侵彻效应是指弹体高速撞击靶体产生的破坏效应，若弹体穿透金属靶体，人们又习惯称为穿甲。天然岩石具有强度高、抗侵彻性能好的特点，因此重要的地下防护工程总是尽可能选址于强度高、完整性好的天然岩体中，许多防护工程也会利用块石作为遮弹层的主要材料^[1-3]。因此，弹体对岩石侵彻效应历来是防护工程领域关注的关键科学问题之一，其往往体现为相互“矛盾”的两方面：一方面，武器装备研究人员通过提升弹体速度、优化弹体结构和发展串联战斗部等手段增加侵彻深度^[4]；另一方面，防护工程研究人员则需要合理设计以天然岩层为基础的安全防护层厚度，通过增加掩体埋设深度、改进防护层材料和配置方案等手段提高防护工程的抗侵彻能力^[5-7]。

侵彻效应的研究最早可以追溯到19世纪以前^{[1, 8]}，在20世纪取得长足进展。尤其最近三十年，因GBU-28等精确制导钻地武器在几场局部战争中的杰出表现^{[1, 4]}，引起国内外学者的高度关注，将岩石中侵彻效应的研究向前推进了一大步。从研究手段上看，侵彻效应的研究主要有试验、数值模拟计算及理论分析等手段。早期的研究主要是通过对大量实验数据的总结，归纳出经验或半经验的计算公式，具有简单直接的特点，在世界各国有关防护结构的设计规范或计算手册中得到广泛应用^[8-11]，其缺点在于适用范围狭窄，这些公式在实验特定的范围之内具有较高的准确性，但是介质的特征参量和弹体的侵彻速度、几何尺度等一旦超出实验范围，就会造成预测预报的偏差^{[1, 11-12]}。近三四十年来，利用大型仿真程序进行侵彻数值计算的研究获得快速发展^{[5, 12-15]}，数值模拟的诱人之处在于能提供弹体和靶体内部响应的详细信息，这些信息通常是在实验中也难以观察到的，然而其计算结果往往受本构模型与相关参数选取的限制，具有较强的人为性。侵彻问题本质上是一种复杂的冲击局部问题，主要取决于撞击物（弹体）与被撞击物（靶体）的撞击速度、撞击姿态、材料性能和弹靶双方的几何与结构特性^[16-18]。为揭示问题实质，根据弹靶的几何和物理特性，以问题的主要影响因素为切入点，建立具有明晰的物理力学意义的简化理论模型仍然具有十分突出的理论意义和工程价值。

传统钻地武器普遍采用高硬度合金且对地打击速度普遍不超过1 km/s，因此经典岩石侵彻理论中常常将弹体假设为刚性弹，理论分析的核心在于弹体阻力函数，刚性侵彻是侵彻理论研究比较成熟的部分。目前，随着科技的发展，弹体的发射速度更高，试验证实^[19-30]，当弹体速度由一般侵彻速度（＜900 m/s）向高速侵彻（1 200～1 700 m/s）转移时，在侵彻过程中会发生弹体的质量侵蚀，严重影响了弹体的侵彻性能，甚至出现侵彻深度的“逆减”效应。近年来高超声速技术已经从概念和原理探索阶段进入了实质性的技术开发阶段，外军正在研发的超高速动能武器对地打击速度3 000～5 000 m/s，此时的侵彻问题将具有显著的超高速碰撞问题的特点，即侵彻过程是一个由动能急剧释放引起的极端高温高压过程，不仅会发生侵彻，还会引起显著的成坑效应并触发强烈的地冲击效应，其作用范围可远超侵彻深度，其破坏效应接近于浅埋爆炸^{[13, 15, 31-34]}，其侵彻机理与破坏模式与常规侵彻问题存在显著差别。当前对高速和超高速弹体对岩石的侵彻效应及其内在机理研究尚不十分充分，这也是当前理论研究的热点问题。

本文中围绕大速度范围内岩石类介质的侵彻效应经验公式、侵彻理论模型、成坑效应和地冲击效应的研究成果，综述国内外学者的相关理论研究成果，并对目前研究中尚有待解决的问题和下一步的研究方向进行展望。需要说明的是，为达到最佳的侵彻效果，钻地武器一般具有细长的壳体外壳，除非特别指出，本文中主要论述理想垂直入射条件下长杆弹对岩石厚靶的一维侵彻问题，不考虑贯穿问题和斜侵彻问题，同时，为了便于介绍理论模型的发展历程，也会涉及到部分金属、混凝土介质的侵彻理论。

1.   侵彻效应经验公式

钻地武器侵彻岩石深度的研究是防护工程领域关注的问题之一，由于冲击侵彻现象的复杂性，在很长时期内，该问题的实用计算都是采用以弹道试验为基础的经验公式。建立经验公式的方法大体有两种：一种是直接对试验数据进行回归分析建立的经验公式，又称纯经验公式；另一种是预先假定作用在弹体上的阻力变化规律，运用运动方程推导出计算公式，再利用试验数据资料修正公式中的常数，这种方法建立的公式称为半经验半理论公式。在防护工程领域，当前应用较多的岩石侵彻经验公式主要包括美国圣迪亚国家实验室（SNL）的Young公式^[8]、美国陆军水道实验站（WES）的Bernard公式^[9]（包含三个版本）和苏联的别列赞公式^[10]等。

（1）Young公式形式为：

式中：所有参数均采用英制单位，h为侵彻深度，S为可侵彻性指标，$S = f\left( {{f_{\rm{c}}}Q} \right)$与岩石无侧限抗压强度${f_{\rm{c}}}$和岩石质量$Q$（岩石完整性程度）有关，N_s1为弹头形状系数，m_p为弹体质量，A为弹体截面积，${v_0}$为弹体初始撞击速度。

（2）Bernard公式的三个版本的主体分别为：

部分参数含义为：$a = 1.6{f_{\rm{c}}}{\left( {\displaystyle\frac{RQD}{{100}}} \right)^{1.6}}$，$b = 3.6{\left( {{\rho _{\rm{t}}}{f_{\rm{c}}}} \right)^{0.5}}{\left( {\displaystyle\frac{RQD}{{100}}} \right)^{0.8}}$，${f_{{\rm{cr}}}} = {f_{\rm{c}}}{\left( {\displaystyle\frac{RQD}{{100}}} \right)^{0.2}}$，其中所有参数均采用英制单位，ρ_t为岩石密度，RQD为岩石质量指标（无量纲），N_s2为弹头形状系数（与N_s1不同）。

（3）别列赞公式的形式为：

式中：λ₁为弹形系数，λ₂为弹径系数，$d$为弹体直径，α为命中角（即弹体轴线与目标表面法线方向夹角），K_α为弹体偏转系数，K_q为靶体材料的侵彻系数（主要与材料无侧向抗压强度有关）。

从参数选择看，以上公式均以一定的方式考虑了弹体质量、撞击速度、弹体截面积（或弹体直径）和岩石无侧限抗压强度，但不同之处在于：

（1） Young公式和Bernard公式均考虑了岩石的完整程度的影响，但别列赞公式未考虑，这导致后者无法合理预测抗压强度相同但风化程度不同的岩石的侵彻深度。

（2） Bernard公式（III）相对于其早先版本最重要的修正之一是增加了对弹头形状的考虑。

（3） 别列赞公式的主要特色在于考虑了非垂直入射和弹体偏转的影响，这是其他公式所未考虑的；但是别列赞公式对靶体性质考虑较为简略，甚至没有考虑岩石密度的影响。

从预测效果看^[35]，Young公式和Bernard公式比较接近，别列赞公式的预测效果较以上公式均明显偏大，其主要原因是别列赞公式的实验数据来源于对地表风化岩石的原位侵彻实验，因此在相同条件下其侵彻深度较深，从防护工程设计角度而言偏于安全。

经验公式能反映问题的主要影响因素，使用简便、计算可靠度较高，因而目前各国有关防护结构的设计规范中，基本还是采用经验公式计算弹体的侵彻深度，其缺点在于试验费用高、适用范围窄，公式只能反映弹体初始情况与最终结果间的关系，不能说明弹靶相互作用机理，不能准确分析侵彻过程中弹体所受到的阻力。

此外，需要指出的是，以上公式均默认相同条件下侵彻深度随着弹体撞击速度的增加而增加，但实际情况是，当弹体打击速度足够高时，存在一个侵彻深度随打击速度增加而急剧下降的阶段，与之伴随的是弹道偏转和弹体的侵蚀破坏，当打击速度进一步增加时，由于弹靶接触面的剧烈压缩作用使介质材料破坏、融化，侵彻深度随着打击速度的增加而缓慢增加并有趋于流体动力学极限的趋势^{[19-20, 31, 36- 37]}，在长杆弹侵彻铝靶、混凝土靶的中也发现了类似的转变现象^{[21-29, 38-41]}。可见，式(1)～(3)的适用条件主要局限于弹速不高、弹道偏转不大、弹体变形不显著的情形，不适用于超高速侵彻问题。

