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  • ISSN 1001-1455  CN 51-1148/O3
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基于分形理论的高强混凝土动态损伤本构关系

焦楚杰 李习波 程从密 李从波

焦楚杰, 李习波, 程从密, 李从波. 基于分形理论的高强混凝土动态损伤本构关系[J]. 爆炸与冲击, 2018, 38(4): 925-930. doi: 10.11883/bzycj-2016-0377
引用本文: 焦楚杰, 李习波, 程从密, 李从波. 基于分形理论的高强混凝土动态损伤本构关系[J]. 爆炸与冲击, 2018, 38(4): 925-930. doi: 10.11883/bzycj-2016-0377
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Citation: JIAO Chujie, LI Xibo, CHENG Congmi, LI Congbo. Dynamic damage constitutive relationship of high strength concrete based on fractal theory[J]. Explosion And Shock Waves, 2018, 38(4): 925-930. doi: 10.11883/bzycj-2016-0377

基于分形理论的高强混凝土动态损伤本构关系

doi: 10.11883/bzycj-2016-0377
基金项目: 

国家自然科学基金项目 51778158

国家自然科学基金项目 51478128

国家自然科学基金项目 51278135

广东省水利科技创新重点项目 2017-32

住房和城乡建设部科研开发项目 2010-K3-27

住房和城乡建设部科研开发项目 2010-k4-18

广州大学重点科技项目培育项目 2015

详细信息
    作者简介:

    焦楚杰(1974-), 男, 教授, 博士生导师, jiaochujie@sina.com

  • 中图分类号: O346.5

Dynamic damage constitutive relationship of high strength concrete based on fractal theory

  • 摘要: 基于高强混凝土(HSC)试块在SHPB冲击实验中的分形损伤演化规律,推导了HSC的分形损伤变量表达式,标定了HSC裂纹的分形维数范围。然后参考ZWT模型,并结合HSC实验过程中的应变率相关性、动态损伤特性及近似恒应变率,推导了分形损伤演化的HSC动态损伤本构方程。采用4组应变率工况下的C60、C80混凝土应力-应变曲线对本构方程进行验证,理论曲线和实验曲线吻合较好。
  • 混凝土是一种包括多级多相介质的非均匀材料。在混凝土破坏过程中,其裂缝扩展方向通常按照“Z”字形路径向外扩展,并且在尺寸较大的“Z”字形裂纹之中,穿插着较小尺寸的“Z”字形裂纹,错综复杂的裂纹使混凝土构件的断裂面表现出凸凹不平的破坏形态[1-2]。分形理论适用于描述上述不规则性、不确定性、模糊性和非线性[3-4]。本文中拟基于前期C60、C80级高强混凝土(high strength concrete, HSC)的SHPB冲击实验[5],采用分形维数的方法分析HSC在SHPB冲击荷载作用下的内部细观损伤演化行为,并对其采用动态损伤因子进行定量分析,研究HSC的动态损伤本构关系。

    Bazant等[6]发现,当测量尺度δ无限趋近于零时,分形曲线长度将趋近无穷大。然而,实际试块的裂纹扩展路径不可能达到无穷大的长度。因此可以假定,在量测尺度范围[δminδmax]内,试块破坏由分形裂纹扩展而引起。此外,参照平板单向受拉Ⅰ型单裂纹扩展断裂问题(如图 1所示),增加如下假定:混凝土试块处于平面应力状态,扩展裂纹具有分形自相似性。

    图  1  平板中的分形裂纹
    Figure  1.  Fractal crack in the plate

    假设荷载作用下试块裂纹扩展长度为2l,裂纹扩展的投影长度为2l0,Mandelbrot等[7]研究表明:

    l=lDf0δ1Df (1)

    式中:Df为裂纹的分形维数,取值范围为1.0~2.0;δ为裂纹测量尺度,满足:

    δ=ria (2)

    式中:ri为横截面分形维数的测量尺码,以粗骨料的最小粒径为观测尺度;a为被覆盖区域的特征尺寸,在R2平面区域上,a为区域的边长;δ的取值范围为[δminδmax]。

    谢和平等[8]确定了混凝土损伤分形的物理标度域范围,即δ∈(0,1]。由前期实验结果,ri =5 mm,a=70 mm,因此:

    δ=ria=114 (3)

    依照Borodich力线法的定义[9],当试块无初始裂纹时,力线近似为直线。当试块开裂后,裂纹区域的开始逐渐得到释放,裂纹尖端附近的力线场表现出非均匀性,此时,开裂区域近似表现为菱形或椭圆形,如图 2所示。

    图  2  裂纹扩展时平板中的力线
    Figure  2.  Force lines in the plate with a crack

    根据分形曲线的特征,图 2中的裂纹区域边界可以由标准Kock分形曲线构造而成。如果构造过程中裂纹区域的面积保持不变,则裂纹区域的边界周长L为:

    L=4l=4lDf0δ1Df (4)

    由此可得:

    l0=(Lδ1Df4)1Df=L1DfδDf1Df22Df (5)

    同时,由式(5)可得裂纹分形区域周长L与面积A(一般假设为常数λl02,其中λ为与开裂区域形状有关的常数)的关系:

