激波诱导高速气流中液滴的初期变形

易翔宇; 朱雨建; 杨基明

doi:10.11883/1001-1455(2017)05-0853-10

摘要: 基于激波管平台和高速摄影方法对平面激波诱导高速气流中液滴的早期变形现象进行实验研究。研究发现在相近的We数或Re数下，实验参数的改变可导致液滴形态发展出现显著差异。这种差异主要体现在背风面的脊状环形突起、褶皱区以及后驻点区的凹凸形态。对刚性圆球外流的数值模拟显示，液滴变形早期形态与外流场结构和表面气动力分布之间存在鲜明的对应关系。最后采用简化理论推导出一组估测液滴早期变形的表达式。将数值模拟所得气动力数据代入计算发现：导致液滴变形的主要驱动力是液滴表面不均匀压力的挤压效应，而不是界面剪切摩擦所引起的切向流动堆积效应，前者高出后者约2个数量级；此外，采用压力作用理论计算所得液滴外形在主要变形特征和变形量级上均可与实验图像很好地吻合。

关键词:

液滴 /
破碎 /
初期变形 /
高速摄影 /
背风面

Abstract: In the present study the early-stage deformation of a liquid drop in the high-speed flow induced by a planar shock wave was experimentally investigated using the shock tube facility and high-speed photography technique. It was found that the variation of the flow and drop conditions may cause significant divergences in the morphology of the drop deformation, even though such classical dominant parameters such as the Weber number or the Reynolds number are conserved. The divergences are mainly on the lee side of the drop, involving major characteristics of the circular ridges, the wrinkle band and the concave-plane convex profile of the lee side polar zone. Numerical simulations of the flow around a sphere show evident correspondence between the deformation patterns and the flow structures as well as the aerodynamic forces distributed along the sphere surface. For further evaluation and understanding of the detailed deformation features, a set of equations were deduced from hydrodynamic theories with necessary simplification. Feeding the equations with the aerodynamic data from numerical simulations, the calculation results indicate that, the main mechanism behind the deformation on the lee side of the drop is the squeezing effect of the uneven pressure distribution, rather than the accumulation effect of the surfacial flow induced by friction, with the former about two orders higher than the latter. Moreover, the drop profiles calculated following the pressure acting theory were found to agree quite well with the real drop patterns, not only in the deformation characteristics but also in the order of deformation magnitudes.

Key words:

随着人类航天事业的迅猛发展，大量的航天器被部署到太空，航天器废弃、相互碰撞解体等事件也产生了越来越多的空间碎片。这些空间碎片的速度极高（平均速度超过10 km/s），当撞击到航天器时将造成航天器的结构损伤、功能失效、甚至解体损毁等。因此，防护结构是航天器抵御空间碎片撞击，特别是抵御尺寸较小、无法被跟踪监测的空间碎片撞击的最重要屏障，在不增大结构尺寸和质量的前提下，提升结构对空间碎片的防护性能始终是一项具有重要应用价值的工作^[1]。

从Whipple结构开始，以提升结构防护性能为目标，已发展了多种类型的防护结构^[2]，如：改变缓冲屏结构、增强结构对空间碎片破碎效果的改进型Whipple结构^[3-6]；在缓冲屏与后墙之间填充轻质吸能结构、减弱碎片云对结构后墙损伤的填充式结构^[7-11]；增加结构中的防护层数，提高对碎片云破碎和阻挡作用的三层铝板结构^[12]；改变防护层常规平行布局方式、利用倾斜布置中间层来进一步分散碎片云撞击能量的N形结构^[13]等。