2.   不同打击速度下侵彻效应的理论模型

2.1   对速度分区的讨论

从杆形弹体对多种密实介质（岩石、混凝土和铝等）的侵彻实验结果看^{[19-26, 36-41]}，在近似理想垂直入射条件下，随着撞击速度增加，弹体均将经历从变形可忽略的阶段（仅有少量质量损失）向侵蚀阶段（即弹体长度严重缩短）的转变，侵彻深度也将经历“迅速增加-逆减-缓慢增加-趋于流体动力学极限”的过程，不同过程的物理机理不同。由于撞击速度是决定侵彻效应的首要因素，在速度分区问题上许多学者提出了许多建议。

Forrestal等^[41]通过钢杆弹在0.5～3.0 km/s范围内侵彻铝靶的试验发现，随撞击速度提高，弹体经历了从刚体弹侵彻到侵蚀弹侵彻的转变，伴随侵深大幅下降的现象，Chen等^[39]根据对前述侵彻速度下弹体失效机理进行分析，提出了“刚性弹侵彻-半流体侵彻-流体侵彻”三阶段划分模型，并利用撞击函数$I$给出了刚性弹侵彻上限和半流体侵彻下限${I_{\rm c2}}$的临界阈值（见图1）。由侵蚀弹向半流体侵彻转换的临界值${I_{\rm c}}$为：

图  1  钢杆弹撞击铝靶机理分区^[39]

Figure  1.  Schematic of penetration of steel projectiles into aluminum targets^[39]

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式中：$I$为撞击函数，$I = \displaystyle\frac{{{m_{\rm{p}}}{v_{\rm p}}^2}}{{A{N_1}{d^3}{\sigma _{\rm{t}}}}}$，${m_{\rm{p}}}$为弹体质量；${v_{\rm{p}}}$为弹体打击速度；${\rho _{\rm{t}}}$为靶体密度；${N_1}$、${N_2}$为无量纲弹头形状系数；$d$为弹体直径；$A$、$B$为靶体材料无量纲参数；${\sigma _{\rm{t}}}$为靶体材料静力屈服强度；${I_{{\rm{c1}}}}$为刚性弹侵彻上限，Chen等^[39]认为当弹头受到的侵彻阻力达到弹体的动力屈服强度时弹体开始产生侵蚀，从而根据空腔膨胀理论$\left(\displaystyle\frac{{{\text{π}} {d^2}}}{4}\left( {A{\sigma _{\rm{t}}}{N_1} + B{\rho _{\rm{t}}}{v_{\rm p}}^2{N_2}} \right) = \displaystyle\frac{{{\text{π}} {d^2}}}{4}{Y_{\rm{p}}}{N_1}\right)$得到$I_{{\rm{c1}}} = \displaystyle\frac{{{m_{\rm{p}}}}}{{B{N_2}{\rho _{\rm{t}}}{d^3}}}\left( {\displaystyle\frac{{{Y_{\rm{p}}}}}{{A{\sigma _{\rm{t}}}}} - 1} \right)$；${I_{{\rm{c2}}}}$为通过Alekseevskii-Tate模型^[42-44]（简称A-T模型，对该模型的介绍见2.4.2节）的临界速度得到半流体侵彻下限，在A-T模型中令弹靶接触面速度为零得到$I_{{\rm{c2}}} = 2B{N_2}{I_{{\rm{c1}}}}$。试验发现，对于平头和钝头弹，${I_{{\rm{c1}}}} \text{＜} {I_{{\rm{c2}}}}$，在刚性弹侵彻和半流体侵彻之间出现了一个非常狭窄的弹体侵蚀区域，其宽度相应表达为$\varDelta ={I_{{\rm{c2}}}} - {I_{{\rm{c1}}}}$（图1(a)）；对于尖头弹，${I_{{\rm{c1}}}}\text{≥} {I_{{\rm{c2}}}}$，故$\varDelta =0$。

此外，Wen等^[45]和卢正操等^[46]考虑弹体截面的变化推导了“刚体侵彻-变形侵彻-侵蚀侵彻阶段”的转变条件，根据弹体界受到的平均阻力$F\left( {{v_{\rm p}}} \right)/{A_0}$等于弹体屈服强度${Y_{\rm p}}$（${v_{\rm p}}$为弹体打击速度，${A_0}$为弹体截面积）以及长杆弹形成稳定蘑菇头、磨蚀碎片开始抛射出的条件（$1 - \displaystyle\frac{{2{Y_{\rm p}}}}{{{\rho _{\rm p}}{{\left( {{v_{\rm p}} - u} \right)}^2}}}=0$，$u$为侵彻速度）提出刚性弹侵彻临界速度${v_{\rm{R}}}$和侵蚀弹侵彻临界速度${v_{\rm{H}}}$的计算方法；Kong等^[22]分别采用塑性波速判据和弹体强度判据给出了变形侵彻阶段的上下临界撞击速度并得到了实验的初步验证等。

以上主要通过弹体的响应对超高速侵彻问题进行分区，更加完善的速度分区需要综合考虑靶体的响应。岩石介质是由尺寸、形状和矿物成分各不相同的许多颗粒连接在一起而组成的集合体，颗粒的排列方式不规则并且存在有缺陷。岩石构造缺陷水平包括微观上的原子层次（包括空缺和位错），细观上的构造缺陷（包括颗粒内裂缝、沿过多个颗粒的粒间裂缝和沿粒界的裂缝、构造上边界碎片的分层、夹杂物等），甚至宏观上的裂隙、节理以及层理等，其力学性质受材料性质、材料微结构、荷载性质、加载速率及材料应力历史和加载路径等各种因素的制约，传统的弹塑性力学本构难以准确描述。Shemyakin^[47-49]研究指出在强爆炸冲击作用近区岩石行为由弹性状态向塑性状态转变时，不是转向理想的塑性状态，而是转向显著增强的塑性状态，这种增强的本质在于受限内摩擦。对岩石介质侵彻速度的准确划分需要准确了解冲击压缩状态下岩石介质的动力学行为及可能的力学状态。Ahrens等^[50]基于冲击波响应过程的研究，认为压缩作用下岩石介质的动力响应过程可划分为五个阶段（图2）：0，弹性阶段；1，塑性状态；2，低压力状态；3，混合状态，4，高压力状态。在弹性、塑性、低压力阶段，材料的强度起主要作用，表现为固体属性；在高压力状态，材料的体积压缩起主要作用，表现为流体动力学属性，可以认为达到超高速侵彻机制的临界条件是体积压缩性在阻力项中占主导地位。

图  2  岩石的动力压缩曲线^[50]

Figure  2.  Dynamic compression curves of rock^[50]

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王明洋等^[32]在系统研究岩石介质侵彻近区动态可压缩行为的基础上，提出了流体弹塑性内摩擦侵彻模型，认为随着打击速度的提高，弹靶近区相互作用压力增大，靶体的力学状态发生从低应力固体状态、内摩擦拟流体状态至高应力流体状态的改变，在不同状态区岩石的固体、流体属性分配份额不同，导致岩体的应力波状态、应力波衰减轨迹、应力应变状态等力学行为发生显著变化，具体如表1^[51]所示。

表  1  冲击压缩作用下典型硬岩分区行为特征^[51]

Table  1.  Dynamic behaviors of hard rock in different ranges under shock compression^[51]

冲击压缩 状态	波形时间特征	应变状态特征	应力状态特征	${c_0} = \sqrt {\displaystyle\frac{1}{{{\rho _0}}}\displaystyle\frac{{{\rm d}\sigma }}{{{\rm d}\varepsilon }}}$ 小扰动传播速度	$p\simfont\text{～} {{r}^{ - n}}$ 应力波衰减特征	冲击波速度 特征(图2(a))
高应力 流体状态	Δ=0～0.05 冲击波特征	εθ=0 一维应变	$\alpha = {\displaystyle\frac{{{\sigma _r}}}{{\sigma}_\theta} } \approx 1$	${c_0} = \sqrt {\frac{K}{{{\rho _0}}}}$	n=−2.2～3.0	D>>cp
内摩擦拟 流体状态	Δ=0.05～0.1 短波特征	${\varepsilon _r} \gg {\varepsilon _\theta } \ne 0$ 受限应变	$\begin{array}{l}\alpha = {\displaystyle\frac{\sigma _r}{{\sigma }_\theta} } = {\alpha ^*}\\{\alpha _0} \simfont\text{＜} {\alpha ^*} \simfont\text{＜} 1\end{array}$	${c_0} = \sqrt {\displaystyle\frac{{3K}}{{{\rho _0}\left( {1 + 2{\alpha ^*}} \right)}}}$ 介于流体与固体之间	n=1.4～1.8	D≈cp
低应力 固体状态	Δ＞0.1 弹塑性波特征	${\varepsilon _r} + 2{\varepsilon _\theta } = 0$ 相容应变	$\alpha = {\displaystyle\frac{{{\sigma _r}}}{{\sigma }_\theta }} = {\alpha _0}$	${c_0} = \sqrt {\frac{{\left( {K + \displaystyle\frac{4}{3}\mu } \right)}}{{{\rho _0}}}}$	n=1.1～1.2
注：$\alpha = \displaystyle\frac{{1 - {\rm{sin}}\phi }}{{1 + {\rm{sin}}\phi }}$，ϕ为介质内摩擦角；${\alpha _0} = \displaystyle\frac{\upsilon }{{1 - \upsilon }}$，$\upsilon$为介质泊松比；ρ0为介质密度，K为体积模量，μ为剪切模量。

