冲击加载下金属材料发生的相变、熔化和失效等动态行为是冲击波物理领域基础科学和工程应用最为关心的研究内容，某些低熔点低强度金属在爆轰加载后产生弥散、高速运动的喷射颗粒^[1]，这对测量仪器以及后续的物理过程都有着重要影响。单点起爆炸药形成的爆轰波直接加载金属材料所产生的动力学特性已得到较为系统的认识，然而在一些特殊的工程结构中，金属材料受到两点起爆所形成的斜冲击波对碰加载，斜冲击波对碰的区域(称之为对碰区)将产生更高的冲击压力，且随入射斜冲击波的角度和强度改变，金属内会产生出复杂的波系结构，这将必然影响金属内部产生的一系列动力学行为，尤其是对于低熔点、低强度金属。

到目前为止，针对爆轰波对碰驱动金属材料的动力学行为，已开展了一些实验或数值模拟工作，但是物理认识还停留于表面，与已发展较为成熟的斜冲击波相互作用理论脱节较远^[2-4]。实验上，Singh等^[5]给出了金属圆管对碰后的动态图像以及对碰区的膨胀变形断裂特征，张崇玉等^[6]和陈永涛^[7]等则利用X照相获得低熔点铅材料在对碰波作用后动态实验图象，陈永涛等^[8]给出了对金属锡和钨对碰后动态破碎特征差异的实验认识。数值模拟上，张世文等^[9]利用数值模拟再现了金属圆管对碰后鼓包图像，袁帅等^[10-11]应用SPH方法获得了吻合实验结果的对碰区动态破碎图像。但是进一步地深入认识发现这些研究给出的图像或分析主要是针对斜冲击波对碰加载金属后发生动态行为的晚期。事实上这些晚期呈现的动态特征受斜冲击波在早期阶段金属材料内相互作用的影响。近来，陈大伟等^[12]就应用斜冲击波的冲击波极曲线理论^[2-4]并结合数值模拟全面地揭示了锡材料对碰加载后呈现的早期动力学行为，为晚期的图像认识奠定了理论基础。

本文中，选取金属铅为研究对象，利用光滑粒子动力(smooth partical hydrodynamics, SPH)方法对爆轰对碰加载下金属铅动力学行为的进行数值模拟，着重关注不同起爆位置形成的斜冲击波在金属铅内相互作用的早期行为；利用冲击波极曲线理论解释斜冲击波对碰后发生的马赫反射，讨论斜冲击波相互作用对金属铅动态行为特征的影响；基于自由面获得的速度剖面，近似地估算马赫杆的宽度及张角，并与理论预测进行比较。

1.   模拟方法

整个模拟采用动力学有限元软件Autodyn 6.1，包括Euler-Lagrangian、光滑粒子动力学(SPH)等主要算法，适合于模拟动态加载条件下材料的非线性变形、断裂破碎等物理过程，尤其是SPH方法是当前较为普遍研究材料断裂、层裂等动态失效问题。图 1为二维平面应变物理模型，包括金属材料铅(Pb)、铝(Al 2024-T4)和高能炸药(PBX9502)，其尺寸分别为32 mm×2 mm、32 mm×2 mm和32 mm×22 mm。炸药的起爆点有2个：D和D′，对称地置于炸药的两边界，对碰线为对称轴，如图 1所示。定义直线DH与炸药-金属铝界面的夹角为α_HE，以标定不同起爆位置。本文中共考虑三种情形：α_HE=0°，α_HE =20.5°和α_HE=34.5°，以O点为原点，对应的起爆点空间位置分别为D(0.05 mm，22.0 mm)、D(0.05 mm，16.0 mm)和D(0.05 mm，11.0 mm)。α_HE=34.5°的情形与早前已开展的数值模拟和实验相同^{[6, 11]}。

图  1  二维物理模型

Figure  1.  Two-dimensional physical model

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为准确捕获金属铅材料受爆轰对碰加载后的动力学行为，尤其是早期阶段发生的斜冲击波相互作用以及紧接着驱动金属的自由面速度响应，金属铅和铝采用SPH算法，每个SPH粒子大小为0.05 mm，炸药则采用Lagrange网格，尺寸为0.1 mm。整个模型共包括51 200个SPH粒子和70 400个网格。材料间的接触相互作用采用该软件自带的间隙接触算法来实现。模拟中所有材料的状态方程和强度模型参数取自Autodyn软件材料库。需要说明的是，由于铅材料的层裂强度较低(大约0.5 GPa)，导致高能炸药爆轰驱动下易发生动态失效，因此还引入了Grady层裂模型，临界应变值设为0.1。