以探索改变后墙结构来提升防护性能为目的，Wen等^[14]初步验证了在后墙表面紧贴一层轻质材料来提供结构防护性能的可行性，Wen等^[15]初步研究了对后墙进行拆分来提高结构防护性能的可行性。为了进一步检验后墙拆分方式对提升结构防护性能的有效性，本文中设计典型的后墙拆分防护结构，通过开展数值模拟研究，探讨Whipple结构与后墙拆分结构防护性能的差异，分析铝球以不同速度撞击防护结构后墙的损伤情况，初步对比研究后墙拆分结构在不同撞击速度下的防护性能。针对典型撞击状态开展实验，对比后墙拆分形式不同的两种结构的防护性能，并与相同面密度的Whipple结构的防护性能进行对比，同时通过实验对比验证数值模拟的有效性，进一步验证后墙拆分结构的防护性能。

1. 防护结构形式

选择典型的Whipple结构作为基准，其缓冲屏、后墙、观察屏厚度分别为2、3和1 mm，相邻两块铝板间距分别为100和50 mm，如图1(a)所示。在此基础上将后墙拆分为两块铝板叠加的结构，共获得两种后墙拆分(separated rear wall)防护结构，分别编号为SRW1和SRW2，如图1(b)和1(c)所示。其中SRW1后墙第1层板厚1 mm，第2层板厚2 mm；SRW2后墙第1层板厚2 mm，第2层厚1 mm。3种防护结构的具体尺寸如表1所示，防护结构的材料均选用2A12铝。

图 1 3种防护结构示意图

Figure 1. Sketches for three kinds of shield structures

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表 1 3种防护结构尺寸参数

Table 1. The sizes of three kinds of shields

防护结构	缓冲屏与后墙间距/mm	缓冲屏厚度/mm	后墙结构
Whipple	100	2	厚度3 mm铝板
SRW1	100	2	第1层为厚度1 mm的铝板，第2层为厚度2 mm的铝板
SRW2	100	2	第1层为厚度2 mm的铝板，第2层为厚度1 mm的铝板

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2. 后墙防护性能数值模拟

研究防护结构在较高动能弹丸撞击下的性能优劣时，为了更贴近空间碎片实际撞击情况，采用直径6.0 mm的2A12铝球作为弹丸，分别以5.0、6.0、7.0和8.3 km/s的典型速度撞击这3种防护结构。采用Autodyn软件开展了铝球撞击两种防护结构（Whipple结构和SRW1结构）的数值模拟，模型为1/2对称二维模型，其中对弹丸和缓冲屏采用光滑粒子流体动力学(smoothed particle hydrodynamics, SPH)方法建模（粒子尺寸为0.05 mm），对后墙采用Lagrange建模（网格尺寸为0.1 mm）。弹丸、缓冲屏和后墙材料的状态方程均采用Autodyn数据库中2A12铝对应的Tillotson状态方程，强度模型采用Johnson-Cook强度模型，失效模式采用Grady层裂模型以表征材料的层裂现象。

Tillotsen状态方程是将p-v平面分成4个区域，每个区域对应的方程形式如下。

令 $\eta = \dfrac{\rho }{{{\rho _0}}}$ ， $\mu = \eta - 1$ ， ${\omega _0} = 1 + \dfrac{e}{{{e_0}{\eta ^2}}}$ ，则区域1（ $\mu \text{≥} 0$ ）：

${p_1} = \left( {a + \frac{b}{{{\omega _0}}}} \right)\eta {\rho _0}e + A\mu + B{\mu ^2}$

(1)

区域2（ $\mu \text{＜} 0,\;e\text{＜}{e}_{\rm{s}}$ ）：

${p_2} = \left( {a + \frac{b}{{{\omega _0}}}} \right)\eta {\rho _0}e + A\mu$

(2)

区域3（ $\mu \text{＜} 0,\;{e}_{\rm s}\text{＜}e\text{＜}e'_{\rm s}$ ，其中 $e'_s = {e_{\rm s}} + k{e_{\rm v}}$ ）：

${p_3} = {p_2} + \frac{{({p_4} - {p_2})(e - {e_{\rm{s}}})}}{{e'_{\rm{s}} - {e_{\rm{s}}}}}$

(3)