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表1数据与图2基本一致，表1中低应固体状态对应图2阶段2，内摩擦拟流体状态对应图2阶段3，高应力流体状态对应图2阶段4。随后，王明洋等^[32]根据不同弹体速度打击下靶体体积应变曲线$p/{H_{\rm{t}}}$偏离线性、剪切强度$\tau /{H_{\rm{t}}}$趋近于${\tau _{\rm{p}}}/{H_{\rm{t}}}$（见图3）以及侧压力系数$\alpha$趋近于1（见图4）的程度，将撞击速度大致分为三个区间：

图  3  侵彻速度界定及介质压缩状态

Figure  3.  Definition the scope of penetration velocity and medium compression state

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图  4  $v/c$与α关系曲线

Figure  4.  Curve between $v/c$ and α

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式中：$v$为弹靶接触面的岩石质点运动速度，$\upsilon$为泊松比，$c$为靶体介质的临界特征速度，$c = \sqrt {{H_{\rm{t}}}/{\rho _{\rm{t}}}}$，H_t为动力硬度，${H_{\rm{t}}} = 4{\tau _{\rm{p}}}{\rm{/}}3 + \left[ {2\left( {1 + \upsilon } \right)} \right]{\tau _{\rm{p}}}{\rm{/}}\left[ {3\left( {1 - 2\upsilon } \right)} \right]$，可以通过计算岩石达到${\tau _{\rm{p}}}$时的极限压力条件给出，${\tau _{\rm{p}}}$为岩石达到流体状态时的极限强度。

高速或超高速打击条件下，弹体速度${v_{\rm{p}}}$与弹靶接触面处靶体岩石质点运动速度$v$有以下换算关系^[32]：

式中：ρ_p和ρ_t分别为弹体和靶体密度，这样，结合公式(5)～(6)就可以判断不同的弹体打击速度下靶体介质所处的力学状态。

由弹体变形和侵蚀所导致的侵深逆减现象可能出现在靶体的低应力弹塑性区和内摩擦拟流体区，具体视弹体形状、弹靶材料形状等因素制约。根据高强合金钢对花岗岩等典型硬岩的侵彻试验结果^[19]（见图5），一般弹体在靶体的低应力固体区即发生侵蚀，这样，典型硬岩可分为：刚性弹固体侵彻（图5中区域I）、侵蚀弹固体侵彻(区域II)、拟流体侵彻(区域III)、流体动力学侵彻四个阶段，与Chen等^[39]分区不同，此处综合考虑了弹体和靶体的力学状态，刚性弹侵彻、侵蚀弹侵彻主要针对弹体状态，固体侵彻、拟流体侵彻、流体动力学侵彻则主要针对靶体力学状态。

图  5  花岗岩侵彻实验结果（撞击速度1～2.5 km/s）^[19]

Figure  5.  Experimental results of penetration into granite targets with impact velocity from 1−2.5 km/s^[19]

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2.2   刚性弹体侵彻理论

刚性弹体侵彻理论的成果最丰富、发展最成熟，主要包括：空腔膨胀理论、微分面力法、速度势理论、滑移线法等^{[1, 52-54]}。其中，空腔膨胀理论的固有特性决定了其不同弹头形状、不同靶体材料均有较好的适应性，近十多年来，在Forrestal等^[55-56]的研究成果的基础上，研究人员通过对材料本构关系的修正，即将材料体积变形方程从不可压缩向跃变压缩、线性压缩、非线性压缩发展，强度模型则从理想弹塑性向线性硬化、幂次硬化、压力相关强度准则、分阶段强度准则发展并可考虑脆性断裂效应，使得空腔膨胀理论得到了新的推广^[57-65]。

空腔膨胀理论应用于弹体侵彻分析中的关键是根据质量和动量守恒方程建立空腔膨胀速度与径向应力的关系，进而计算弹体受到的侵彻阻力，为了便于计算，通常将侵彻阻力写成如下显式形式：

式中：$v$是瞬时侵彻速度，F_z是侵彻阻力，α、β、γ分别为速度二次项、一次项和零次项系数。特别地，当β=0时，式（7）被称为Poncelet型阻力函数并得到了最广泛的应用，其经典形式为Forrestal等^[65]提出的：

式中：R_t是材料的固有阻力，N^*是弹头形状系数。对于混凝土，R_t近似满足如下经验关系：

式中：f_c为混凝土单轴抗压强度。

在满足Poncelet型阻力函数时，由空腔膨胀理论得到的典型侵彻深度表达式为：

式中：K₁和K₂为靶体材料密度、强度和弹头形状决定的参数。值得注意的是，Frew等^[20]、张德志等^[36]分别采用式（8a）对石灰岩和花岗岩侵彻实验结果进行拟合，发现R_t与弹体撞击速度和弹体尺寸均密切相关，这说明式（8a）并不完全适合岩石介质。钱七虎等^[51]、王明洋等^[66]采用应力短波条件下的内摩擦侵彻理论得到了弹体阻力的表达式，并根据参数分析发现恰恰是Poncelet型阻力函数所忽略的速度线性阻力函数在硬岩介质的中高速侵彻过程中起决定性作用，因此侵彻深度与撞击速度之间近似满足线性关系，这与经验公式较为一致。

2.3   变形弹侵彻计算理论

实验研究表明，高速侵彻条件下，弹体可以在未出现侵蚀和显著质量损失的情况下发生磨蚀、钝化、弯折等情况，严重影响弹道的稳定性，引起侵彻深度陡然降低。上述情形被归结为变形弹侵彻问题，此时仍然可以采用牛顿第二运动定律描述弹体运动，但必须计及弹头的磨蚀和质量的损失。

在弹体变形机理方面，何丽灵等^{[27, 67]}、Guo等^[68]研究了侵彻混凝土时弹体磨蚀和质量损失的物理过程。何丽灵等^[69-70]引入修正系数表征熔化弹体表面材料脱落和靶中骨料硬度对弹体质量损失的影响，给出了质量增量表达式，计算时，每个时步内认为弹头形状保持不变，计算完成后，再根据弹头质量增量确定弹头形状，计算认为弹头质量损失对侵彻影响可以忽略，主要是弹头形状影响侵彻深度。郑浩^[71]采用弹靶分离的方法和修正后Archard磨损弹体侵蚀模型，建立了弹体头部钝化演变差分计算方法，得到了不同撞击速度下弹体头部形状。杨阳^[72]利用量纲分析推导了考虑骨料硬度的弹体侵彻混凝土靶体的质量损失无量纲公式。

在侵彻模型方面，Zhao等^[28]指出随着初始撞击速度的增加，弹头将被磨损，并且明显地从截卵形弹头变为半球形，甚至更钝的形状，据此根据试验结果建立了弹头形状系数与瞬时侵彻速度的关系和弹体侵彻过程中的质量，最后采用刚性弹侵彻计算方法得到变形弹侵彻计算模型，并发现在考虑磨损效应后侵彻深度将在某一撞击速度下出现极值，大致对应于实验中发现的侵彻深度突降临界速度。

Lan等^[73]假设撞击的瞬间，弹体头部立即发生变化（见图6），并且横截面积保持A_d不再变化，且变化后的头部仍然保持球形，整个已变形区域的质点速度均为${v_m}$，在界面处存在质点速度和横截面积间断，且压力在界面处均匀分布，开坑截面积保持不变，得到了变形弹侵彻时弹尾速度与侵彻速度的关系：

图  6  变形弹计算假设^[73]

Figure  6.  Assumption of deformable projectile^[73]

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式中：${v_{\rm m}}$为侵彻速度；f(v_m)是作用在变形后弹头上单位面积的力，$f\left( {{v_{\rm{m}}}} \right) = 2{\text{π}} r_{\rm{d}}^{\rm{2}}\int\nolimits_0^{{{\text{π}}/2}} {\sigma \left( \theta \right){\rm{d}}\theta }$，根据靶体状态确定，Y_p为弹体强度；${{{A_{\rm{d}}}}/{{A_{\rm{I}}}}}$由试验及数值模拟结果知近似满足以下关系：

式中：a_u由试验结果确定，${v_0}$为初始撞击速度，${v_{\rm g}}$为从刚性弹侵彻进入变形弹侵彻的临界速度。最终得到了变形弹阶段的侵彻深度计算公式：

式中：L为弹体长度。从以上研究成果总体来看，目前弹体变形过程中质量磨蚀的影响还未定论，弹头钝粗与质量磨蚀对侵彻的影响程度还需明晰，弹头钝粗的程度还很大程度上依赖于试验拟合结果。弹道稳定性研究方面，还未见考虑弹体磨蚀引起的弹道偏移的定量理论研究成果。作者及其同事在花岗岩侵彻实验中未观察到弹体墩粗的现象(见图7)^[19]，据此认为侵彻深度的减小主要是弹体质量损失引起的（图5中区域II弹体质量急剧降低伴随着侵彻速度的急速逆转），通过引入弹体质量损失函数建立了变形弹侵彻理论^[31]，这部分介绍详见2.5.2节。

图  7  不同速度侵彻后回收弹体的形态^[19]

