混凝土是一种包括多级多相介质的非均匀材料。在混凝土破坏过程中，其裂缝扩展方向通常按照“Z”字形路径向外扩展，并且在尺寸较大的“Z”字形裂纹之中，穿插着较小尺寸的“Z”字形裂纹，错综复杂的裂纹使混凝土构件的断裂面表现出凸凹不平的破坏形态^[1-2]。分形理论适用于描述上述不规则性、不确定性、模糊性和非线性^[3-4]。本文中拟基于前期C60、C80级高强混凝土(high strength concrete, HSC)的SHPB冲击实验^[5]，采用分形维数的方法分析HSC在SHPB冲击荷载作用下的内部细观损伤演化行为，并对其采用动态损伤因子进行定量分析，研究HSC的动态损伤本构关系。

1.   基于分形理论的损伤演化

1.1   基本假定

Bazant等^[6]发现，当测量尺度δ无限趋近于零时，分形曲线长度将趋近无穷大。然而，实际试块的裂纹扩展路径不可能达到无穷大的长度。因此可以假定，在量测尺度范围[δ_min，δ_max]内，试块破坏由分形裂纹扩展而引起。此外，参照平板单向受拉Ⅰ型单裂纹扩展断裂问题(如图 1所示)，增加如下假定：混凝土试块处于平面应力状态，扩展裂纹具有分形自相似性。

图  1  平板中的分形裂纹

Figure  1.  Fractal crack in the plate

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假设荷载作用下试块裂纹扩展长度为2l，裂纹扩展的投影长度为2l₀，Mandelbrot等^[7]研究表明：

式中：D_f为裂纹的分形维数，取值范围为1.0~2.0；δ为裂纹测量尺度，满足：

式中：r_i为横截面分形维数的测量尺码，以粗骨料的最小粒径为观测尺度；a为被覆盖区域的特征尺寸，在R²平面区域上，a为区域的边长；δ的取值范围为[δ_min，δ_max]。

谢和平等^[8]确定了混凝土损伤分形的物理标度域范围，即δ∈(0，1]。由前期实验结果，r_i =5 mm，a=70 mm，因此：

依照Borodich力线法的定义^[9]，当试块无初始裂纹时，力线近似为直线。当试块开裂后，裂纹区域的开始逐渐得到释放，裂纹尖端附近的力线场表现出非均匀性，此时，开裂区域近似表现为菱形或椭圆形，如图 2所示。

图  2  裂纹扩展时平板中的力线

Figure  2.  Force lines in the plate with a crack

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根据分形曲线的特征，图 2中的裂纹区域边界可以由标准Kock分形曲线构造而成。如果构造过程中裂纹区域的面积保持不变，则裂纹区域的边界周长L为：

由此可得：

同时，由式(5)可得裂纹分形区域周长L与面积A(一般假设为常数λl₀²，其中λ为与开裂区域形状有关的常数)的关系：

1.2   分形损伤演化

在SHPB实验中，HSC试块在不同应力作用水平下，承载面内微裂纹的分布具有分形的自相似性，图 3为显微镜观测HSC试块承载面上细观微裂纹分布图，在到达峰值应力前，损伤区域的分形维数随着应力增加而增加；在峰值应力点时，分形维数在损伤区域达到极限值；超过峰值应力后，数值开始下降，分形维数在承载面损伤区域的变化反映出HSC试块内部细观损伤演化行为。

图  3  HSC试块承载面裂纹分布的显微观测

Figure  3.  Microscopic observation of crack distributed on bearing surface of HSC specimen

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在欧氏几何图形中，图形面积A₀与周长L₀之间的关系为：

式中：η₀为图形的形状参数。考虑分形效应的损伤变量时，参考裂纹区域边界周长式(4)和文献[10]，损伤面的分形周长L和表观周长L₀之间的关系为：

欧氏材料表观损伤变量^[11]定义为：

将式(7)代入式(9)，推导出试块的表观损伤变量ω可以表示为：

式中：A_k和A_c均为跟图形形状有关的参数，在同一研究对象中取值相等；L_k、L_c分别为A_k和A_c对应断裂面的周长。

根据分形损伤变量ω_f跟表观损伤变量ω之间的关系，并结合升维法可以得到关系式^[12]：

将式(6)代入到式(10)得：

将式(11)代入到式(12)可得出分形空间内分形损伤变量:

由式(13)可知，分形损伤变量仅跟裂纹扩展分形维数有关，与量测尺度δ无关；又因为A_c是承载面的初始承载面积，因此D_{f, c} = 1.0，并将其代入式(13)，则:

式(14)即为所求的混凝土分形损伤变量表达式。若D_{f, k}=1，则16^{(1－1/D_f.k)}=1，表示裂纹还未开始扩张，D_{f, k}=D_{f, c}=1，即分形损伤变量跟表观损伤变量相等，扩张裂纹为光滑，无分形效应。

对D_{f, k}的取值范围进行讨论，由式(14)可知，则ω_f是关于D_{f, k}的增函数，因此D_{f, k}在(1, 2)范围内有最大取值。由式(3)和损伤的含义：

计算可得D_{f, k}≤1.604，即D_{f, k}的取值范围为1.0~1.604。其物理意义是HSC试块的分形损伤限值为1.604，超过该限值后，HSC试块便失去承载能力。