区域4（ $\mu \text{＜}0,\;e\text{≥} e'_{\rm s}$ ）：

${p_4} = a\eta {\rho _0}e + \left( {\frac{{b\eta {\rho _0}e}}{{{\omega _0}}} + A\mu {\rm{ }}\;{{\rm{e}}^{\beta \left( {1 - \tfrac{1}{\eta }} \right)}}} \right){{\rm{e}}^{ - \alpha {{\left( {1 - \tfrac{1}{\eta }} \right)}^2}}}$

(4)

式中： $\rho$ 为材料密度， ${\rho _0}$ 为材料初始密度，A、B、a、b、α、β、k均为模型系数， ${e_0}$ 为材料初始内能， ${e_{\rm{s}}}$ 为升华能， ${e_{\rm{v}}}$ 为汽化能， $e'_{\rm{s}}$ 为材料完全气化所需能量。本文中材料初始密度 ${\rho _0}$ =2.713×10³ kg/m³，A=75 GPa，B=65 GPa，a=0.5，b=1.63，α=5，β=5, e₀=5 kJ/g，e_s=3 kJ/g， $e_{\rm{s}}^{'}$ =15 kJ/g。

对于Johnson-Cook强度模型，动态屈服强度计算公式为：

$Y = ({Y_0} + {\beta _1}\varepsilon _{\rm{p}}^n)\left[ {1 + C\ln \left( {\dot \varepsilon /{{\rm{s}}^{{\rm{ - 1}}}}} \right)} \right](1 - {T^*}^m)$

(5)

动态剪切模量计算公式为：

$G = {G_0}(1 + {a_{\rm{prime}}}p)(1 - {T^*}^m)$

(6)

式中：Y和G分别为动态屈服强度和动态剪切模量， ${Y_0}$ 为初始屈服强度， ${\beta _1}$ 为塑性硬化系数， ${\varepsilon _{\rm{p}}}$ 为等效塑性应变，n为塑性硬化指数，C为应变率系数， $\dot \varepsilon$ 为材料等效应变率； ${T^*} = \dfrac{{T - {T_{\rm{room}}}}}{{T_{\rm{melt}}} - {T_{\rm{room}}}}$ ， ${T_{{\rm{melt}}}}$ 为熔化温度， ${T_{{\rm{room}}}}$ 为参考温度； ${G_0}$ 为初始剪切模量， ${a_{{\rm{prime}}}}$ 为压力硬化系数。本文中初始剪切模量 ${G_0}$ =27.6 GPa，初始屈服强度 ${Y_0}$ =265 MPa，塑性硬化系数 $\ {\beta _1}$ =426 MPa，塑性硬化指数n=0.34，应变率系数C=0.015。

Grady层裂失效模型表达式为：

$S = \sqrt {2\rho {c^2_1}} Y{\varepsilon _{\rm{c}}}$

(7)

式中：S为临界层裂应力，c₁为材料声速； ${\varepsilon _{\rm{c}}}$ 为临界应变，本文中 ${\varepsilon _{\rm{c}}}$ =0.15。

Whipple结构和SRW1结构在直径6.0 mm的弹丸以4种速度撞击下后墙损伤情况的模拟结果见图2～3，图2中浅蓝色线条表示Whipple结构中厚度为3 mm的后墙铝板，图3中浅蓝色线条表示SRW1结构中厚度为1 mm的后墙前板，红色线条表示SRW1结构中厚度为2 mm的后墙后板。图2～3所示模拟时刻均为撞击后40 µs。

图 2 Whipple结构后墙在直径6.0 mm的弹丸以不同速度撞击后40 µs的损伤

Figure 2. Damage in the rear wall of the Whipple shield at 40 µs after it was impacted by a 6.0-mm-diameter aluminum projectile at different impact velocities

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图 3 SRW1结构后墙在直径6.0 mm的弹丸以不同速度撞击后40 µs的损伤

Figure 3. Damage in the rear wall of the SRW1 shield at 40 µs after it was impacted by a 6.0-mm-diameter aluminum projectile at different impact velocities