Figure  7.  The morphology of the recovered projectiles after penetration under different velocities^[19]

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2.4   半流体和流体侵彻理论模型

典型的超高速侵彻过程可以根据弹靶界面压力随时间的演化过程划分为四个阶段^[74]（见图8），即阶段Ⅰ：瞬态激波阶段，阶段Ⅱ：稳态侵彻阶段（或主要侵彻阶段），阶段Ⅲ：二次侵彻阶段（或惯性流动阶段），阶段Ⅳ：弹性恢复阶段。对于杆形弹而言，阶段Ⅱ对侵彻过程起决定性作用，此时可以采用经过修正的稳态流体动力学模型来分析机理；对于球形弹而言，阶段Ⅱ的影响很小，一般需要综合阶段Ⅰ和阶段Ⅲ进行分析。本节重点综述杆形弹的超高速侵彻理论模型，球形弹的超高速侵彻理论模型将在本文3.1节“成坑效应”中阐述。

图  8  基于界面压力的超高速侵彻阶段划分^[74]

Figure  8.  Phases during hypervelocity penetration based on interface pressure^[74]

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2.4.1   流体动力学模型

杆形弹体超高速侵彻的理论模型最早来自高速射流的流体动力学理论，当弹体的速度极高，弹靶接触面压力极大导致可忽略弹体和靶体的强度时，可将杆形弹侵彻简化为聚能射流问题，弹靶接触面的压力平衡关系可由Birkhoff等^[75]建议的伯努利方程描述：

式中：${v_{\rm p}}$为射流速度（弹体尾部速度），$u$为弹靶界面速度，ρ_p为射流（弹体）密度，ρ_t为靶体密度。假设侵彻为定常过程，可以由公式(13)得到无量纲的侵彻深度：

式中：L为弹体长度。式（14）被称为杆形弹的“流体动力学侵彻极限”。需要指出的是，尽管上述计算结果经常被视作连续射流和长杆弹体在速度趋于无穷时的侵彻深度理论极限值，但在现有实验速度条件下的实际侵深往往与之存在显著偏差，因此必须对上述模型进行修正以使之更加符合实际。

2.4.2   修正流体动力学模型

侵蚀弹侵彻时，只是弹靶接触部分呈流体状态，其余部分还处于刚体状态^[76]，因此实际上不能忽略弹体和靶体的强度特征。流体动力学理论的最大不足在于未考虑材料强度，因而只适用于速度极高情况下的侵彻行为，对于半流体侵彻阶段，弹靶相互作用的描述一般采用修正的流体动力学模型。经典的修正流体动力学模型都是首先基于金属靶体侵彻提出的，包括Allen-Rogers模型^[77]（A-R模型）、Alekseevskii-Tate模型^[42-44]（A-T模型）等。

（1）Allen-Rogers模型

在聚能射流理论的流体动力学模型基础上，1961年，Allen和Rogers在伯努利方程中加入强度项考虑靶体强度效应的影响，形成Allen-Rogers模型^[77]：

式中：$\sigma$于靶体材料强度相关，将该式对时间积分可得无量纲侵彻深度表达式：

当${v_{\rm p}} \to \infty$（或忽略$\sigma$）时，式(16)可退化成式(14)，Allen和Rogers成功用该模型解释了镁、铝、锡等杆形弹高速撞击铝靶的试验数据，在高速侵彻作用下，侵彻深度趋近于流体动力学极限。

（2）Alekseevskii-Tate模型

A-T模型是最经典的杆形弹高速侵彻的理论模型，该模型由Alekseevskii^[42]和Tate^[43-44]各自提出，他们将弹体和靶体材料的强度（Y_p和R_t）引入伯努利方程中，并联合弹长变化方程、侵彻方程和弹体减速运动方程，建立了侵彻计算的流体力学模型：

该模型假设弹体侵彻过程中仅弹体头部较小区域和弹靶接触面附近靶体处于流体状态，其余弹体部分仍为刚体。对应不同的弹靶组合，有两种不同侵彻情形：当Y_p＜R_t时，弹体边侵彻边侵蚀，直到弹体速度${v_{\rm p}}$下降到临界速度时侵彻停止；当Y_p＞R_t时，弹体速度${v_{\rm p}}$下降到临界速度，剩余弹体以刚性弹继续侵彻。

对于A-T模型求解，一般采用数值方法，由于Y_p和R_t会对计算结果有较大影响，因此模型中Y_p和R_t取值和理解一直是A-T模型分析的重点和难点，目前仍难以达成一致性观点^[40]。Tate最初曾建议将Y_p取为Hugoniot弹性极限（即HEL）^[42]，而R_t取靶体材料HEL的3.5倍。后来在1986年，通过实验数据拟合，重新评估了Y_p和R_t^[44]：

式中：σ_yp为弹体的动态屈服应力，σ_yt和E_t分别为靶体的动态屈服强度和弹性模量，$\delta$一般取0.7。

（3）其他修正流体动力学模型

在A-T模型基础上，国内外学者提出了诸多改进模型，如：孙庚辰-吴锦云-赵国志-史骏模型^[78]（S-W-Z-S模型）、Rosenber-Marmor-Mayseless模型^[79]（R-M-M模型）、Walker-Anderson模型^[80]（A-W模型）、Zhang-Huang模型^[81]（Z-H模型）、Lan-Wen模型^[73]（L-W模型）等。这些模型最早都是针对金属靶体提出的。楼建锋^[53]对各个模型的基本假设、控制方程和计算结果作了全面的比较，并认为上述模型的关键控制方程均可以统一描述为如下形式，即：

式中：${v_{\rm p}}$和u分别表示弹体尾部速度和弹-靶界面速度，ρ_p为弹体密度，[Y_p]和[R_t]分别为弹体名义强度和靶体名义阻力。尽管式（22）在形式上实现了模型的统一，但实际上各模型的基本假设、参数取值和预测效果差异很大，在文献[1]中给出了以上各模型中[Y_p]和[R_t]的比较（表2）。

表  2  不同修正流体动力学模型中[Y_p]和[R_t]值^[1]

Table  2.  The value of [Y_p] and [R_t] in different models^[1]

模型	[Yp]	[Rt]	备注
A-T[42-44]	Yp	Rt	${Y_{\rm p}}{\rm{ = HEL = }}{\sigma _{\rm{yp}}}\left( {1 + \upsilon } \right)/\left( {1 - 2\upsilon } \right)$
			${R_{\rm t}}={\sigma _{\rm{yt} } }\left[ {\left( {2/3} \right) + \ln \left( {0.57{E_{\rm t} }/{\sigma _{\rm{yt} } } } \right)} \right]$
S-W-Z-S[78]	$\displaystyle\frac{{{Y_{\rm p}}}}{4}$	$\displaystyle\frac{A}{{4{A_{\rm p}}}}{R_{\rm t}} + \displaystyle\frac{{3A - 4{A_{\rm p}}}}{{8{A_{\rm p}}}}{\rho _{\rm t}}{u^2}$	${A_{\rm p}}$为长杆弹截面积
			$A$为坑底面积，$A \simfont\text{≥} 2{A_{\rm p}}$
R-M-M[79]	${Y_{\rm p}}$	$\displaystyle\frac{{{A_{\rm t}}}}{{{A_{\rm p}}}}{R_{\rm t}} + \displaystyle\frac{{{A_{\rm t}} - {A_{\rm p}}}}{{2{A_{\rm p}}}}{\rho _{\rm t}}{u^2}$	${A_{\rm p}}$为长杆弹截面积
			${A_{\rm p}}$为蘑菇头等效面积
			${R_{\rm t}}=\left( {{\sigma _{\rm{yt}}}/\sqrt 3 } \right)\left[ {1 + \ln \left( {\sqrt 3 {E_{\rm t}}/\left( {5 - 4v} \right){\sigma _{\rm{yt}}}} \right)} \right]$
A-W[80]	${\sigma _{\rm{yp}}}$	$\displaystyle\frac{7}{3}\ln \left( \alpha \right){\sigma _{\rm{yt}}}$	$\alpha$为靶体中塑性流动区的无量纲长度，由柱形空腔膨胀模型得到（${K_{\rm t}}$${G_{\rm t}}$为靶体的体积模量和剪切模量）： $\left( {1{\rm{ + }}\displaystyle\frac{{{\rho _{\rm t}}{u^2}}}{{{\sigma _{\rm{yt}}}}}} \right)\sqrt {{K_{\rm t}} - {\rho _{\rm t}}{\alpha ^2}{u^2}} = \left( {1{\rm{ + }}\displaystyle\frac{{{\rho _{\rm t}}{\alpha ^2}{u^2}}}{{2{G_{\rm t}}}}} \right)\sqrt {{K_{\rm t}} - {\rho _{\rm t}}{u^2}}$
Z-H[81]	$\displaystyle\frac{{{Y_{\rm p}}}}{4}$	$\displaystyle\frac{{{D^2}}}{{4D_{\rm p}^2}}{R_{\rm t}} + \displaystyle\frac{{\beta {D^2} - 4D_{\rm p}^2}}{{8D_{\rm p}^2}}{\rho _{\rm t}}{u^2}$	$\beta$为动阻力系数
L-W[73]	${Y_{\rm p}}$	$S - {\rho _{\rm t}}u{U_{{\rm F}0}}\exp \left[ { - {{\left( {\displaystyle\frac{{u - {U_{{\rm F}0}}}}{{n{U_{{\rm F}0}}}}} \right)}^2}} \right] + 2{\rho _{\rm t}}U_{{\rm F}0}^2\exp \left[ { - 2{{\left( {\displaystyle\frac{{u - {U_{{\rm F}0}}}}{{n{U_{{\rm F}0}}}}} \right)}^2}} \right]$	$S$为静阻力，${U_{ {\rm F}0} } = \sqrt {{\rm HEL}/{\rho _{\rm t} } }$为临界侵彻速度， $n$为可调系数

