} \right.$

(4)

引入变量ζ=z^β，ζ=z^β，控制方程可进一步转化为：

$\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial \zeta \partial \bar \zeta }} + \frac{1}{4}k_0^2w = 0$

(5)

本构方程为：

$\left\{ \begin{array}{l} {\tau _{rz}} = \left( {{c_{44}} + \frac{{e_{15}^2}}{{{\kappa _{11}}}}} \right)\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial z}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\theta }} + \frac{{\partial w}}{{\partial \bar z}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\theta }}} \right) + \frac{{e_{15}^2}}{{{\kappa _{11}}}}\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial z}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\theta }} + \frac{{\partial f}}{{\partial \bar z}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\theta }}} \right)\\ {\tau _{\theta z}} = {\rm{i}}\left( {{c_{44}} + \frac{{e_{15}^2}}{{{\kappa _{11}}}}} \right)\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial z}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\theta }} - \frac{{\partial w}}{{\partial \bar z}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\theta }}} \right) + {\rm{i}}\frac{{e_{15}^2}}{{{\kappa _{11}}}}\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial z}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\theta }} - \frac{{\partial f}}{{\partial \bar z}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\theta }}} \right)\\ {D_r} = - {e_{15}}\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial z}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\theta }} + \frac{{\partial f}}{{\partial \bar z}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\theta }}} \right)\\ {D_\theta } = - {\rm{i}}{e_{15}}\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial z}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\theta }} - \frac{{\partial f}}{{\partial \bar z}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\theta }}} \right) \end{array} \right.$

(6)

式中：τ_rz和τ_θz分别为非均匀压电介质的径向应力和切向应力，D_r和D_θ分别为圆孔中电场的径向电位移和切向电位移。

2. 介质中的位移场

SH波散射过程中，入射波引起的压电材料位移wⁱⁿ表达式为：

${w^{{\rm{in}}}} = {w_0}\exp \left[ {\frac{{{\rm{i}}k}}{2}\left( {\zeta {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{\alpha _0}}} + \bar \zeta {{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\alpha _0}}}} \right)} \right]$

(7)

散射波引起的压电材料位移w^s表达式为：

${w^{\rm{s}}} = \frac{{\rm{i}}}{{2{c_{44}}\left( {1 + \lambda } \right)}}\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {{A_n}H_n^{\left( 1 \right)}\left( {k\left| \zeta \right|} \right){{\left( {\frac{\zeta }{{\left| \zeta \right|}}} \right)}^n}}$

(8)

式中：H_n⁽¹⁾( $k\left| \zeta \right|$ )为n阶第一类Hankel函数，λ=e₁₅²/(c₄₄κ₁₁)，A_n为系数。

$\varphi = \frac{{{e_{15}}}}{{{\kappa _{11}}}}\left( {{w^{{\rm{in}}}} + {w^{\rm{s}}} + {f^{\rm{s}}}} \right)$

(9)

散射波引起的电场附加函数f^s表达式为：

${f^{\rm{s}}} = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{B_n}{z^{ - n}}} + {C_n}{{\bar z}^{ - n}}$

(10)

式中：B_n和C_n为系数。由此得到：

$\left\{ \begin{array}{l} \tau _{rz}^{{\rm{in}}} = \frac{{{\rm{i}}k}}{2}\left( {{c_{44}} + \frac{{e_{15}^2}}{{{\kappa _{11}}}}} \right)\beta {w_0}\left( {{z^{\beta - 1}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\left( {\theta - {\alpha _0}} \right)}} + {{\bar z}^{\beta - 1}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\left( {\theta - {\alpha _0}} \right)}}} \right)\\ \exp \left[ {\frac{{{\rm{i}}k}}{2}\left( {\zeta {{\rm{e}}^{ - {\alpha _0}}} + \bar \zeta {{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\alpha _0}}}} \right)} \right]\\ \tau _{rz}^{\rm{s}} = \frac{{{\rm{i}}\beta k}}{4}\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } \\ {{A_n}\left[ {H_{n - 1}^{\left( 1 \right)}\left( {k\left| \zeta \right|} \right){{\left( {\frac{\zeta }{{\left| \zeta \right|}}} \right)}^{n - 1}}{z^{\beta - 1}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\theta }} - H_{n + 1}^{\left( 1 \right)}\left( {k\left| \zeta \right|} \right){{\left( {\frac{\zeta }{{\left| \zeta \right|}}} \right)}^{n + 1}}{{\bar z}^{\beta - 1}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\theta }}} \right]} \\ \; - \frac{{e_{15}^2}}{{{\kappa _{11}}}}n\left( {\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{B_n}{z^{ - n - 1}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\theta }}} + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{C_n}{{\bar z}^{ - n - 1}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\theta }}} } \right)\\ D_r^{\rm{s}} = {e_{15}}n\left( {\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{B_n}{z^{ - n - 1}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\theta }}} + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{C_n}{{\bar z}^{ - n - 1}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\theta }}} } \right) \end{array} \right.$