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从图2～3可以看出，在相同撞击速度下，SRW1结构后墙的损伤明显轻于Whipple结构后墙的损伤。例如：在5.0 km/s时，Whipple结构后墙撞击中心区域出现明显层裂或剥落（直径约16 mm）以及较大尺寸的穿孔（直径约3 mm），而SRW1结构后墙仅在撞击中心区域出现小尺寸剥落（直径约9 mm）和临界穿孔；在6.0 km/s时，Whipple结构后墙出现较大尺寸层裂或剥落（直径约30 mm），而SRW1结构后墙未出现穿孔和剥落损伤，仅在撞击中心区域出现变形和鼓包；在7.0 km/s时，Whipple结构后墙同样出现了较大尺寸的层裂和剥落（直径约38 mm），而SRW1结构后墙未出现穿孔和剥落损伤，同样仅在撞击中心区域出现变形和鼓包；在8.3 km/s时，Whipple结构的后墙背面在撞击中心区域出现剥落损伤，损伤区域直径范围为15～19 mm（数值模型为1/2对称模型，则全尺寸数值模型对应的损伤区域直径为30～38 mm），而SRW1结构后墙撞击中心区域出现较明显变形鼓包，但未出现穿孔或剥落损伤。

从模拟结果可看出，在5.0～8.3 km/s撞击速度范围内，SRW1结构后墙的损伤均轻于Whipple结构后墙的损伤，且随着撞击速度的增高，这种差别具有增大的趋势。上述模拟结果表明，后墙拆分能够降低防护结构后墙的损伤，具有在不改变结构尺寸和质量的基础上进一步提升结构防护性能的优势，而且这种优势具有随着撞击速度的增高而增大的趋势。

3. 后墙防护性能实验验证

为了验证数值模拟方法与结果的正确性，同时进一步研究后墙拆分方式对结构防护性能的影响，针对3种面密度相同的防护结构开展了超高速撞击实验，实验在超高速弹道靶^[16]上开展，见图4。

图 4 超高速弹道靶

Figure 4. Hypervelocity ballistic range

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参照图1所示的防护结构，组装得到3种防护结构，如图5所示。

图 5 3种防护结构实物照片

Figure 5. Photos for three kinds of shield structures

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选择典型数值模拟状态作为实验工况开展对比研究，实验弹丸为直径6.0 mm的2A12铝球，铝球以约8.3 km/s的速度分别撞击这3种防护结构，实验后3种结构的后墙损伤情况如图6～8^[14]所示。

图 6 Whipple结构在直径6.0 mm的铝球以8.31 km/s的速度撞击下的损伤情况^[14]

Figure 6. The damage of the Whipple shield impacted by the 6.0-mm-diameter aluminum projectile with the initial impact velocity of 8.31 km/s^[14]

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图 7 SRW1结构在直径6.0 mm的铝球以8.25 km/s的速度撞击下的损伤情况^[14]

Figure 7. The damage of the SRW1 shield impacted by the 6.0-mm-diameter aluminum projectile with the initial impact velocity of 8.25 km/s^[14]

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图 8 SRW2结构在直径6.0 mm的铝球以8.41 km/s的速度撞击下的损伤情况^[14]

Figure 8. The damage of the SRW2 shield impacted by the 6.0-mm-diameter aluminum projectile with the initial impact velocity of 8.41 km/s^[14]

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从图6～8可以看出，在相近的撞击参数下，3种结构后墙正面均出现大面积的撞击痕迹，背面均出现明显鼓包变形，但未被击穿。其中Whipple后墙背面出现较大尺寸的剥落损伤，剥落区域直径约为35 mm；SRW1结构后墙中的两层板均未出现剥落损伤；SRW2结构后墙中的第1层板剥落损伤，但第2层板出现较小尺寸的剥落损伤，剥落区域尺寸明显小于Whipple结构的，仅约为9 mm。此外，在Whipple结构观察屏正面还可看到后墙剥落碎片撞击形成的凹坑，在背面可看到剥落碎片撞击形成的鼓包，而SRW2结构观察屏上未发现明显的撞击损伤痕迹。具体损伤结果见表2。

