Dynamic damage constitutive relationship of high strength concrete based on fractal theory
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摘要: 基于高强混凝土(HSC)试块在SHPB冲击实验中的分形损伤演化规律,推导了HSC的分形损伤变量表达式,标定了HSC裂纹的分形维数范围。然后参考ZWT模型,并结合HSC实验过程中的应变率相关性、动态损伤特性及近似恒应变率,推导了分形损伤演化的HSC动态损伤本构方程。采用4组应变率工况下的C60、C80混凝土应力-应变曲线对本构方程进行验证,理论曲线和实验曲线吻合较好。Abstract: Based on the fractal damage evolution law of high strength concrete (HSC) specimen by the SHPB impact test, we deduced the patterns of the fractal damage variables of HSC, and calibrated the fractal dimension range of the HSC cracks. Then following the ZWT model, and in combination with the strain rate dependence, dynamic damage characteristic and quasi-constant strain rate, we obtained the HSC dynamic damage constitutive equation with the fractal damage evolution taken into account Finall. Our study verified the effectiveness of the constitutive equation by C60 and C80 stress-strain curves at four different strain ratios, and the theoretical curves matched well with the experimental ones.
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Key words:
- fractal theory /
- high strength concrete /
- SHPB /
- dynamic damage /
- constitutive relationship
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混凝土是一种包括多级多相介质的非均匀材料。在混凝土破坏过程中,其裂缝扩展方向通常按照“Z”字形路径向外扩展,并且在尺寸较大的“Z”字形裂纹之中,穿插着较小尺寸的“Z”字形裂纹,错综复杂的裂纹使混凝土构件的断裂面表现出凸凹不平的破坏形态[1-2]。分形理论适用于描述上述不规则性、不确定性、模糊性和非线性[3-4]。本文中拟基于前期C60、C80级高强混凝土(high strength concrete, HSC)的SHPB冲击实验[5],采用分形维数的方法分析HSC在SHPB冲击荷载作用下的内部细观损伤演化行为,并对其采用动态损伤因子进行定量分析,研究HSC的动态损伤本构关系。
1. 基于分形理论的损伤演化
1.1 基本假定
Bazant等[6]发现,当测量尺度δ无限趋近于零时,分形曲线长度将趋近无穷大。然而,实际试块的裂纹扩展路径不可能达到无穷大的长度。因此可以假定,在量测尺度范围[δmin,δmax]内,试块破坏由分形裂纹扩展而引起。此外,参照平板单向受拉Ⅰ型单裂纹扩展断裂问题(如图 1所示),增加如下假定:混凝土试块处于平面应力状态,扩展裂纹具有分形自相似性。
假设荷载作用下试块裂纹扩展长度为2l,裂纹扩展的投影长度为2l0,Mandelbrot等[7]研究表明:
l=lDf0δ1−Df (1) 式中:Df为裂纹的分形维数,取值范围为1.0~2.0;δ为裂纹测量尺度,满足:
δ=ria (2) 式中:ri为横截面分形维数的测量尺码,以粗骨料的最小粒径为观测尺度;a为被覆盖区域的特征尺寸,在R2平面区域上,a为区域的边长;δ的取值范围为[δmin,δmax]。