(11)

式中：上标“in”、“s”分别表示物理量与入射波、反射波相关。圆孔内部存在电场，满足方程：

$\frac{{{\partial ^2}{f^{\rm{c}}}}}{{\partial z\partial \bar z}} = 0$

(12)

式中：f^c为圆孔内部的电场附加函数。求解式(12)可得：

${f^{\rm{c}}} = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{D_n}{z^n}} + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{E_n}{{\bar z}^n}}$

(13)

式中：D_n和E_n为系数。由此可得：

$\left\{ \begin{array}{l} \tau _{rz}^{\rm{c}} = 0\\ {\varphi ^{\rm{c}}} = \frac{{e_{15}^{\rm{c}}}}{{\kappa _{11}^{\rm{c}}}}{f^{\rm{c}}}\\ D_r^{\rm{c}} = - e_{15}^{\rm{c}}n\left( {\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{D_n}{z^{n - 1}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\theta }}} + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{E_n}{{\bar z}^{n - 1}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\theta }}} } \right) \end{array} \right.$

(14)

式中：上标“c”表示物理量与圆孔中空气形成的电场相关。

3. 边界条件与定解方程

圆孔处的边界条件为：

$\begin{array}{*{20}{c}} {{\tau _{rz}} = \tau _{rz}^{{\rm{in}}} + \tau _{rz}^{\rm{s}} = \tau _{rz}^{\rm{c}} = 0}&{\varphi = {\varphi ^{\rm{c}}}}&{D_r^{\rm{s}} = D_r^{\rm{c}}} \end{array}$

(15)

利用以上边界条件式(15)建立关于A_n、B_n、C_n、D_n、E_n的方程组：

$\begin{array}{l} {\xi ^{\left( 1 \right)}} = \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {{A_n}\xi _n^{\left( {11} \right)}} + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{B_n}\xi _n^{\left( {12} \right)}} + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{C_n}\xi _n^{\left( {13} \right)}} \\ {\xi ^{\left( 2 \right)}} = \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {{A_n}\xi _n^{\left( {21} \right)}} + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{B_n}\xi _n^{\left( {22} \right)}} + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{C_n}\xi _n^{\left( {23} \right)}} + \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{D_n}\xi _n^{\left( {24} \right)}} + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{E_n}\xi _n^{\left( {25} \right)}} \\ {\xi ^{\left( 3 \right)}} = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{B_n}\xi _n^{\left( {32} \right)}} + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{C_n}\xi _n^{\left( {33} \right)}} + \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{D_n}\xi _n^{\left( {34} \right)}} + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{E_n}\xi _n^{\left( {35} \right)}} \end{array}$

(16)