表 2 实验中3种防护结构损伤情况

Table 2. The damage of three kinds of shields in tests

防护结构	弹丸直径/mm	撞击速度/(km·s⁻¹)	缓冲屏损伤	后墙损伤	观察屏损伤
Whipple	6.0	8.31	穿孔	约 $\varnothing$ 35 mm剥落	撞击痕迹、鼓包
SRW1	6.0	8.25	穿孔	第1层：鼓包、无剥落	无痕迹
SRW1	6.0	8.25	穿孔	第2层：鼓包、无剥落	无痕迹
SRW2	6.0	8.41	穿孔	第1层：鼓包、无剥落	无痕迹
SRW2	6.0	8.41	穿孔	第2层：约 $\varnothing$ 9 mm剥落	无痕迹

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通过对比3种结构后墙的损伤情况，可以看出其中损伤最严重的是Whipple结构，其次是SRW2结构，最后是SRW1结构。因此可以进一步判断，在上述实验状态下，SRW1结构防护性能最佳，SRW2结构防护性能次之，Whipple结构防护性能最差。

同时对模拟结果进行验证研究，模拟和实验得到在8.3 km/s速度撞击下，Whipple结构后墙的损伤区域直径分别为30～38 mm和35 mm，而SRW1结构后墙均表现为鼓包，无明显剥落现象，如图9所示。基于此可得出结论，实验验证结果与初步模拟结果具有较高的一致性，这进一步证明了后墙拆分结构防护性能更佳，同时验证了数值模拟方法的准确性，可通过该数值方法进一步对后墙拆分防护结构的性能进行模拟研究。

图 9 两种结构后墙损伤情况的实验与模拟结果对比

Figure 9. Comparison of the damage of the rear Walls in two kinds of shield between experiment and simulation

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通过拆分后墙能够提升结构防护性能的主要原因，可能在于后墙拆分后，组成后墙的两层铝板之间存在分离界面，界面将导致碎片撞击后墙产生的冲击波在界面位置出现反射效应（这点可从图5(b)和图5(c)中组成后墙的两层铝板在实验后出现明显分离界面看出），反射效应的出现将在一定程度上造成冲击波能量的衰减，从而降低了后墙的损伤。

此外，值得一提的是，针对后墙由两层铝板组成的拆分结构，在碎片撞击后墙过程中，由于第2层铝板对第1层铝板的保护作用，第1层铝板的损伤程度较低。因此，在以防护结构后墙穿孔为失效判据的一些特殊场合，这种后墙拆分结构将具有更高的应用价值。

4. 结束语

利用超高速撞击实验和数值模拟，对比研究了后墙拆分结构的防护性能。研究结果表明，通过拆分防护结构后墙、在后墙中形成分离界面的方式，能够在不改变结构尺寸、质量的基础上实现对结构防护性能的有效提升，且随着撞击速度的增高，这种提升效果有增大的趋势。

后墙拆分结构相较传统Whipple防护结构具有更优的防护性能，初步分析原因在于：拆分结构相较完整铝板，其内部增添了新的自由界面，而碎片云撞击后墙产生的冲击波在后墙内传播，完整铝板内冲击波经背面反射产生的拉伸稀疏波和冲击波的共同作用将导致背部出现层裂甚至剥落，而拆分结构内部新的自由面将对冲击波进行反射，进而消耗冲击波的能量，最终导致传递到第2层板的冲击波强度减小，使得拆分结构背部破坏程度降低。当弹丸以较低速度撞击防护结构时，缓冲屏对弹丸破碎程度较低，碎片云头部仍有较大块碎片，对后墙的损伤模式主要表现为侵彻损伤。随着撞击速度的增高，弹丸撞击缓冲屏后的破碎程度增大，碎片云中都是尺寸较细小的碎片，碎片撞击后墙引起的主要损伤模式将由侵彻损伤变为冲击损伤，冲击波的传播将是后墙破坏的最主要原因，而分离界面的存在能够衰减冲击能量在后墙中的传播，这也导致了在更高的撞击速度下，后墙拆分结构防护性能更佳。

