Simplified model of elastic wave propagation in cylindrical shell chain under impact load and its analytical solution
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摘要: 柱壳链能引起波形的弥散，具备操控波形的潜力。建立了柱壳链结构的等效连续介质模型和细观有限元模型，研究了质量块冲击作用下柱壳链中的弹性应力波传播过程及其几何弥散特性。基于考虑横向惯性修正的Rayleigh-Love波动方程，建立了柱壳链在质量块冲击下的控制方程，采用Laplace变换及其逆变换获得了位移场、速度场和应变场的解析解，所得结果与细观有限元模拟结果较好吻合。结果表明，在冲击过程中应变和速度峰值均逐渐减小，应变峰值、振荡幅度和波形前沿宽度与泊松比和惯性半径相关，泊松比和惯性半径越大，应变峰值越小，应变分布振荡越剧烈，波形前沿宽度越宽。Abstract: Cylindrical shell chain can cause dispersion of waveform and has the potential to manipulate waveform. An equivalent continuum model and a mesoscopic finite element model of cylindrical shell chain structure were established, and the stress wave propagation process and its geometric dispersion characteristics in cylindrical shell chains under mass impact were studied. For the in-plane compression of a single cylindrical shell, the deformation in the out-of-plane direction is very small and the in-plane deformation perpendicular to the loading direction is relatively large. Thus, the out-of-plane Poisson’s ratio can be taken as 0, but the in-plane one cannot be ignored. For the simplification of analysis, the cylindrical shell chain is considered as a rod composed of anisotropic homogeneous continuum. Based on the Rayleigh-Love wave equation with the transverse inertia correction, the governing equation of elastic wave propagation in a cylindrical shell chain under mass impact was obtained and rewritten in a dimensionless form. The analytical solutions of displacement, velocity and strain fields were obtained by using Laplace transform and its inverse transform and expressed in the form of infinite series. A chain with 30 cylindrical shells was constructed numerically and its dynamic impact behavior was simulated with finite element code ABAQUS/Explicit. The theoretical predictions of mechanical responses are in good agreement with the results of mesoscopic finite element simulation. During the impact process, the peak values of strain and velocity decrease gradually. The peak strain, the oscillation amplitude of waveform and the width of waveform front are related to the in-plane Poisson's ratio and the radius of gyration of the cylindrical shell chain. The larger the in-plane Poisson's ratio and the radius of gyration of the cylindrical shell chain, the smaller the peak strain, the stronger the oscillation of the strain waveform and the wider the width of the waveform front.