    A=λl20=λ[L1DfδDf1Df22Df]2 (6)

    在SHPB实验中,HSC试块在不同应力作用水平下,承载面内微裂纹的分布具有分形的自相似性,图 3为显微镜观测HSC试块承载面上细观微裂纹分布图,在到达峰值应力前,损伤区域的分形维数随着应力增加而增加;在峰值应力点时,分形维数在损伤区域达到极限值;超过峰值应力后,数值开始下降,分形维数在承载面损伤区域的变化反映出HSC试块内部细观损伤演化行为。

    图  3  HSC试块承载面裂纹分布的显微观测
    Figure  3.  Microscopic observation of crack distributed on bearing surface of HSC specimen

    在欧氏几何图形中,图形面积A0与周长L0之间的关系为:

    A0=η0L20 (7)

    式中:η0为图形的形状参数。考虑分形效应的损伤变量时,参考裂纹区域边界周长式(4)和文献[10],损伤面的分形周长L和表观周长L0之间的关系为:

    L=4LDf0δ1Df (8)

    欧氏材料表观损伤变量[11]定义为:

    ω=Ak/Ac (9)

    将式(7)代入式(9),推导出试块的表观损伤变量ω可以表示为:

    ω=Ak/Ac=(Lk/Lc)2 (10)

    式中:AkAc均为跟图形形状有关的参数,在同一研究对象中取值相等;LkLc分别为AkAc对应断裂面的周长。

    根据分形损伤变量ωf跟表观损伤变量ω之间的关系,并结合升维法可以得到关系式[12]

    ωf=ωδ2Df (11)

    将式(6)代入到式(10)得:

    ω=Ak/Ac=161/Df,c1/Df,k (12)

    将式(11)代入到式(12)可得出分形空间内分形损伤变量:

    ωf=161/Df,c1/Df,k(ri/a)2Df,k (13)

    由式(13)可知,分形损伤变量仅跟裂纹扩展分形维数有关,与量测尺度δ无关;又因为Ac是承载面的初始承载面积,因此Df, c = 1.0,并将其代入式(13),则:

    ωf=1611/Df,k(ri/a)2Df,k (14)

    式(14)即为所求的混凝土分形损伤变量表达式。若Df, k=1,则16(1-1/Df.k)=1,表示裂纹还未开始扩张,Df, k=Df, c=1,即分形损伤变量跟表观损伤变量相等,扩张裂纹为光滑,无分形效应。

    Df, k的取值范围进行讨论,由式(14)可知,则ωf是关于Df, k的增函数,因此Df, k在(1, 2)范围内有最大取值。由式(3)和损伤的含义:

    ωf=1611/Df,k(ri/a)2Df,k1 (15)

    计算可得Df, k≤1.604,即Df, k的取值范围为1.0~1.604。其物理意义是HSC试块的分形损伤限值为1.604,超过该限值后,HSC试块便失去承载能力。

    唐志平[13]针对环氧树脂的冲击力学性能研究,提出了朱-王-唐(ZWT)本构模型:

    {σ=f(ε)+φ(ε,˙ε)f(ε)=E0ε+αε2+βε3φ(ε,˙ε)=E1t0˙εe(tτ)/θ1dτ+E2t0˙εe(tτ)/θ2dτ (16)

    式中:σ为应力;ε为应变;E0为平衡态弹性模量;αβ为材料弹性常数;t为时间;˙ε为应变率;E1θ1分别为低频Maxwell单元所对应的弹性常数和松弛时间;E2θ2为高频Maxwell单元所对应的弹性常数和松弛时间。σ反映了非线性黏弹性响应,由两部分组成:一部分与应变率无关的非线性瞬态响应;另一部分是与应变率相关的线性非瞬态响应。φ(ε˙ε)的两个积分式分别代表具有不同松弛时间的两个Maxwell单元,第1个Maxwell单元描述低频(低应变率)下的黏弹性响应,第2个Maxwell单元描述高频(高应变率)下的黏弹性响应。

    在冲击载荷条件下,HSC表现出更强的应变率相关性,并且还伴有动态损伤的发生和扩展,因此,需要对ZWT模型进行改进。式(16)中,f(ε)表示与应变率无关的平衡态应力,共由3项组成,描述了材料的非线性弹性响应。试块在达到一定的应变时,混凝土试块内部的微裂纹逐渐出现失稳扩展,导致试块的损伤,应力-应变曲线表现出明显的非线性,但是在应变较小的应力-应变曲线初始阶段,实验曲线表现为近似的线性[14]。因此可以把f(ε)近似为线弹性,即:

    f(ε)=E0ε (17)

    SHPB冲击压缩技术通过改进,比如采用波形整形技术,很大程度地降低了振荡的影响,使得实验过程处于近似恒应变率(˙ε=const,ε = ˙εt)。据此可对ZWT模型的黏性项φ(ε˙εt)进行简化计算:

    φ(ε,˙ε)=E1t0˙εe(tτ)/θ1dτ+E2t0˙εe(tτ)/θ2dτ=E1θ1˙ε(1eε/(˙εθ1))+E2θ2˙ε(1eε/(˙εθ2)) (18)