为了更加全面地评估这种后墙拆分结构的防护性能，后续还将进行更多状态的实验和计算，以获得这种拆分结构的弹道极限曲线。

图 1 实验原理与装置示意图

Figure 1. Schematic of experimental principle and apparatus

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图 2 计算域和网格示意图

Figure 2. Schematic of simulation zone and grids

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图 3 工况A激波作用后液滴变形和破碎图像

Figure 3. Images of drop deformation and breakup subsequent to the interaction of a shock wave for Case A

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图 4 工况B激波作用后液滴变形和破碎图像

Figure 4. Images of drop deformation and breakup subsequent to the interaction of a shock wave for Case B

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图 5 工况C激波作用后液滴变形和破碎图像

Figure 5. Images of drop deformation and breakup subsequent to the interaction of a shock wave for Case C

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图 6 圆球外流场马赫数云图

Figure 6. Contours of flow Mach number around a sphere

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图 7 工况B对应球面压力与剪切力分布

Figure 7. Pressure and friction distribution on surface of a sphere under condition of Case B

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图 8 剪切力诱导表面液体堆积示意图

Figure 8. Schematic of friction induced surficial liquid accumulation

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图 9 剪切力诱导液滴径向加速度

Figure 9. Radial acceleration induced by surface friction

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图 10 压力不均匀分布诱导液滴径向加速度

Figure 10. Radial acceleration induced by uneven pressure distribution

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图 11 液滴初期变形理论计算结果与实验的比较

Figure 11. Comparison of early-stage drop deformation between theoretical calculation and experiment

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表 1 实验参数

Table 1. Experiment parameters

工况	d/mm	p₀ /kPa	Ma	u_g /(m·s^-1)	ρ_g /(kg·m^-3)	We	Re/10⁴	Oh/10^-3	t_f /μs	t_b /μs	t_shock/μs
A	2.66	15.8	1.89	396.3	0.460	2670	1.9	2.3	6.7	312.9	4.04
B	3.76	69.1	1.37	186.2	1.312	2370	4.24	1.9	20.2	557.7	7.89
C	3.94	35.7	1.62	291.8	0.856	3990	4.1	1.9	13.5	461.4	6.99