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从中可以看出，对于以A-T模型为代表的修正流体动力学模型，研究的矛盾和难点主要集中在模型中[Y_p]和[R_t]的取值。

准确获知侵彻过程中的[Y_p]和[R_t]值是一个十分艰难的任务。对于[Y_p]，Rosenberg等^[82]对不同强度长杆弹侵彻的模拟计算表明，[Y_p]与弹靶强度、撞击速度和长径比都相关，因此认为[Y_p]是A-T模型中不能准确定义的参数。由于[Y_p]控制弹体侵蚀和减速，Anderson等^[83]曾建议通过实验测量弹尾的实时运动来推测[Y_p]值，但目前为止，仍未见精确的侵彻过程中[Y_p]实测数据。

由修正流体动力学模型的控制方程（公式(22)）可知，影响弹体侵彻效应的是模型中[R_t]与[Y_p]的差值[R_t]- [Y_p]，目前研究人员普遍认为其对长杆弹高速侵彻能力的影响较小，因此通常取[Y_p]为定值或零强度进而主要研究[R_t]的规律。目前常采用三种方式确定[R_t]值^[84]：(1) 通过空腔膨胀等理论模型进行推导；（2）通过侵彻实验数据反向拟合；（3）在数值模拟中获得瞬时压力，再对时间或位置积分获得侵彻中的平均值。由于采用的模型不同，不同的修正理论获得的[R_t]通常具有显著的差异^{[1, 84]}，由于A-T及其修正模型主要针对稳态侵彻阶段，同时[R_t]在侵彻过程中剧烈变化，因此利用最终侵彻深度反向拟合[R_t]的方法也不尽合理。Anderson等^[83]发现在A-T模型中，无法同时匹配侵彻速度和侵彻深度，随后Anderson等^[85]详细比较了利用侵彻深度反向拟合的靶体阻力和对应数值模拟中按时间平均、按侵深平均及仅考虑稳态侵彻阶段的靶体阻力，发现二者差异显著，在超过4.5 km/s的撞击速度下，用侵彻深度反向拟合的[R_t]为负值，这显然违背了客观物理规律。在岩石类介质侵彻效应的理论研究，如何准确确定[R_t]和[Y_p]值，仍将是一个艰难的工作。

2.5   统一的内摩擦流体弹塑性侵彻理论模型

目前关于侵彻理论计算模型主要分空腔膨胀理论及射流理论两种，其中空腔膨胀理论主要适用于研究固体弹塑性侵彻问题；而射流理论则主要适用于研究流体动力学侵彻问题，目前尚缺乏一种涵盖从低速至高速、超高速侵彻的全过程理论模型。王明洋等^[31-32]、李杰等^[86-87]在系统总结爆炸和冲击加载作用下岩石动态压缩试验数据的基础上，指出：在固体弹塑性侵彻区域与流体动力学侵彻区域之间，还存在一个拟流体过渡区，在这一区域材料的行为兼具固体和流体属性，随后创新提出流体弹塑性内摩擦侵彻理论，表征了材料从低应力固体弹塑性至高应力流体之间的应力状态，推导出了从固体侵彻至流体侵彻全过程的阻抗演变公式：

式中：${\tau _{\rm{s}}}$为岩石剪切强度，一般随压力提高，岩石的剪切强度也在提高，最终趋向极限，可用公式${\tau _{\rm s}} = {\tau _0} +$$\displaystyle\frac{{\mu p}}{{1 + \mu p/\left( {{\tau _{\rm p}} - {\tau _0}} \right)}}$表征，${\tau _0}$为介质黏结强度，${\tau _{\rm p}}$为动力强度极限，$\mu$为摩擦因数，$\ell \text{≤} 1$为流体动应力影响系数，表征了岩石体积压缩的非线性程度，$\kappa =\left( {1{\rm{ + }}2\alpha } \right)/3$为受限内摩擦影响系数，其值大小与介质的内摩擦角$\varphi$相关，目前仍难以建立$\varphi$与打击速度v_p的物理关系，文献[32]中按Boltzmann函数给出$\kappa$随弹速变化的关系：

式中：${v_*}$和${v_*}_*$分别为岩石介质进入拟流体侵彻和流体动力学侵彻对应的弹体临界速度，按公式(5)～(6)确定，dv为拟合系数，由试验确定，随弹速增加，公式（24）中不同项应力影响分配份额发生变化，根据侵彻压力状态递进过程中，不同参数演化趋向极限的程度，将侵彻过程分为固体侵彻、半流体侵彻和流体动力学侵彻。下式给出了3种侵彻情况下，阻抗的计算公式和速度阈值：

在不同的侵彻状态下，通过对弹头进行受力分析得到弹体的最终侵彻深度。

2.5.1   刚性弹侵彻阶段

在刚性弹侵彻时，岩石介质处于固体侵彻状态，根据牛顿第二定律得到弹体运动微分方程^{[32, 51, 66]}：

式中：$F$为弹头阻力，受弹头形状影响，应通过分析弹头微面积上的阻力积分得到。例如，对于弧形弹头（见图9），设弹杆半径为r₀，弹头表面某点的法线方向与弹轴的夹角为θ，弹头圆弧半径为s，圆心角为θ₀（${\theta _0} = {\rm arctan}((s - {r_0})/s) = {\rm arctan}(1 - 1/2\psi )$，$\psi = s/2{r_0}$为弹头头部曲率），弹体垂直侵入靶体，初始侵入速度为${v_0}$，中途侵入速度为${v_{\rm p}}$，则作用在弹体头部微面积上的法向阻力和切向阻力分别为：

图  9  弧形弹头的几何参数

Figure  9.  Ogive-nose projectile geometry

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式中：${\sigma _{{r}}}$按公式(25)固体侵彻阶段取值，${\mu _{\rm s}}$为弹靶间摩擦因数，则弹头轴向合力为：

王明洋等^{[51, 66]}分析了不同弹体形状下刚性弹侵彻阶段弹体侵彻深度，统一用下列公式表示：

式中：${\alpha _s} = \displaystyle\frac{4}{3}{\tau _{\rm{s}}}{\text{π}} r_0^2{N_{{\rm{p}}1}}$，${\beta _{\rm{s}}} = \kappa {\rho _{\rm{t}}}{c_{\rm{p}}}{\text{π}} r_0^2{N_{{\rm{p}}2}}$。${N_{{\rm{p}}1}}$和${N_{{\rm{p}}2}}$为与弹头形状相关的系数，对于平头弹：

对于弧形弹：

当$0.1 \text{≤} {v_0}/{c_{\rm{p}}} \text{≤} 0.2$时，式(29a)中对数项影响小于5%，可简化为：

2.5.2   侵蚀弹侵彻阶段

随着侵彻速度进一步增加，当岩体介质阻抗超过弹体的动力屈服强度时，弹头将发生屈服、磨蚀，造成由于弹体变形和质量损失带来的侵彻深度的急剧下降，仍然采用式（26）所示的控制方程，但需要引入弹体质量的损失与侵彻速度的关系^[32]：

式中：${m_{{\rm{p0}}}}$为弹体的初始质量，${v_{\rm cr}}$为发生质量损失的临界速度，由条件σ_r=Y_p来确定，当${v_{\rm p}} \text{＞} {v_{\rm cr}}$时，弹体侵彻时出现质量侵蚀，侵彻过程中，弹体速度不断减小，被侵蚀的质量不断增加，当速度降低至${v_{\rm p}} \text{≤} {v_{\rm cr}}$时，弹体重新恢复刚体侵彻，弹体质量不再发生变化，α_e为质量损失参数，可通过实验确定。

此时将公式（31）代入弹体运动微分方程（26），可得到侵蚀弹侵彻阶段弹体侵彻深度计算公式：

${\lambda _{\rm{p}}} = 1 - \exp \left[ {{\alpha _{\rm e}}\left( {\displaystyle\frac{{{v_{\rm cr}} - {v_0}}}{{{v_{\rm cr}}}}} \right)} \right] + {\alpha _{\rm e}}\exp \left[ {{\alpha _{\rm e}}\left( {\displaystyle\frac{{{v_{\rm cr}} - {v_0}}}{{{v_{\rm cr}}}}} \right)} \right]$为质量磨蚀系数。