谢和平等[8]确定了混凝土损伤分形的物理标度域范围,即δ∈(0,1]。由前期实验结果,ri =5 mm,a=70 mm,因此:
δ=ria=114 (3) 依照Borodich力线法的定义[9],当试块无初始裂纹时,力线近似为直线。当试块开裂后,裂纹区域的开始逐渐得到释放,裂纹尖端附近的力线场表现出非均匀性,此时,开裂区域近似表现为菱形或椭圆形,如图 2所示。
根据分形曲线的特征,图 2中的裂纹区域边界可以由标准Kock分形曲线构造而成。如果构造过程中裂纹区域的面积保持不变,则裂纹区域的边界周长L为:
L=4l=4lDf0δ1−Df (4) 由此可得:
l0=(Lδ1−Df4)1Df=L1DfδDf−1Df22Df (5) 同时,由式(5)可得裂纹分形区域周长L与面积A(一般假设为常数λl02,其中λ为与开裂区域形状有关的常数)的关系:
A=λl20=λ[L1DfδDf−1Df2−2Df]2 (6) 1.2 分形损伤演化
在SHPB实验中,HSC试块在不同应力作用水平下,承载面内微裂纹的分布具有分形的自相似性,图 3为显微镜观测HSC试块承载面上细观微裂纹分布图,在到达峰值应力前,损伤区域的分形维数随着应力增加而增加;在峰值应力点时,分形维数在损伤区域达到极限值;超过峰值应力后,数值开始下降,分形维数在承载面损伤区域的变化反映出HSC试块内部细观损伤演化行为。
在欧氏几何图形中,图形面积A0与周长L0之间的关系为:
A0=η0L20 (7) 式中:η0为图形的形状参数。考虑分形效应的损伤变量时,参考裂纹区域边界周长式(4)和文献[10],损伤面的分形周长L和表观周长L0之间的关系为:
L=4LDf0δ1−Df (8) 欧氏材料表观损伤变量[11]定义为:
ω=Ak/Ac (9) 将式(7)代入式(9),推导出试块的表观损伤变量ω可以表示为:
ω=Ak/Ac=(Lk/Lc)2 (10) 式中:Ak和Ac均为跟图形形状有关的参数,在同一研究对象中取值相等;Lk、Lc分别为Ak和Ac对应断裂面的周长。
根据分形损伤变量ωf跟表观损伤变量ω之间的关系,并结合升维法可以得到关系式[12]:
ωf=ωδ2−Df (11) 将式(6)代入到式(10)得:
ω=Ak/Ac=161/Df,c−1/Df,k (12) 将式(11)代入到式(12)可得出分形空间内分形损伤变量:
ωf=161/Df,c−1/Df,k(ri/a)2−Df,k (13) 由式(13)可知,分形损伤变量仅跟裂纹扩展分形维数有关,与量测尺度δ无关;又因为Ac是承载面的初始承载面积,因此Df, c = 1.0,并将其代入式(13),则:
ωf=161−1/Df,k(ri/a)2−Df,k (14) 式(14)即为所求的混凝土分形损伤变量表达式。若Df, k=1,则16(1-1/Df.k)=1,表示裂纹还未开始扩张,Df, k=Df, c=1,即分形损伤变量跟表观损伤变量相等,扩张裂纹为光滑,无分形效应。
对Df, k的取值范围进行讨论,由式(14)可知,则ωf是关于Df, k的增函数,因此Df, k在(1, 2)范围内有最大取值。由式(3)和损伤的含义:
ωf=161−1/Df,k(ri/a)2−Df,k≤1 (15) 计算可得Df, k≤1.604,即Df, k的取值范围为1.0~1.604。其物理意义是HSC试块的分形损伤限值为1.604,超过该限值后,HSC试块便失去承载能力。
2. HSC动态损伤本构关系的建立
唐志平[13]针对环氧树脂的冲击力学性能研究,提出了朱-王-唐(ZWT)本构模型:
{σ=f(ε)+φ(ε,˙ε)f(ε)=E0ε+αε2+βε3φ(ε,˙ε)=E1∫t0˙εe−(t−τ)/θ1dτ+E2∫t0˙εe(t−τ)/θ2dτ (16) 式中:σ为应力;ε为应变;E0为平衡态弹性模量;α、β为材料弹性常数;t为时间;˙ε为应变率;E1和θ1分别为低频Maxwell单元所对应的弹性常数和松弛时间;E2和θ2为高频Maxwell单元所对应的弹性常数和松弛时间。σ反映了非线性黏弹性响应,由两部分组成:一部分与应变率无关的非线性瞬态响应;另一部分是与应变率相关的线性非瞬态响应。φ(ε,˙ε)的两个积分式分别代表具有不同松弛时间的两个Maxwell单元,第1个Maxwell单元描述低频(低应变率)下的黏弹性响应,第2个Maxwell单元描述高频(高应变率)下的黏弹性响应。