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为提高桥梁的抗爆能力，重要桥梁工程结构和构件的抗爆性能亟待提高。关于桥梁的抗爆性能已有较多研究[1-2]。张宇等[3]在总结桥梁结构抗爆的基础上，认为起主要支撑作用的桥墩对爆炸冲击的敏感性较大。Suthar[4]通过对比地震作用与爆炸冲击作用下桥墩的破坏模式，发现桥墩在爆炸冲击作用下会发生局部破坏，但不会产生较大水平位移。Williams等[5]基于整体现浇桥墩的受爆实验，认为在桥墩抗爆性能中抗剪设计比抗弯设计更重要。在一些大型桥梁中，预制拼装桥墩已被一定程度地应用[6-7]。王震等[8]、Bu等[9]、Zhang等[10]对其地震作用和冲击荷载展开了理论分析、实验研究及数值模拟工作。但爆炸冲击不同于低速冲击和地震作用，其瞬时冲击会对桥墩造成巨大的剪切效应，且预制拼装桥墩由于墩身不连续而抗剪能力较弱，故有必要深入研究预制节段桥墩在爆炸作用下的响应及其抗爆性能。
本文中基于ANSYS/LS-DYNA建立圆形截面预制节段拼装桥墩的三维实体分离式模型，结合实验数据验证该三维分离式模型的准确性；在此基础上，讨论节段长细比、初始预应力水平和桥墩体系类型3种关键设计因素对圆形截面预制节段拼装桥墩的爆炸响应及损伤影响；通过对爆炸冲击作用下各预制拼装桥墩动态响应与损伤结果的对比分析，研究此类桥墩的抗爆性能及其关键影响因素，以期为今后预制装配式桥墩的抗爆设计与研究提供参考。
1. 有限元模型
1.1 模型介绍
基于Rutner等[11]对桥墩的调查，选取的桥墩结构原型如图1所示。有限元模型取桥墩的主要部分，如图2(a)所示。目前对节段拼装桥墩的抗爆试验还没有统一的尺寸标准，但根据美国太平洋地震工程研究中心（PEER）[12]的桥墩尺寸统计，抗震试验桥墩直径多为40～50 cm。本文中取墩高为3 m，圆形截面直径为0.5 m。按规范JTG D62—2004[13]对墩身进行配筋。纵筋采用10根
∅ 16 mm钢筋，截面配筋率1.02%，箍筋采用∅ 8 mm钢筋，箍筋间距10 cm，混凝土保护层厚度取4 cm。采用共节点法来假设钢筋和混凝土之间位移完全协调[14]，如图2(b)所示。不同炸药当量可换算为TNT炸药当量[15]，鉴于恐怖炸弹规模的推算[16]及本文研究重点，炸药当量拟取52 kg TNT，爆炸中心离墩身表面2 m。炸药高度按文献[1]对不同车型的汽车炸弹TNT当量及爆炸高度大致范围的统计结果，取爆炸中心离地面0.2 m。
混凝土、空气及炸药采用Solid164单元，钢筋采用Beam161单元。通过网格收敛性分析，对于桥墩节段，混凝土网格边长约为2.5 cm，钢筋网格边长3 cm，空气网格2.5 cm。采用ALE (arbitrary Lagrange-Euler) 算法实现流固耦合动态分析，空气四周设置为无边界反射条件。
模拟中，桥梁结构上部恒载考虑为墩身设计轴压的20%，在模拟过程中保持不变。在预制节段拼装桥墩中，对墩身施加预应力，一般设置初始预应力值使得初始轴压比为10%（即初始预应力水平为10%）。
为模拟节段拼装桥墩的边界条件，模型中采用简化的盖梁与基础，根据文献[17]对船撞击桥墩的模拟结果，在模拟中对基础施加固定边界。为防止节段间混凝土的相互渗透，节段间采用面面自动接触算法控制。根据文献[18]的建议，节段间静摩擦因数取1.0，动摩擦因数取0.8，指数衰减因数取0.5。
1.2 材料参数及破坏控制
正确选取材料的本构模型是模拟的关键。LS-DYNA对空气及TNT炸药提供了不同的材料，并与状态方程联用描述其压力-体积关系。空气和TNT炸药的材料模型、状态方程及主要参数见表1。
表 1 空气及TNT炸药材料模型及主要参数Table 1. Material model and main parameters of air and TNT explosive材料 材料定义 状态方程 主要参数 空气 *MAT_NULL *EOS_LINEAR_
POLYNOMINALρ0/(kg·m−3） C0~C3, C6 C4, C5 E0/(μJ·m−3) 1.3 0 0.4 2.5 TNT炸药 *MAT_HIGH_EXPLOSIVE_
BURN*EOS_JWL ρ0/(kg·m−3） D/(km·s−1) pCJ/GPa A/GPa B/GPa 1.654 6.93 21 371.2 3.231 注：ρ0为材料密度；E0为空气的单位体积初始内能；D为炸药爆速；pCJ为炸药爆压；C0～C6为状态方程系数；A、B为实验确定常数。 对于钢筋，考虑其应变率效应，采用*MAT_PLASTIC_KINEMATIC进行定义，应变率用Cowper-Symonds模型来考虑。材料参数见表2。
表 2 钢筋材料主要参数Table 2. Main material parameters of steelρ0/(kg·m−3) E/GPa ν σy/MPa ηN/GPa C P 7 850 200 0.2 550 2.1 40 5 注：E为弹性模型，ν为泊松比，σy为屈服强度，ηN为切线模量，C和P为Cowper-Symonds应变率参数。 *MAT_JOHNSON_HOLMQUIST_CONCRETE (HJC)材料模型被广泛用于大应变、高应变速率和高压下混凝土的模拟。预制节段拼装桥墩属于装配式混凝土结构，根据装配式混凝土结构技术规程[19]，桥墩材料取C50混凝土，参数见表3。