为系统分析入射斜波相互作用后铅材料内动态力学物理量的演化，在金属铅内布设49个标定点，如图 2所示。标定点1-30置于自由面的对碰线(colliding line)右侧，相邻点间的距离为0.1 mm(沿横向排列)；标定点31-39置于对碰线位置，相邻点间距离为0.2 mm(纵向排列)；标定点40-49与标定点33的纵坐标值相同，点间距离为0.2 mm(横向排列)。为方便后续讨论分析，图 2所有标定点记为G₁~G₄₉。

图  2  金属铅材料内的标定点布局

Figure  2.  Gauge points within the metal Pb

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2.   模拟结果与分析

典型的3个起爆位置导致的爆轰波对碰前相互作用示意图为如图 3所示。其中红点为起爆点，起爆时刻t=0。炸药稳定传播后最大压力约为25 GPa，爆速为7.695 mm/μs。爆轰波经炸药-金属界面透射进入金属铝的最大压力和角度则随着α_HE的增加而增加。在金属铝内形成的斜冲击波波前压力和入射角对金属铅动态行为有重要影响。

图  3  爆轰波对碰前的相互作用示意图

Figure  3.  Schematic illustrations of two shockwave interactions

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已有的研究工作表明^[2-3]当相向的2个斜冲击波对碰时，相当于一个斜冲击波入射固壁，正规反射转变为马赫反射时，入射斜冲击波存在一个临界角α_C和临界马赫数Ma₀(入射波速度与声速c₀的比值)。基于冲击波极曲线理论，出现正规反射到马赫反射时反射波极曲线(表示为反射波后压力P与速度矢量偏转角θ关系，其中θ定义为入射波后转角θ₁与反射波后转角θ₂之和)在θ=0时只有一个反射波后压力解，此时斜冲击波入射角和马赫数即为临界角α_C和临界马赫数Ma₀，这就是冯·诺曼脱体激波判据。当应用到具体材料时，利用反射波波后压力(二次压缩的冲击压缩关系)和反射波极曲线，理论计算给出其入射斜冲击波临界角α_C与临界马赫数Ma₀的关系，以进一步判断斜冲击波以一定角度和马赫数入射该材料内后的反射类型。

图 4给出了相向的两斜冲击波在金属铅内对碰过程。金属铅内形成的斜冲击波是爆轰波经炸药-金属铝界面和金属铝-铅界面透射而形成的。根据斜冲击波所处的位置，由图 4(a)~(c)可计算出斜波对碰入射角分别为69.6°、71.5°和73.6°。入射强度则由图 4(d)得到，即第一个上升沿压力极值，分别为12.96、20.47和25.65 GPa，对应的入射波马赫数为1.31、1.44和1.53。图 5给出了利用冯.诺曼脱体激波判据理论给出的金属铅内正规反射到马赫反射临界关系与数值模拟对比图，可以看出这3种情形下入射斜冲击波对碰后都将发生马赫反射并形成马赫杆。

图  4  入射斜冲击波在铅内的相互作用

Figure  4.  Interaction of incident oblique shock wave within the metal Pb

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图  5  理论计算的入射斜波临界角α_C与马赫数Ma₀关系与数值模拟对比

Figure  5.  Comparison of theoretical relationship of incident angle α_C varying with Mach number Ma₀ and numerical simulations

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图 6给出了斜冲击波相互作用后呈现入射波、反射波和马赫波三波共存特征，吻合冲击波极曲线方法给出的理论预测。从图 7中可以看出，马赫杆垂直于对碰线，但由于受后继稀疏波影响，反射波后压力并不是恒定值，导致从对碰线到三波点的马赫杆压力逐渐减小。图 7展示具有相同纵坐标值标定点G₃₃和G₄₀~G₄₉的压力历史响应。从图 7可以看出，标定点G₄₉是入射斜冲击波最先到达的位置，选取压力剖面上第一极大值，时间和压力值分别为：(a)2.559 μs，12.86 GPa；(b)2.656 μs，20.49 GPa；(c)3.0 μs，25.64 GPa。标定点G₄₆到G₄₉的第一极大值基本相同，表明入射斜冲击波稳定地加载金属铅。受稀疏波影响，靠近对碰线标定点的压力值最高，该位置处时间和压力分别为：(a)2.724 μs，28.032 GPa；(b)2.802 μs，43.407 GPa；(c)3.107 μs，51.022 GPa。由此可以得到马赫杆的最大压力与入射斜波压力比值分别为：2.18、2.11和1.99，其变化规律为随斜冲击波入射角增加而减小，与已有的理论预测相吻合^[2-3]。但该比值小于正规反射给出的比值2.7，原因在于斜冲击波入射角远大马赫反射时临界角。但仔细的观察可发现：图 7(a)中处于压力最大值的标定点有2个，图 7(b)中有3个，图 7(c)中有4个，这表明马赫杆宽度逐渐增加。但由于受到稀疏波卸载，反射波加载导致的压力(图 7所示的第二峰值)并没有达到最大压力，且随着距对碰线距离的增加而减小。