式中：

$\left\{ \begin{array}{l} \xi _n^{\left( {11} \right)} =\\ \frac{{{\rm{i}}\beta k}}{4}\left[ {H_{n - 1}^{\left( 1 \right)}\left( {k\left| \zeta \right|} \right){{\left( {\frac{\zeta }{{\left| \zeta \right|}}} \right)}^{n - 1}}{z^{\beta - 1}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\theta }} - H_{n + 1}^{\left( 1 \right)}\left( {k\left| \zeta \right|} \right){{\left( {\frac{\zeta }{{\left| \zeta \right|}}} \right)}^{n + 1}}{{\bar z}^{\beta - 1}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\theta }}} \right]\\ \xi _n^{\left( {12} \right)} = - \frac{{e_{15}^2}}{{{\kappa _{11}}}}n{z^{ - n - 1}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\theta }}\;\;\;\;\;\xi _n^{\left( {13} \right)} = - \frac{{e_{15}^2}}{{{\kappa _{11}}}}n{{\bar z}^{ - n - 1}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\theta }}\;\;\;\;\\ \xi _n^{\left( {21} \right)} = \frac{{{\rm{i}}{e_{15}}}}{{2{c_{44}}{\kappa _{11}}\left( {1 + \lambda } \right)}}H_n^{\left( 1 \right)}\left( {k\left| \zeta \right|} \right){\left( {\frac{\zeta }{{\left| \zeta \right|}}} \right)^n}\\ \xi _n^{\left( {22} \right)} = \frac{{{e_{15}}}}{{{\kappa _{11}}}}{z^{ - n}}\;\;\;\;\;\;\xi _n^{\left( {23} \right)} = \frac{{{e_{15}}}}{{{\kappa _{11}}}}{{\bar z}^{ - n}}\;\;\;\;\;\;\;\xi _n^{\left( {24} \right)} = - \frac{{e_{15}^{\rm{c}}}}{{\kappa _{11}^{\rm{c}}}}{z^n}\;\;\;\;\;\;\\\ xi _n^{\left( {25} \right)} = - \frac{{e_{15}^{\rm{c}}}}{{\kappa _{11}^{\rm{c}}}}{{\bar z}^n}\\ \xi _n^{\left( {32} \right)} = {e_{15}}n{z^{ - n - 1}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\theta }}\;\;\;\;\;\;\xi _n^{\left( {33} \right)} = {e_{15}}n{{\bar z}^{ - n - 1}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\theta }}\\ \xi _n^{\left( {34} \right)} = e_{15}^{\rm{c}}n{z^{n - 1}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\theta }}\;\;\;\;\;\;\xi _n^{\left( {35} \right)} = e_{15}^{\rm{c}}n{{\bar z}^{ - n - 1}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\theta }}\\ {\xi ^{\left( 1 \right)}} = - \frac{{{\rm{i}}k}}{2}\left( {{c_{44}} + \frac{{e_{15}^2}}{{{\kappa _{11}}}}} \right)\beta {w_0}\left( {{z^{\beta - 1}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\left( {\theta - {\alpha _0}} \right)}} + {{\bar z}^{\beta - 1}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\left( {\theta - {\alpha _0}} \right)}}} \right)\\ \exp \left[ {\frac{{{\rm{i}}k}}{2}\left( {\zeta {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{\alpha _0}}} + \bar \zeta {{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\alpha _0}}}} \right)} \right]\\ {\xi ^{\left( 2 \right)}} = - \frac{{{e_{15}}}}{{{\kappa _{11}}}}{w_0}\exp \left[ {\frac{{{\rm{i}}k}}{2}\left( {\zeta {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{\alpha _0}}} + \bar \zeta {{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\alpha _0}}}} \right)} \right]\;\;\;\;\;\;\;{\xi ^{\left( 3 \right)}} = 0 \end{array} \right.$

(17)

将式(16)取有限截断项，等式两边同时乘以e^-imθ(m=0, ±1, ±2, ±3, …)，从(-π, π)进行积分得到多元一次方程组，从而求解出未知系数A_n、B_n、C_n、D_n、E_n。

4. 动应力集中系数与电场强度系数

根据文献[11]可知，动应力集中系数τ_θz^*(dynamic stress concentration factor, DSCF)和电场强度集中系数E_θ^*(electric field intensity concentration factor, EFICF)表达式分别为：

$\begin{array}{*{20}{c}} {\tau _{\theta z}^ * = \left| {{\tau _{\theta z}}/{\tau _0}} \right|}&{E_\theta ^ * = \left| {{E_\theta }/{E_0}} \right|} \end{array}$

(18)

式中：

$\begin{array}{*{20}{c}} {{\tau _0} = {\rm{i}}k\left( {{c_{44}} + \frac{{e_{15}^2}}{{{\kappa _{11}}}}} \right){w_0}}&{{E_0} = \frac{{k{e_{15}}{w_0}}}{{{\kappa _{11}}}}}&{{E_\theta } = - {\rm{i}}\left( {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial \eta }}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\theta }} - \frac{{\partial \varphi }}{{\partial \bar \eta }}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\theta }}} \right)} \end{array}$