2.5.3   内摩擦拟流体侵彻阶段

对于坚硬岩石，当靶体进入内摩擦拟流体状态时，弹体一般也已进入流体状态，此时须采用修正的流体动力学方程描述弹体行为，即^[32]：

式中：${\sigma_r}$按公式(25)拟流体侵彻阶段取值。若弹体强度Y_p可忽略，在理想定常侵彻条件下，得到侵彻深度计算公式：

式中：$\kappa$按公式(24)函数给出。对于非定常侵彻，可取公式(33)为控制方程，并联合A-T模型的弹长变化方程、侵彻方程和弹体减速运动方程进行数值求解计算。

2.5.4   流体动力学侵彻阶段

在公式(34)中，若κ→1，进入流体动力学阶段，侵彻深度计算公式演化为^[32]：

随着$Ma$的增大，$\theta \to 1$，于是式(35)退化成为：

内摩擦侵彻理论模型实现了由低速至高速、超高速侵彻的全过程计算，并得到了1.0～5.0 km/s钢弹侵彻花岗岩的试验验证^[32]（见图10）。

图  10  花岗岩侵彻深度的实验结果与理论计算结果的预测效果^[32]

Figure  10.  Comparison of calculation results with experimental results of penetration depth in granite^[32]

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3.   超高速侵彻成坑和地冲击效应

研究表明，随着弹体速度提高，超高速侵彻深度逐渐趋向极限，但弹体动能急剧释放引起的极端高温高压过程致使弹坑半径呈现非线性扩增现象，同时产生类似于爆炸的强地冲击现象，其本质是一种幅值高、作用时间长的应力波^{[13, 33]}。由成坑效应和地冲击效应带来的附加毁伤效应值得引起工程防护设计和武器研发人员的重视，同时对研究陨石撞击效应和破岩技术具有重要的意义。

3.1   成坑效应

目前成坑效应的研究主要集中于球形弹撞击效应，研究背景主要来源于破片或太空垃圾对航天航空飞行器的破坏以及陨石对类地星体的撞击成坑等。对于地质类材料，地质学和行星学家围绕小行星和陨石撞击成坑效应，开展了大量室内模型实验，并综合采用参数拟合方法以及半解析手段得到了金属介质中的成坑尺寸计算公式。如Burchell等^[88]根据花岗岩的撞击试验拟合获得了经验公式：

式（37）要求采用mm、km/s作为长度和速度单位；Takagi等^[89]根据玄武岩的撞击试验得到了成坑参数和弹体动能之间的关系

更早时候，Donald^[90-91]基于100多次玄武岩和花岗岩的试验结果归纳出了成坑深度和成坑直径的经验公式

式（39）要求采用cm、g、s作为长度、质量和时间单位进行计算，其中i是入射角度，以垂直入射为i = 90°且要求i＞15°。

以上关系大多是零星的经验公式，缺乏针对不同因素、不同尺度下相似关系的考虑。经典的超高速撞击成坑的相似关系在Kinslow^[92]和张庆明等^[93]的著作中得到了较为充分的总结，而专门针对地质类材料的相似关系的系统理论成果则首推Holsapple、Housen和Schmidt等学者等在过去二十多年积累的成果^[94-101]，其形式总体满足表2的结果，其中ρ_p为弹体密度，a₀为弹体半径，Y_t为靶体强度，ε为靶体孔隙率参数，含有不同下标的f为ε的函数且与对应的几何参数和控制区域有关，g为重力加速度，ξ₁，ξ₂为拟合常数。其中ξ₂一般取为1/3，1/3＜ξ₁＜2/3且ξ₁与ε有关：当ε = 30%～35%时，ξ₁=0.4；当介质孔隙率较小时，ξ₁=0.6。当弹体直径不超过～10 m级别时，成坑相似率在强度控制区域；而当弹体直径超过～10 m级别时，成坑相似率在重力控制区域。表3中的公式得到了海量实验数据的验证并形成了适用于宽广条件的计算参数，因此得到了较为广泛的应用并有专门的网站供读者进行估算^[102]。近年来MEMIN课题组利用上述相似关系开展了大量的室内模型实验^[103-108]，并从宏观和微观角度加深了对成坑机理的理解。

表  3  地质类材料成坑效应的相似关系

Table  3.  Similarity laws of cratering effects in geological material

成坑参数	强度控制区域	重力控制区域
Vc	$\displaystyle\frac{ { {\rho _{\rm{t} } }{V_{\rm c} } } }{ { {m_{\rm{p} } } }} = {f_{ {V_{\rm{c} } }s} }\left( \varepsilon \right){\left( {\displaystyle\frac{ { {\rho _{\rm{p} } }v_0^2} }{ { {Y_{\rm t}} } } } \right)^{\frac{ {3{\xi _1} } }{2} } }{\left( {\displaystyle\frac{ { {\rho _{\rm{t} } } }}{ { {\rho _{\rm{p} } } } } } \right)^{1 - 3{\xi _2} + \frac{3}{2}{\xi _1} } }$	$\displaystyle\frac{{{\rho _{\rm{t}}}{V_{\rm c}}}}{{{m_{\rm{p}}}}} = {f_{{V_{\rm{c}}}g}}\left( \varepsilon \right){\left( {\displaystyle\frac{{v_0^2}}{{g{a_0}}}} \right)^{\frac{{3{\xi _1}}}{{2 + {\xi _1}}}}}{\left( {\displaystyle\frac{{{\rho _{\rm{t}}}}}{{{\rho _{\rm{p}}}}}} \right)^{\frac{{2 + {\xi _1} - 6{\xi _2}}}{{2 + {\xi _1}}}}}$
Dc	${D_{\rm{c} } }{\left( {\displaystyle\frac{ { {\rho _{\rm{t} } } }}{ { {m_{\rm{p} } } } } } \right)^{1/3} } = {f_{ {D_{\rm{c} } }s} }\left( \varepsilon \right){\left( {\displaystyle\frac{ { {\rho _{\rm{p} } }v_0^2} }{ { {Y_{\rm t}} } } } \right)^{\frac{ { {\xi _1} } }{2} } }{\left( {\displaystyle\frac{ { {\rho _{\rm{t} } } }}{ { {\rho _{\rm{p} } } } } } \right)^{\frac{1}{3} - {\xi _2} + \frac{1}{2}{\xi _1} } }$	${D_{\rm c}}{\left( {\displaystyle\frac{{{\rho _{\rm{t}}}}}{{{m_{\rm{p}}}}}} \right)^{1/3}} = {f_{{D_{\rm{c}}}g}}\left( \varepsilon \right){\left( {\displaystyle\frac{{v_0^2}}{{g{a_0}}}} \right)^{\frac{{{\xi _1}}}{{2 + {\xi _1}}}}}{\left( {\displaystyle\frac{{{\rho _{\rm{t}}}}}{{{\rho _{\rm{p}}}}}} \right)^{\frac{{2 + {\xi _1} - 6{\xi _2}}}{{3\left( {2 + {\xi _1}} \right)}}}}$
h	$h{\left( {\displaystyle\frac{ { {\rho _{\rm{t} } } }}{ { {m_{\rm{p} } } } } } \right)^{1/3} } = {f_{ {h_{\rm{c} } }s} }\left( \varepsilon \right){\left( {\displaystyle\frac{ { {\rho _{\rm{p} } }v_0^2} }{ { {Y_{\rm t}} } } } \right)^{\frac{ { {\xi _1} } }{2} } }{\left( {\displaystyle\frac{ { {\rho _{\rm{t} } } }}{ { {\rho _{\rm{p} } } } } } \right)^{\frac{1}{3} - {\xi _2} + \frac{1}{2}{\xi _1} } }$	$h{\left( {\displaystyle\frac{{{\rho _{\rm{t}}}}}{{{m_{\rm{p}}}}}} \right)^{1/3}} = {f_{{h_{\rm{c}}}g}}\left( \varepsilon \right){\left( {\displaystyle\frac{{v_0^2}}{{g{a_0}}}} \right)^{\frac{{{\xi _1}}}{{2 + {\xi _1}}}}}{\left( {\displaystyle\frac{{{\rho _{\rm{t}}}}}{{{\rho _{\rm{p}}}}}} \right)^{\frac{{2 + {\xi _1} - 6{\xi _2}}}{{3\left( {2 + {\xi _1}} \right)}}}}$

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目前对于杆形弹成坑效应的研究不多。但目前随着高超声速动能武器的发展，已逐渐引起世界各国学者的关注。

完整的成坑效应包括不同侵彻深度处弹坑横向尺寸的全部信息，一般来说，地质材料和金属介质的撞击成坑外观差异十分显著（见图11）。在垂直撞击下，金属介质中将形成内壁光滑、轮廓清晰的圆形截面弹坑（图12(c)），在弹坑边缘可以观察到显著外翻的“唇沿”，附近介质显著隆起^{[93, 109]}。相比之下，岩石介质中的成坑一般难以用简单形状函数描述，其典型特征是在中央坑周围存在一个边缘极不规则的剥裂区域，其内壁凹凸不平。这一不规则区域主要是由于反射应力波引起的表面剥离效应，一般认为是与岩石介质抗拉强度低、脆性显著、内部缺陷分布有关。

图  11  岩石与金属靶体超高速撞击成坑的典型外观^{[106, 109]}

Figure  11.  Typical appearance of craters formed by hypervelocity impact^{[106, 109]}