图  6  金属铅内呈现的入射波、反射波和马赫波示意图

Figure  6.  Schematic illustration of incident, reflected and Mach shock waves within the metal

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图  7  金属铅内具有相同纵坐标值标定点压力历史剖面

Figure  7.  Pressure histories for the gauge points with the same longitudinal coordinates

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图 8给出了对碰线上标定点G₃₁、G₃₅和G₃₉的压力历史剖面图。由于受炸药爆轰形成的Taylor波系透射进入金属铅，形成马赫杆峰值压力在逐渐减小，G₃₁、G₃₅和G₃₉三个点的马赫杆峰值压力分别从30.7、51.6和64.9 GPa下降至26.6、40.7和48.0 GPa，下降幅度分别为13.3%、21.1%和26.0%。

图  8  对碰线上的压力历史剖面图

Figure  8.  Pressure history along the colliding line

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图 9给出了马赫反射到达金属铅自由面导致的自由面速度历史剖面(标定点G₂到G₁₅，跨越长度为1.3 mm)。由于Pb层裂强度较低，具有三角波特征的马赫反射波冲击金属自由面导致Pb发生层裂，表面层脱离金属铅主体并自由飞行。在自由面的速度剖面上展示为表面速度迅速达到最大值后处于恒定值，如图 9所示的G₂速度曲线。由于靠近对碰线马赫杆的冲击压力等同，导致被加载到的自由面区域速度响应相同，但是处于对碰线和三波交汇点间的马赫杆压力逐渐减小，被冲击的自由面区域速度也必然降低，因此图 8所示的自由面速度历史从G₂到G₁₅表现为从大到小，且靠近G₂附近区域有部分标定点的速度值与G₂相同。需要注意的是图 9中G₁₅附近的标定点速度剖面呈现拐点，表明了反射冲击波又再次加载该位置。

图  9  自由面速度历史

Figure  9.  Free surface velocity histories

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从图 9(a)~(c)具有相同最大速度值的标定点数目逐渐增加，表明马赫杆在变宽。为从自由面速度剖面估算马赫杆宽度，给出一个判定准则。定义：ε=(V_i-V_G2)/V_G2，其中V_i代表G₃~G₁₅的自由面速度历史的最大值，V_G2为G₂自由面速度历史的最大值。当ε < 0.05时的标定点属于被马赫杆加载的区域。通过该判定准则，给出了图 9(a)的马赫杆宽度L_Mach=1.0 mm；图 9(b)中L_Mach=1.4 mm；图 9(c)中L_Mach=1.8 mm。相应的马赫杆张角为14.0°，19.3°和24.2°。而利用冲击波极曲线理论上给出了马赫杆张角ψ=π/2-α₃，α₃是马赫杆与入射波来流速度q₀的夹角。该夹角表示为：

式中：p₃、ρ₃为马赫反射波后压力及密度，p₀、ρ₀为入射波前压力和密度。

入射波阵面与对碰线的夹角为：

式中：α₀为入射斜波与三波点轨迹之间的夹角。对于α_HE=0°的情形，选择G₃₃点，p₃=28.0 GPa，ρ₃=15.174 g/cm³，α=69.6°，带入这些值到式(1)中，得到ψ=14.9°，较好地吻合通过判定准则给出的马赫杆张角14.0°。

图 10给出了金属铅表面发生层裂后的图像，清楚地发现马赫杆宽度逐渐增加。但靠近三波点的马赫杆还与主体相连接，该区域的速度值必然小于对碰线附近的速度值。图中显示的动态破碎特征与实验上获得其晚期动态图像^{[7, 9]}是一致的。

图  10  对碰区动态层裂图像

Figure  10.  Spalled images induced by Mach shockwave loading

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3.   结论

冲击波极曲线理论和数值模拟方法相结合研究不同起爆位置形成的爆轰波对碰加载下金属铅早期阶段的动力学行为。利用冲击波极曲线给出正规反射到马赫反射时临界入射角与马赫数的关系，确定该数值模拟中斜冲击波加载金属铅将呈现马赫反射。基于金属铅对碰线附近区域展示的压力速度剖面，详细地分析了爆轰对碰后动态特征。进一步从自由面速度历史剖面计算了形成的马赫杆宽度及马赫杆张角，较好地吻合冲击波极曲线预测。模拟展示的马赫反射导致金属铅层裂的特征符合已有的实验测量结果。当前的工作将有助于理论上认识爆轰波对碰加载低熔点低强度金属的早期动态行为。