5. 算例分析

当β=1时，本文模型退化为均匀压电介质模型。为对本文方法进行验证，采用与文献[7]中相同的参数，求解得到动应力系数τ_θz^*沿圆孔周边的分布情况，如图 2所示。可以看出，计算结果与文献[7]中结果吻合较好，说明本文方法精确可行。以下取κ₁₁/κ₁₁^c=1000进行建模，分析各参数对动应力集中系数及电场强度系数的影响。

图 2 方法验证(与文献[7]比较)

Figure 2. Verification of the present method (compared with reference [7])

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图 3给出了SH波以不同角度(α₀)入射时圆孔周围动应力系数的变化情况。由图 3可知：SH波垂直入射时，τ_θz^*达到最大值3.8；SH波水平入射时，τ_θz^*最大值约为均匀压电介质的2~3倍。由此可见，入射角度α₀对非均匀介质具有一定的影响。

图 3 SH波入射角度不同时动应力集中系数的变化

Figure 3. Varition of DSCF around the circular cavity edge by SH-wave with different incident angles

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图 4给出了SH波水平入射时圆孔周边动应力集中系数随波数ka的变化情况。图 4显示：τ_θz^*随波数ka的增大而减小，SH波低频入射时，τ_θz^*的最大值约为高频入射时的2倍。

图 4 SH波水平入射时圆孔周边动应力集中系数随波数ka的变化情况

Figure 4. DSCF around circular cavity edge vs.ka by horizontal SH-wave

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图 5给出了SH波垂直入射时圆孔周边动应力集中系数随波数ka的变化情况。图 5显示：τ_θz^*随波数ka增大而减小，与图 4中规律相同，但图 5中τ_θz^*的最大值比图 4中约大18%。由图 3~5可知，SH波低频垂直入射对径向非均匀压电介质破坏较大，在工程中应该对这种情况引起注意。

图 5 SH波垂直入射时圆孔周边动应力集中系数随波数ka的变化情况

Figure 5. DSCF around circular cavity edgevs.ka by vertical SH-wave

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图 6给出了SH波水平入射时圆孔周边动应力集中系数随λ的变化情况。图 6显示：压电参数λ对τ_θz^*几乎没有影响。图 7给出了SH波水平入射时圆孔周边动应力集中系数随β的变化情况。由图 7可知，τ_θz^*随幂次β的增大而增大，当β=4时，τ_θz^*达到最大值3.2，约为均匀压电材料τ_θz^*最大值的2倍，因此工程中应该合理调整参数，避免幂次β过大。

图 6 SH波水平入射时圆孔周边动应力集中系数随λ变化情况

Figure 6. DSCF around circular cavity edge vs. λ by horizontal SH-wave

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图 7 SH波水平入射时圆孔周边动应力集中系数随幂次β的变化情况

Figure 7. DSCF around circular cavity edge vs. β by horizontal SH-wave

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图 8给出了SH波水平入射时圆孔θ=π/2处动应力集中系数随波数ka的变化情况。图 8显示：τ_θz^*随ka值的增大而减小，下降率约为1.1%。不同压电参数λ条件下得到的τ_θz^*曲线几乎完全重合，说明λ对τ_θz^*几乎没有影响，与图 6中的结论一致。

图 8 SH波垂直入射时圆孔θ=π/2处动应力集中系数随ka的变化

Figure 8. DSCF around circular cavity edge vs. ka by vertical SH-wave

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图 9给出了SH波高频入射时圆孔周边电场强度系数随SH波入射角度的变化情况。由图 9可知：入射角度对E_θ^*最大值的影响不大；斜入射时，E_θ^*达到最大值3.1。

图 9 SH波以不同角度入射时圆孔周边电场强度系数的变化情况

Figure 9. Variation of EFICF around circular cavity edge by SH-wave with different incident angles