2.   HSC动态损伤本构关系的建立

唐志平^[13]针对环氧树脂的冲击力学性能研究，提出了朱-王-唐(ZWT)本构模型：

式中：σ为应力；ε为应变；E₀为平衡态弹性模量；α、β为材料弹性常数；t为时间；$\dot \varepsilon$为应变率；E₁和θ₁分别为低频Maxwell单元所对应的弹性常数和松弛时间；E₂和θ₂为高频Maxwell单元所对应的弹性常数和松弛时间。σ反映了非线性黏弹性响应，由两部分组成：一部分与应变率无关的非线性瞬态响应；另一部分是与应变率相关的线性非瞬态响应。φ(ε，$\dot \varepsilon$)的两个积分式分别代表具有不同松弛时间的两个Maxwell单元，第1个Maxwell单元描述低频(低应变率)下的黏弹性响应，第2个Maxwell单元描述高频(高应变率)下的黏弹性响应。

在冲击载荷条件下，HSC表现出更强的应变率相关性，并且还伴有动态损伤的发生和扩展，因此，需要对ZWT模型进行改进。式(16)中，f(ε)表示与应变率无关的平衡态应力，共由3项组成，描述了材料的非线性弹性响应。试块在达到一定的应变时，混凝土试块内部的微裂纹逐渐出现失稳扩展，导致试块的损伤，应力-应变曲线表现出明显的非线性，但是在应变较小的应力-应变曲线初始阶段，实验曲线表现为近似的线性^[14]。因此可以把f(ε)近似为线弹性，即：

SHPB冲击压缩技术通过改进，比如采用波形整形技术，很大程度地降低了振荡的影响，使得实验过程处于近似恒应变率($\dot \varepsilon$=const，ε = $\dot \varepsilon t$)。据此可对ZWT模型的黏性项φ(ε，$\dot \varepsilon t$)进行简化计算：

混凝土材料的本构非线性主要源于动态损伤演化影响，而动态分形损伤演化与应变率敏感阈值密切相关。混凝土的应力-应变曲线上升段主要呈现线性，下降段主要呈现非线性。因此，要获得混凝土应力-应变曲线的下降段，就必须考虑动态损伤演化的影响。

结合式(14)和式(18)，考虑动态分形损伤演化的混凝土动态损伤本构方程为：

式(19)中待定参数较多，本文中采用如下方式进行处理。

(1) 忽略准静态条件下黏弹性项的影响，根据准静态应力-应变曲线切线的斜率可以直接确定E₀。

(2) 低应变率条件下，高频Maxwell单元的影响很小，将动态和准静态应力-应变曲线(应变相同处)相减，得出式(20)，由此求得E₁、θ₁。由于相减部分为非线性不显著段(ε＜0.01)，此时试块还无明显损伤，可以不考虑损伤项的影响。

同理，由于高应变率条件下，低频Maxwell体部分的影响很小，可以根据高应变率下SHPB实验获得的应力-应变曲线相减，得出式(21)，求得E₂、θ₂的取值范围。

(3) 根据高应变率和准静态应力-应变曲线相减，在前面两步的基础之上，再按照式(22)最终拟合出E₁、θ₁、E₂、θ₂。

3.   HSC本构模型的参数拟合与实验验证

采用前面介绍的3个步骤处理，利用高频Maxwell单元和低频Maxwell单元影响性的大小，对模型中的参数进行拟合求解。基于实测曲线，对HSC损伤本构方程进行拟合。C60级HSC的拟合结果为：E₀=29.4 GPa，E₁=8.1 GPa，θ₁=0.1 s，E₂=25.7 GPa，θ₂=9.0×10^-5 s；C80级HSC的拟合结果为：E₀=34.4 GPa，E₁=8.9 GPa，θ₁=0.1 s，E₂=36.2 GPa，θ₂=2.1×10^-5 s。

采用HSC试块在SHPB冲击压缩实验结果对动态损伤本构模型进行验证。设分形损伤因子D_{f, k}分别为1.1、1.3、1.5、1.6，并取4组不同应变率工况下的C60、C80级HSC的应力-应变曲线进行比较。将实测曲线与理论模型计算所得曲线画于坐标平面内，如图 4~5所示，其中实线为实测曲线，虚线为理论曲线。由图 4~5可知，理论曲线和实测曲线符合较好。

图  4  C60级HSC实测曲线与理论曲线

Figure  4.  Stress-strain curves of C60 HSC obtained by experiment and theory

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图  5  C80实测曲线与理论曲线

Figure  5.  Stress-strain curves of C60 HSC obtained by experiment and theory

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4.   结论

(1) 基于C60、C80级HSC的SHPB冲击实验，依照HSC试块裂纹的不规则性、裂纹断裂表面的粗糙性具有自相似性和无标度性，采用分形维数的方法来分析HSC试块的内部细观损伤演化行为，推导出了HSC分形损伤变量表达式，标定了HSC裂纹的分形维数范围为1.0~1.604，其物理意义是HSC的分形损伤限值为1.604，达到这个限值，HSC试块失去承载能力。

(2) 参考ZWT模型，结合HSC实验过程中的应变率相关性、动态损伤特性，以及近似恒应变率，推导出了动态分形损伤演化的HSC动态损伤本构方程。为了便于方程参数的确定，根据准静态、低应变率、高应变率荷载下的HSC材料特性，对方程的各子项进行取舍。

(3) 采用4组应变率工况下C60、C80级HSC应力-应变曲线，对HSC动态损伤本构方程进行验证，模型曲线和实验曲线有较好的吻合。