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图  12  不同条件下的成坑效应

Figure  12.  Cratering effects under different conditions

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当撞击速度较低时，典型岩石介质成坑效应包括表面浅碟形的开坑区和隧道区（图12（a））^[110-111]；当撞击速度较高时，上述两个区域的边界趋于模糊，隧道区逐渐演化为中央弹坑（图12（b））^{[19, 21-22, 103-108, 112]}。

现有研究主要针对开坑区范围计算。Forrestal等^[23、Frew等^[113]对一般弹道速度下开坑区深度h_c和开坑直径D_c进行了分析，认为混凝土h_c是弹体直径的2倍，D_c为弹体直径的2～8倍。Li等^[111]采用滑移线理论给出了混凝土h_c的深度的简化计算方法，并认为其主要取决于弹头形状和弹体直径，与撞击速度无关。刘海鹏等^[110]给出了混凝土h_c和D_c的解析计算方法，发现开坑区倾斜角度与材料的力学性能和撞击条件关系不大并接近于24.7°。

由于长杆弹成坑效应机理复杂，对于长杆弹成坑效应的计算主要采用半理论半经验的计算公式，许多学者将类似于表2中的相似关系引入长杆弹侵彻，并通过试验建立了成坑效应计算公式，如钱秉文等^[21]利用Holsapple-Housen模型得到了钨合金短杆弹超高速侵彻混凝土成坑效应中D_c和V_c的归一化表达式：

式中：k为拟合参数，Y_t取混凝土单轴抗压强度。程怡豪等^[114]得到了涵盖文献^{[21-22, 29]}实验数据的混凝土成坑深度的分段计算公式（见图13）：

图  13  式（41）与混凝土超高速侵彻深度实验结果的对比^[114]

Figure  13.  Comparison between Eq. (41) and experimental results of hyper-velocity penetration depth into concrete^[114]

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式中：Y_t建议取为式（8b）中的R_t。

以上半理论半经验公式具有简单直接的特点，在实验特定的范围之内具有较高的准确性，其缺点在于介质的特征参量和弹体的侵彻速度、几何尺度等一旦超出实验范围，就会很容易造成预测预报的偏差，因此需要从岩石的成坑机理出发，建立物理意义明确的理论模型。

目前对于长杆弹成坑效应的理论模型，较为经典的是Slepyan模型。杆形弹超高速撞击岩石过程中，弹靶近区岩石的超高压力致使岩石破碎，并经由弹靶接触边界向外喷射^{[21, 115]}。Slepyan^[116]采用如图14所示的计算模型研究了扩孔范围，图中Ω₁（实质上是一个外直径2R₀的变截面空心圆柱）为拟流体区，该区域的破碎岩石可以视为无黏性不可压缩理想流体；Ω₂为裂纹区，该区域内的质点位移很小并可视为刚性；Ω₃为弹性区，仍旧保持着岩石的初始物理力学特征。拟流体区与裂纹区的边界满足P=H_t，并且随着弹体的侵彻，该边界不断沿着x₁轴移动。因此，上述问题转化为拟流体破碎介质以强度为边界的管道中遇到弹体阻碍时的流动问题。

图  14  高速弹体侵彻岩石扩孔范围计算简图^[116]

Figure  14.  Calculation diagram of cavitation induced by high-velocity projectile penetration into rocks^[116]

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Slepyan模型将破碎岩石可以视为无黏性不可压缩理想流体，实际上由于岩石力学性质特殊性，很难达到如此力学状态。王明洋等^[31]在Slepyan模型基础上，通过内摩擦理论（2.5节）对模型中流体项的修正，得到Ω₁内的伯努利方程和连续方程为：

式中：${v_\infty }$为向后喷射射流的速度极限，对应于P=0的情况；${\kappa _0} = \displaystyle\frac{{R_0^2 - {r^2}}}{{R_0^2 - {r_0}^2}}$为破碎介质喷射的压缩射流系数，表征了介质向后喷射过程中粒子速度的变化情况，r是射流在无穷远处的内半径。由式（42）得到中央坑的粉碎区半径计算公式：

${Ma} = {v_{\rm p}}/c$，${\vartheta _0}$的计算可借助Gurevich^[117]的研究结果：对于弹体侵彻这类圆锥体的轴对称问题求解极其复杂，但是试验与数值分析表明，平面问题与轴对称问题的压缩射流系数基本相等，可以将等效楔形体所致的压缩射流系数视为相应圆锥体的压缩射流系数。平面问题压缩射流的系数由下列公式确定：

式中：α是楔块顶端的半角（$0 {\text{＜}} \alpha {\text{≤}} {{\text{π}}/2}$），$x = \alpha /{\text{π}}$，${\zeta ^x} = {Ma} \cdot {\left( {1 + Ma^2} \right)^{ - 0.5}}$。

通过粉碎区边界压力做功与裂纹增长能量之间的关系，得到径向裂纹区半径${R_{\rm c}}$简单的相似关系：

$\varDelta =\displaystyle\frac{{K_{\rm c}^2}}{{H_{\rm t}^2}}$表征了裂纹尖端塑性区尺度，${K_{\rm c}}$为断裂韧度，${H_{\rm t}}$为动力硬度。

图15给出了拟流体侵彻范围径向裂纹区半径理论计算结果与花岗岩中实验结果对比。结果表明，相较于Slepyan模型，利用内摩擦理论修正的计算模型撞击成坑计算公式与实验结果吻合更好。

图  15  径向裂纹区半径计算结果与实验结果对比^[32]

Figure  15.  Comparison of crater radius between calculation results and experimental results^[32]

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以上公式及表2的结果均是针对超高速撞击成坑最终形态的计算公式，不能再现成坑的全过程。Maxwell的Z模型^[118]是较早成功用于描述超高速撞击成坑和核爆成坑过程的理论模型，该模型对弹坑边缘和前驱冲击波阵面之间的速度场进行矢量化描述，并在一定的边界条件和初始条件下求解最终成坑尺寸和介质抛射过程，其基本控制方程为：

式中：${ R}$为径向方向向量，α_z和Z近似为常数，${ U}$为速度场向量。式（46）描述了冲击波后不可压缩条件下流场的运动，当Z = 2，3，4时，冲击波后流场如图16所示。求解Z模型尚需材料本构模型和边界条件，过程较为复杂，一般必须借助于数值方法，但对于特殊情形可以求得解析解。例如文献[34]的模型可以视作Z=2时的特例，此时流场满足球对称条件，因此可以采用球形空腔膨胀理论进行分析。

图  16  Z模型在不同Z值下的速度场^[118]

Figure  16.  Streamlines with different values of Z^[118]

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综上，超高速打击情况下，弹靶界面处的冲击压力远大于材料的动态强度，材料呈现出准流体或流体状态，在接触面周围流动，最终形成远大于弹体口径的弹坑，并在弹坑周围形成破碎区和径向裂纹区，岩石的成坑特性反映了弹体打击过程中能量分配的份额，从而决定了辐射出来的应力波基本参数，对于评判超高速动能武器打击的毁伤效应具有重要价值，但是相关研究尚不完善。目前在实验上仅能获得打击结束后靶体的成坑形貌，很难连续测得弹坑的形成规律，因此难以建立起能精确描述成坑效应的理论模型，而且对影响成坑的主要因素尚存在分歧。目前迫切需要对超高速侵彻过程中弹靶接触面的介质压碎过程、塑性流动轨迹、应力波反射剥离效应等进行更加详细的理论分析、试验量测和模拟研究工作，从而建立起更加具有物理意义的力学模型。

3.2   地冲击演化规律

爆炸与撞击都是能量的高速释放转化过程，属于高压力、高应变率、高温度的作用过程，邓国强等^{[13, 119]}对超高速武器对地打击效应进行了数值仿真，结果表明超高速对地打击将形成塑性冲击波，在弹坑形状、冲击波波形及衰减规律上高能装药的浅埋爆炸效应均具有一定相似性，所不同的是超高速撞击过程中弹体动能具有定向性。

Oberbeck^[120]通过实验表明：在动能一定的情况下，可以用爆炸能量等于弹体动能、且爆炸冲击波压力峰值等于超高速撞击冲击波峰值的浅埋爆炸来模拟超高速撞击，实验利用长4.6 mm、直径6.4 mm、质量0.435 g的圆柱形铝质弹丸，以2.00 km/s的速度撞击石英砂靶体，弹体的动能为870 J，弹丸对石英砂的冲击压力峰值为8 300 MPa。使用和弹丸形状一模一样、装填密度为1 g/cm³的0.15 g TNT炸药（爆炸冲击波压力峰值为8 300 MPa），进行浅埋爆炸，装药中心埋深分别为0、3.2、6.3、9.5、14.3 mm。对比发现，炸药埋深为6.3 mm左右（比例埋深）时，爆炸弹坑和撞击弹坑匹配最好。

Baldwin^[121]认为，对于特定的弹靶组合和炸药，等效模拟存在速度限制。以铝质弹丸高速撞击石英砂为例，如果弹丸撞击速度高达9.6 km/s，则弹丸在石英砂中产生的冲击波压力高达50 GPa，而装填密度为1.6 g/cm³的TNT炸药爆炸冲击波压力峰值为23 GPa，同时要求二者的单位能量和冲击波压力峰值都相等有很大困难，用爆炸模拟将不再合适。