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图 10给出了SH波水平入射时圆孔周边电场强度系数随λ的变化情况。由图 10可知，E_θ^*随压电参数λ的增大而减小，当λ=0.2时，E_θ^*达到最大值6.2，因此工程中需要注意λ取值较小的情况。

图 10 SH波水平入射时圆孔周边电场强度系数随λ的变化情况

Figure 10. EFICF around circular cavity edge vs. λ by horizontal SH-wave

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图 11给出了SH波水平入射时圆孔周边电场强度系数随β的变化情况。由图 11可知，E_θ^*随幂次β增大而增大，与图 7中τ_θz^*变化规律一致。当β=4时，E_θ^*达到最大值3.1。

图 11 SH波水平入射时圆孔周边电场强度系数随β变化情况

Figure 11. EFICF around circular cavity edge vs. β by horizontal SH-wave

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图 12给出了SH波水平入射时圆孔θ=π/2处电场强度系数随波数ka的变化情况。由图 12可知：当ka < 0.2时，E_θ^*无明确的变化规律；当ka>0.2时，E_θ^*随ka的增大而减小。

图 12 SH波水平入射时圆孔θ=π/2处电场强度系数随波数ka变化情况

Figure 12. EFICF at the circular cavity edge vs. ka by horizontal SH-wave

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6. 结论

利用复变函数理论，对径向非均匀压电介质中圆孔对SH波的散射问题进行了研究。结果表明，SH波低频垂直入射对径向非均匀压电介质破坏较大；高频入射时，压电参数λ对τ_θz^*几乎没影响，但E_θ^*随λ的减小而增大，τ_θz^*与E_θ^*均随幂次β的增大而增大。另外，SH波水平入射时，τ_θz^*随ka的减小而增大，当ka>0.2时，E_θ^*也随ka的减小而增大。在实际工程中应该对这些规律引起注意，以避免非均匀压电介质发生破坏。

图 1 含圆孔径向非均匀压电介质模型

Figure 1. Model of the radial inhomogeneous piezoelectric medium with a circular cavity

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图 2 方法验证(与文献[7]比较)

Figure 2. Verification of the present method (compared with reference [7])

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图 3 SH波入射角度不同时动应力集中系数的变化

Figure 3. Varition of DSCF around the circular cavity edge by SH-wave with different incident angles

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图 4 SH波水平入射时圆孔周边动应力集中系数随波数ka的变化情况

Figure 4. DSCF around circular cavity edge vs.ka by horizontal SH-wave

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图 5 SH波垂直入射时圆孔周边动应力集中系数随波数ka的变化情况

Figure 5. DSCF around circular cavity edgevs.ka by vertical SH-wave

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图 6 SH波水平入射时圆孔周边动应力集中系数随λ变化情况

Figure 6. DSCF around circular cavity edge vs. λ by horizontal SH-wave

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图 7 SH波水平入射时圆孔周边动应力集中系数随幂次β的变化情况

Figure 7. DSCF around circular cavity edge vs. β by horizontal SH-wave

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图 8 SH波垂直入射时圆孔θ=π/2处动应力集中系数随ka的变化

Figure 8. DSCF around circular cavity edge vs. ka by vertical SH-wave

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图 9 SH波以不同角度入射时圆孔周边电场强度系数的变化情况

Figure 9. Variation of EFICF around circular cavity edge by SH-wave with different incident angles

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图 10 SH波水平入射时圆孔周边电场强度系数随λ的变化情况

Figure 10. EFICF around circular cavity edge vs. λ by horizontal SH-wave

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图 11 SH波水平入射时圆孔周边电场强度系数随β变化情况

Figure 11. EFICF around circular cavity edge vs. β by horizontal SH-wave

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图 12 SH波水平入射时圆孔θ=π/2处电场强度系数随波数ka变化情况

Figure 12. EFICF at the circular cavity edge vs. ka by horizontal SH-wave

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1. 控制方程
2. 介质中的位移场
3. 边界条件与定解方程
4. 动应力集中系数与电场强度系数
5. 算例分析
6. 结论

径向非均匀压电介质中圆孔对SH波的散射

doi: 10.11883/1001-1455(2017)03-0464-07

作者简介: 张希萌(1989-)，男，博士研究生

通讯作者: 齐辉，qihui205@sina.com

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