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[1]	费立森.煤油在冷态超声速气流中喷射和雾化现象的初步研究[D].合肥: 中国科学技术大学, 2007. http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10358-2008091933.htm
[2]	万云霞, 黄勇, 朱英.液体圆柱射流破碎过程的实验[J].航空动力学报, 2008, 23(2):208-214. http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/hkdlxb200802002 Wan Yunxia, Huang Yong, Zhu Ying. Experiment on the breakup process of free round liquid jet[J]. Journal of Aerospace Power, 2008, 23(2):208-214. http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/hkdlxb200802002
[3]	Hanson A R, Domich E G, Adams H S. Shock tube investigation of the breakup of drops by air blasts[J]. Physics of Fluids, 1963, 6(8):1070-1080. doi: 10.1063/1.1706864
[4]	Joseph D D, Belanger J, Beavers G S. Breakup of a liquid drop suddenly exposed to a high-speed airstream[J]. International Journal of Multiphase Flow, 1999, 25(6):1263-1303. http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=2c83c9253054bb41587c6f360e5e5edf
[5]	Pilch M, Erdman C A. Use of breakup time data and velocity history data to predict the maximum size of stable fragments for acceleration-induced breakup of a liquid drop[J]. International Journal of Multiphase Flow, 1987, 13(6):741-757. doi: 10.1016/0301-9322(87)90063-2
[6]	Theofanous T G, Li G J, Dinh T N. Aerobreakup in rarefied supersonic gas flows[J]. Journal of Fluids Engineering, 2004, 126(4):516-527. doi: 10.1115/1.1777234
[7]	Theofanous T G, Li G J. On the physics of aerobreakup[J]. Physics of Fluids, 2008, 20(5):052103. doi: 10.1063/1.2907989
[8]	Theofanous T G, Mitkin V V, Ng C L, et al. The physics of aerobreakup: Ⅱ[J]. Physics of Fluids, 2012, 24(2):022104. doi: 10.1063/1.3680867
[9]	Theofanous T G. Aerobreakup of Newtonian and viscoelastic liquids[J]. Annual Review of Fluid Mechanics, 2011, 43:661-690. doi: 10.1146/annurev-fluid-122109-160638
[10]	Inamura T, Yanaoka H, Kawada T. Visualization of airflow around a single droplet deformed in an airstream[J]. Atomization and Sprays, 2009, 19(7):667-677. doi: 10.1615/AtomizSpr.v19.i7
[11]	Sichani A B, Emami M D. A droplet deformation and breakup model based on virtual work principle[J]. Physics of Fluids, 2015, 27(3):032103. doi: 10.1063/1.4913809
[12]	Chang C H, Deng X, Theofanous T G. Direct numerical simulation of interfacial instabilities: A consistent, conservative, all-speed, sharp-interface method[J]. Journal of Computational Physics, 2013, 242:946-990. doi: 10.1016/j.jcp.2013.01.014
[13]	金仁瀚, 刘勇, 朱冬清, 等.初始直径对单液滴破碎特性影响的试验[J].航空动力学报, 2015, 30(10):2401-2409. http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/hkdlxb201510014 Jin Renhan, Liu Yong, Zhu Dongqing, et al. Experiment on impact of initial diameter on breakup characteristic of single droplet[J]. Journal of Aerospace Power, 2015, 30(10):2401-2409. http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/hkdlxb201510014
[14]	王超, 吴宇, 施红辉, 等.液滴在激波冲击下的破裂过程[J].爆炸与冲击, 2016, 36(1):129-134. doi: 10.11883/1001-1455(2016)01-0129-06 Wang Chao, Wu Yu, Shi Honghui, et al. Breakup process of a droplet under the impact of a shock wave[J]. Explosion and Shock Waves, 2016, 36(1):129-134. doi: 10.11883/1001-1455(2016)01-0129-06
[15]	Burgers J M. Appendix B: Flattening of the water-drop with time[J]. Journal of Research of the National Bureau of Standards, 1958, 60:278.
[16]	Wierzba A, Takayama K. Experimental investigation of the aerodynamic breakup of liquid drops[J]. AIAA Journal, 1988, 26(11):1329-1335. doi: 10.2514/3.10044
[17]	Sun M, Saito T, Takayama K, et al. Unsteady drag on a sphere by shock wave loading[J]. Shock Waves, 2005, 14(1/2):3-9. http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=2d223db80f5a4cf0848e8aa3eafb5bc0
[18]	Nishikawa H, Kitamura K. Very simple, carbuncle-free, boundary-layer-resolving, rotated-hybrid Riemann solvers[J]. Journal of Computational Physics, 2008, 227(4):2560-2581. doi: 10.1016/j.jcp.2007.11.003
[19]	Bird R B, Stewart W E, Lightfoot E N. Transport phenomena[M]. 2nd ed. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2002: 1-332.

期刊类型引用(1)

1.

柯发伟，文雪忠，邹胜宇，黄洁. 材料界面效应对防护结构性能的影响. 空间碎片研究. 2023(03): 54-60 .

百度学术

其他类型引用(3)

激波诱导高速气流中液滴的初期变形

doi: 10.11883/1001-1455(2017)05-0853-10

作者简介:
易翔宇(1988-)，男，博士研究生

通讯作者:
朱雨建，yujianrd@ustc.edu.cn

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