Holsapple^[122]以弹坑体积相同为标准，提出了化学爆炸模拟超高速撞击问题中“等效埋深”的概念，多种撞击条件和化学爆炸条件下，石英砂中的等效埋深实验结果，并通过试验得出了定性结论：撞击速度固定的情况下，随着撞击能量的增加，等效埋深减小；撞击能量固定的条件下，随着撞击速度的增加，等效埋深减小。

王明洋等^[32-33]认为，从力学本质上讲，岩石中超高速撞击与浅埋爆炸都属于强动载作用下材料动力学行为和过程的问题，二者近源区产生强冲击波，随着传播距离增加迅速衰减为短波、弹塑性波，波的传播衰减规律相同，可以用相同的物理力学方程描述。随后王明洋等以弹坑体积和形态为等效指标（基于冲击成坑深度确定等效装药埋深，基于冲击成坑半径确定弹坑抛掷指数），建立超高速撞击与标准装药爆炸的能量等效关系：

式中：${m_{\rm{p}}}v_0^2/2$为弹体动能，$Q{C_{\rm v}}$为炸药爆炸释放能量，${C_{\rm v}}$为热功当量与爆热乘积，$Q$为按弹坑体积和形态为等效指标确定的装药量：

式中：${k_\delta }$为爆破多方指数，与炸药和岩石性质有关；${N_\delta } = R/h$为弹坑形状系数；$R$为表面成坑半径。

与化爆、核爆一样，超高速撞击引起的地冲击也可在一定范围内采用以下公式描述^{[32, 123]}：

式中：σ_pk为应力波峰值，r为撞击点到考察点的距离，n为衰减指数。衰减系数$n$的取值与岩石压力状态密切相关。Melosh^[123]较为系统地阐述了地质材料的超高速撞击成坑及冲击波传播的过程，如图1所示，在速度10 km/s的弹体的撞击下，弹体和岩石靶体之间形成峰值压力50 GPa以上的冲击波并向地下传播，波的传播规律如图17所示，在50 GPa以上的强冲击区波的压力衰减指数约为3.6，在5～20 GPa的过渡压力范围内衰减指数约为1.4～1.8，在小变形弹塑性变形区衰减指数约为1.1～1.2（见图18）。

图  17  球形弹超高速撞击下介质中压力分布^[123]

Figure  17.  Pressure distribution in medium under hypervelocity spherical projectile^[123]

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图  18  峰值压力随距离衰减曲线^[123]

Figure  18.  Peak pressure decay with impact of distance^[123]

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哈努卡耶夫^[124]总结了值与侧压力系数α间的简单关系：

式中：正号对应冲击波传播区域（高应力流体状态），负号对应固体弹塑性波传播区域（低应力固体区）。在高应力流体区，$\alpha \approx 1$，故$n \approx 3$，在低应力固体区，$\alpha \approx 0.2\text{～} 0.6$，上述关系大致描述了n值从近区（n＞2）向远区（n＜2）突跃式减小的现象。

借助于室内缩比撞击试验与预埋压力传感器的方法可以直接测得不同位置的压力变化，进而得到压力随距离衰减的真实过程。程怡豪^[125]总结了不同文献中实测或数值计算得到的衰减指数（见表4）。

表  4  地质类材料地冲击衰减指数n

Table  4.  Power exponent n for attenuation of ground shock in geological material

介质类型	作用类型	研究方法	爆炸当量（TNT）或撞击速度	n
花岗岩	化学爆炸	试验拟合	0.12 kg	2.12
	核爆炸	试验拟合	4.8 kt/12.2 kt/56 kt	1.6
砂岩	化学爆炸	试验拟合	0.1 kg	2
石灰岩	化学爆炸	试验拟合	0.18～0.2 kg	2
	撞击	数值计算	4～6 km/s	2
玄武岩	撞击	试验拟合	0.6～2.7 km/s	1.7±0.2
辉长-钙长岩	撞击	数值计算	4～45 km/s	0.2～2.95
冰	撞击	试验拟合	3.9～4.6 km/s	0.9～1.8
盐岩	核爆炸	试验拟合	1.1 kt/3.1 kt/25 kt	1.6
混凝土	化学爆炸	试验拟合	0.12 kg	1.53
细粘土	化学爆炸	试验拟合	0.2 kg	2.6
黏土	化学爆炸	试验拟合	0.4 kg	2.34

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对于岩土中爆炸应力波波形计算，应用最多的是文献[126]提供的计算公式：

式中：$\alpha = 1/{t_{\rm a}}, \;{t_{\rm a}} = r/{c_{\rm t}}$为达到时间，t_r为升压时间，f耦合系数，ρ_t为靶体材料密度，c_P纵波速度，Q为等效TNT当量；r为爆心至测点距离，$n$为衰减指数。

花岗岩中超高速撞击地冲击试验证实，按公式(50)计算的应力波形与实测波形基本一致（见图19～20）。

图  19  弹速3 558 m/s时实测地冲击压力时程曲线^[32]

Figure  19.  The experiment time history curve of ground shock with impact velocity 3 558 m/s^[32]

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图  20  弹速3 558 m/s时按公式（50）计算的地冲击压力时程曲线^[32]

Figure  20.  the calculated time history curve of ground shock with impact velocity 3 558 m/s^[32]

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综上，在超高速弹体对地撞击时，产生类似于浅埋装药爆炸的强地冲击效应，在进行防护工程抗超高速动能弹打击最小安全防护层厚度设计时，除侵彻近区的局部破坏效应（侵彻、成坑）外，还应考虑由于超高速撞击所引起的地冲击荷载。近年来，在超高速动能武器研制及工程防护需求的推动下，不同学者对下地冲击演化及压力峰值衰减规律进行了研究，建立了超高速撞击岩石地冲击效应与浅埋爆炸的等效计算方法，但相关研究还未达到机理明晰的地步：（1）对于衰减系数n，目前仍主要采用基于试验拟合和数值模拟所得到的经验系数，还未建立系数n与应力波、岩石力学参数的关联关系；（2）由图18和公式（49）可知，参数n随距撞击源（或爆心）比例距离的增加而急剧减小，这也造成衰减系数n拟合的主观性，在试验过程中测点位置、测点数目的变化均可造成n值的较大差异；（3）目前超高速弹体侵彻岩石的地冲击效应试验主要采用室内缩比撞击试验与预埋压力传感器的方法，由于岩石尺度小、地冲击衰减快造成了试验测量的困难，同时在岩石中预埋压力传感器的方法破坏了岩石的整体性，也会对试验结果造成误差，如何实现超高速撞击过程中地冲击传播的高分变率全过程观测仍是未来发展的方向；（4）超高速侵彻地冲击效应的数值模拟研究发现^{[13, 119]}，超高速成坑地冲击具有定向传播特性，同时由于弹靶界面移动速度接近应力波传播速度，其追赶前驱应力波会产生压力波形的叠加倍增效应，相关现象采用等效计算的方法难以准确描述，需要建立更加准确的计算模型。

4.   结论与展望

超高速武器是当今军事强国致力发展的下一代武器系统，近年来，国内外学者围绕超高速动能武器打击岩石的毁伤效应与工程防护问题进行了广泛而细致的研究，取得了丰富的研究成果。本文中围绕大速度范围内岩石介质的侵彻效应经验公式、侵彻理论模型、成坑效应和地冲击效应的研究成果进行综述，通过对相关文献的查阅分析，得到的主要结论和建议如下：

（1）大速度范围内杆形弹的侵彻效应具有明显的多阶段特征。随着撞击速度增加，弹体将经历从变形可忽略的阶段（仅有少量质量损失）向侵蚀阶段（即弹体长度严重缩短）的转变，靶体材料经历从固体侵彻、内摩擦拟流体侵彻项动力学侵彻行为的转变，侵彻深度经历“迅速增加—逆减—缓慢增加—趋于流体动力学极限”的过程，不同阶段的物理机理不同，在进行侵彻效应计算时需要考虑所采用的物理力学模型对不同弹靶状态的适用性问题。

（2）近年来围绕岩石和混凝土介质的侵彻深度计算问题开展了大量研究，建立了空腔膨胀、修正流体动力学、内摩擦流体弹塑性等理论模型，实现了对大速度范围内侵彻深度变化规律的描述。但相关研究仍或多或少存在表征不够精细的问题，一些参数的获取仍然具有明显的经验性，甚至存在一定争议，需要更进一步的深入宽广应变率范围内岩石的动态力学行为，尽可能的了解不同加载范围材料的实际性能。

（3）超高速侵彻过程下的成坑和地冲击效应不可忽视，但目前相关理论研究仍处于起步阶段，主要采用半理论半经验的计算公式，需要从超高速侵彻成坑、地冲击演化的三维效应和力学机制出发，构建更加完善、更加细致的演化模型。

（4）由于岩石的工程地质属性，其变形破坏具有显著的尺度效应，由于发射手段限制，目前超高速侵彻效应理论的研究缺乏大尺寸弹体的超高速侵彻实验验证，需要发展更为先进的试验设备和技术，针对不同弹靶材料开展大尺度、速度范围的室内相似模拟与原型试验，建立宽广尺度范围内弹体侵彻的相似规律。