    混凝土材料的本构非线性主要源于动态损伤演化影响,而动态分形损伤演化与应变率敏感阈值密切相关。混凝土的应力-应变曲线上升段主要呈现线性,下降段主要呈现非线性。因此,要获得混凝土应力-应变曲线的下降段,就必须考虑动态损伤演化的影响。

    结合式(14)和式(18),考虑动态分形损伤演化的混凝土动态损伤本构方程为:

    σ=(1ωf)[f(ε)+φ(ε,˙ε)]=(1ωf)[E0ε+E1θ1˙ε(1eε/(˙εθ1))+E2θ2˙ε(1eε/(˙εθ2))] (19)

    式(19)中待定参数较多,本文中采用如下方式进行处理。

    (1) 忽略准静态条件下黏弹性项的影响,根据准静态应力-应变曲线切线的斜率可以直接确定E0

    (2) 低应变率条件下,高频Maxwell单元的影响很小,将动态和准静态应力-应变曲线(应变相同处)相减,得出式(20),由此求得E1θ1。由于相减部分为非线性不显著段(ε<0.01),此时试块还无明显损伤,可以不考虑损伤项的影响。

    Δσ1=E1θ1˙εl2(1eε/(˙εl2θ1))+E2θ2˙εl1(1eε/(˙εl1θ2)) (20)

    同理,由于高应变率条件下,低频Maxwell体部分的影响很小,可以根据高应变率下SHPB实验获得的应力-应变曲线相减,得出式(21),求得E2θ2的取值范围。

    Δσh=E1θ1˙εh2(1eε/(˙εh2θ1))+E2θ2˙εh1(1eε/(˙εh1θ2)) (21)

    (3) 根据高应变率和准静态应力-应变曲线相减,在前面两步的基础之上,再按照式(22)最终拟合出E1θ1E2θ2

    Δσ=E1θ1˙ε(1eε/(˙εθ1))+E2θ2˙ε(1eε/(˙εθ2)) (22)

    采用前面介绍的3个步骤处理,利用高频Maxwell单元和低频Maxwell单元影响性的大小,对模型中的参数进行拟合求解。基于实测曲线,对HSC损伤本构方程进行拟合。C60级HSC的拟合结果为:E0=29.4 GPa,E1=8.1 GPa,θ1=0.1 s,E2=25.7 GPa,θ2=9.0×10-5 s;C80级HSC的拟合结果为:E0=34.4 GPa,E1=8.9 GPa,θ1=0.1 s,E2=36.2 GPa,θ2=2.1×10-5 s。

    采用HSC试块在SHPB冲击压缩实验结果对动态损伤本构模型进行验证。设分形损伤因子Df, k分别为1.1、1.3、1.5、1.6,并取4组不同应变率工况下的C60、C80级HSC的应力-应变曲线进行比较。将实测曲线与理论模型计算所得曲线画于坐标平面内,如图 4~5所示,其中实线为实测曲线,虚线为理论曲线。由图 4~5可知,理论曲线和实测曲线符合较好。

    图  4  C60级HSC实测曲线与理论曲线
    Figure  4.  Stress-strain curves of C60 HSC obtained by experiment and theory
    图  5  C80实测曲线与理论曲线
    Figure  5.  Stress-strain curves of C60 HSC obtained by experiment and theory

    (1) 基于C60、C80级HSC的SHPB冲击实验,依照HSC试块裂纹的不规则性、裂纹断裂表面的粗糙性具有自相似性和无标度性,采用分形维数的方法来分析HSC试块的内部细观损伤演化行为,推导出了HSC分形损伤变量表达式,标定了HSC裂纹的分形维数范围为1.0~1.604,其物理意义是HSC的分形损伤限值为1.604,达到这个限值,HSC试块失去承载能力。

    (2) 参考ZWT模型,结合HSC实验过程中的应变率相关性、动态损伤特性,以及近似恒应变率,推导出了动态分形损伤演化的HSC动态损伤本构方程。为了便于方程参数的确定,根据准静态、低应变率、高应变率荷载下的HSC材料特性,对方程的各子项进行取舍。

    (3) 采用4组应变率工况下C60、C80级HSC应力-应变曲线,对HSC动态损伤本构方程进行验证,模型曲线和实验曲线有较好的吻合。

  • 图  1  平板中的分形裂纹

    Figure  1.  Fractal crack in the plate

    图  2  裂纹扩展时平板中的力线

    Figure  2.  Force lines in the plate with a crack

    图  3  HSC试块承载面裂纹分布的显微观测

    Figure  3.  Microscopic observation of crack distributed on bearing surface of HSC specimen

    图  4  C60级HSC实测曲线与理论曲线

    Figure  4.  Stress-strain curves of C60 HSC obtained by experiment and theory

    图  5  C80实测曲线与理论曲线

    Figure  5.  Stress-strain curves of C60 HSC obtained by experiment and theory

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出版历程
  • 收稿日期:  2016-12-13
  • 修回日期:  2017-04-22
  • 刊出日期:  2018-07-25

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