在冲击载荷条件下,HSC表现出更强的应变率相关性,并且还伴有动态损伤的发生和扩展,因此,需要对ZWT模型进行改进。式(16)中,f(ε)表示与应变率无关的平衡态应力,共由3项组成,描述了材料的非线性弹性响应。试块在达到一定的应变时,混凝土试块内部的微裂纹逐渐出现失稳扩展,导致试块的损伤,应力-应变曲线表现出明显的非线性,但是在应变较小的应力-应变曲线初始阶段,实验曲线表现为近似的线性[14]。因此可以把f(ε)近似为线弹性,即:
f(ε)=E0ε (17) SHPB冲击压缩技术通过改进,比如采用波形整形技术,很大程度地降低了振荡的影响,使得实验过程处于近似恒应变率(˙ε=const,ε = ˙εt)。据此可对ZWT模型的黏性项φ(ε,˙εt)进行简化计算:
φ(ε,˙ε)=E1∫t0˙εe−(t−τ)/θ1dτ+E2∫t0˙εe(t−τ)/θ2dτ=E1θ1˙ε(1−e−ε/(˙εθ1))+E2θ2˙ε(1−e−ε/(˙εθ2)) (18) 混凝土材料的本构非线性主要源于动态损伤演化影响,而动态分形损伤演化与应变率敏感阈值密切相关。混凝土的应力-应变曲线上升段主要呈现线性,下降段主要呈现非线性。因此,要获得混凝土应力-应变曲线的下降段,就必须考虑动态损伤演化的影响。
结合式(14)和式(18),考虑动态分形损伤演化的混凝土动态损伤本构方程为:
σ=(1−ωf)[f(ε)+φ(ε,˙ε)]=(1−ωf)[E0ε+E1θ1˙ε(1−e−ε/(˙εθ1))+E2θ2˙ε(1−e−ε/(˙εθ2))] (19) 式(19)中待定参数较多,本文中采用如下方式进行处理。
(1) 忽略准静态条件下黏弹性项的影响,根据准静态应力-应变曲线切线的斜率可以直接确定E0。
(2) 低应变率条件下,高频Maxwell单元的影响很小,将动态和准静态应力-应变曲线(应变相同处)相减,得出式(20),由此求得E1、θ1。由于相减部分为非线性不显著段(ε<0.01),此时试块还无明显损伤,可以不考虑损伤项的影响。
Δσ1=E1θ1˙εl2(1−e−ε/(˙εl2θ1))+E2θ2˙εl1(1−e−ε/(˙εl1θ2)) (20) 同理,由于高应变率条件下,低频Maxwell体部分的影响很小,可以根据高应变率下SHPB实验获得的应力-应变曲线相减,得出式(21),求得E2、θ2的取值范围。
Δσh=E1θ1˙εh2(1−e−ε/(˙εh2θ1))+E2θ2˙εh1(1−e−ε/(˙εh1θ2)) (21) (3) 根据高应变率和准静态应力-应变曲线相减,在前面两步的基础之上,再按照式(22)最终拟合出E1、θ1、E2、θ2。
Δσ=E1θ1˙ε(1−e−ε/(˙εθ1))+E2θ2˙ε(1−e−ε/(˙εθ2)) (22) 3. HSC本构模型的参数拟合与实验验证
采用前面介绍的3个步骤处理,利用高频Maxwell单元和低频Maxwell单元影响性的大小,对模型中的参数进行拟合求解。基于实测曲线,对HSC损伤本构方程进行拟合。C60级HSC的拟合结果为:E0=29.4 GPa,E1=8.1 GPa,θ1=0.1 s,E2=25.7 GPa,θ2=9.0×10-5 s;C80级HSC的拟合结果为:E0=34.4 GPa,E1=8.9 GPa,θ1=0.1 s,E2=36.2 GPa,θ2=2.1×10-5 s。
采用HSC试块在SHPB冲击压缩实验结果对动态损伤本构模型进行验证。设分形损伤因子Df, k分别为1.1、1.3、1.5、1.6,并取4组不同应变率工况下的C60、C80级HSC的应力-应变曲线进行比较。将实测曲线与理论模型计算所得曲线画于坐标平面内,如图 4~5所示,其中实线为实测曲线,虚线为理论曲线。由图 4~5可知,理论曲线和实测曲线符合较好。
4. 结论
(1) 基于C60、C80级HSC的SHPB冲击实验,依照HSC试块裂纹的不规则性、裂纹断裂表面的粗糙性具有自相似性和无标度性,采用分形维数的方法来分析HSC试块的内部细观损伤演化行为,推导出了HSC分形损伤变量表达式,标定了HSC裂纹的分形维数范围为1.0~1.604,其物理意义是HSC的分形损伤限值为1.604,达到这个限值,HSC试块失去承载能力。
(2) 参考ZWT模型,结合HSC实验过程中的应变率相关性、动态损伤特性,以及近似恒应变率,推导出了动态分形损伤演化的HSC动态损伤本构方程。为了便于方程参数的确定,根据准静态、低应变率、高应变率荷载下的HSC材料特性,对方程的各子项进行取舍。
(3) 采用4组应变率工况下C60、C80级HSC应力-应变曲线,对HSC动态损伤本构方程进行验证,模型曲线和实验曲线有较好的吻合。
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