表 3 C50混凝土主要参数Table 3. Main parameters of C50 concreteρ0/(kg·m−3) G/GPa FC/MPa T/MPa pC/GPa εC 2.314 33.85 50 5 0.16 0.001 注：G为剪切模量，FC为准静态单轴抗压强度，T为抗拉强度，PC为破碎压力，εC为破碎体积应变。 为了准确控制混凝土的破坏对模拟结果的影响，在模型试算时，提取了迎爆面中心的混凝土应变率，约为200 s−1。根据2组经验公式[20-22]计算混凝土材料的动力增强系数。经计算对比，取抗压动力增强系数为2.2，抗拉动力增强系数为4，即考虑动力增强系数后混凝土极限抗压强度为110 MPa，混凝土极限抗拉强度为16 MPa。此计算值作为*MAT_ADD_EROSION控制混凝土的抗压与抗拉破坏的准则。另外，静力荷载下的典型混凝土极限拉应变为2×10−4（约为极限压应变的1/10），考虑到软化段、应变率的影响，同时防止计算中过多的单元删除，在破坏准则中设置最大主应变为0.02。
1.3 模拟工况
节段长细比（λ）、初始预应力水平和桥墩体系是影响预制节段拼装桥墩爆炸动态响应与损伤的重要因素，因此通过建立不同的有限元模型研究上述因素对其动态响应与损伤的影响。计算工况见表4。
表 4 计算工况Table 4. Calculation cases工况 墩身直径/m 节段长度/m λ 初始预应力水平 桥墩体系 1 0.5 3 6 10% S 2 0.5 1 2 10% S 3 0.5 0.75 1.5 10% S 4 0.5 0.5 1 10% S 5 0.4 0.75 1.875 10% S 6 0.6 0.75 1.25 10% S 7 0.5 0.75 1.5 5% S 8 0.5 0.75 1.5 15% S 9 0.5 0.5 1 5% S 10 0.5 0.5 1 15% S 11 0.5 0.75 M 12 0.5 0.75 10% H 注：S表示预制节段拼装桥墩，M表示整体现浇桥墩，H表示混合体系桥墩。 通过对比工况1~4研究节段长细比中节段高度的变化对结果的影响，通过对比工况3、5、6研究节段长细比中节段直径的变化对结果的影响；通过对比3、4、7~10研究不同初始预应力水平下的动态响应；通过对比工况3、11、12研究不同桥墩体系受爆下的损伤。
2. 模型验证
为了检验本文中模拟方法的准确性，采用相同模拟方法，选取文献[23]中U2B的实验结果进行比较，实验布置见图3。在验证模型中，混凝土柱尺寸和实验相同，见图4。混凝土柱采用纤维含量为2.5%的超高性能纤维增强混凝土（UHPFRC）。纵筋直径16 mm，箍筋直径8 mm。具体材料参数见文献[23]。炸药质量按实验配置采用17.5 kg，爆炸中心距混凝土柱表面1.5 m。在模拟中，混凝土柱一端采用固定约束，另一端不约束柱轴向。轴压为1 000 kN。
在没有初始预应力的条件下，得到了跨中位移时间曲线，如图5所示，柱中最大位移量为30.3 mm，与实验测试结果29.3 mm相差3.4%。破坏状态如图6所示。破坏状态在迎爆面略偏大，在背爆面出现轻微裂缝，破坏状态与实验结果基本一致。这说明本数值模拟是可靠的。
3. 结果分析及讨论
3.1 节段长细比的影响
对于不同高度的节段拼装桥墩，节段长细比λ（节段高度与其直径的比值）是影响节段拼装桥墩抗震破坏的重要因素。故本文中考虑爆炸冲击作用下节段长细比对节段拼装桥墩动态响应及损伤的影响。
对比工况1～4的模拟结果，各墩身底面位移时程曲线如图7所示。可以看出，在桥墩直径相同的情况下，随着节段长细比的减小，桥墩底面的位移逐渐减小。爆炸冲击结束时，桥墩整体位移曲线如图8所示。当1≤λ≤2时，随着节段高度减小，对应的节段间最大相对位移减小，分别为2.07、1.52、0.58 mm。桥墩整体及局部破坏如图9所示，当节段长细比λ=6时，墩身中出现剪切裂缝，表现为剪切破坏；当λ≤2时，墩身主要表现为节段间的相对位移及迎爆面的局部破坏。当λ=2变为λ=1时，局部破坏的面积减少；当λ=1时，底部节段上方接缝混凝土发生破坏，主要是底部节段的微小转角导致接缝混凝土的受压破坏和空气超压导致混凝土受压破坏。墩身由相对位移产生的耗能及底部节段相对位移产生耗能的占比如图10所示，长细比越小，节段越多，由相对位移产生的耗能越多。值得注意的是，当λ由1增加到1.5的过程中，相对位移产生的耗能并没有显著提升。
图 9 不同长细比桥墩的最终破坏及局部放大图Figure 9. Final damage of piers with different slender ratios and their partial
图 10 相对位移的耗能（Ec）曲线Figure 10. Energy consumption (Ec) curve of inter-segment displacement对比工况3、5、6，节段长度不变，节段直径分别为40、50、60 cm，桥墩的整体位移曲线见图8（b）。墩身破坏主要是节段间的相对位移及变形。当λ=1.875时，墩身最大侧移为13.1 mm。当λ=1.25时，墩身最大侧移为5.7 mm。说明当节段高度不变时，增加墩身直径、减小节段长细比可以提升预制节段拼装桥墩的抗爆性能。
综合分析工况1~6：一方面，节段直径不变时，节段长细比减小使墩身由剪切破坏变为节段间相对位移；另一方面，节段高度不变时，节段长细比减小能有效减小墩身的整体位移。说明减小节段长细比可以提升预制节段拼装桥墩的抗爆性能。
3.2 初始预应力水平的影响
在预应力无粘结节段拼装桥墩中，初始预应力一般取初始轴压比的10%。本文中进一步考虑了不同初始预应力水平对爆炸冲击的影响。在模拟中，对λ=1.5（4节段）和λ=1（6节段）两种桥墩分别施加5%、10%、15%的初始预应力。
距离52 kg TNT炸药中心2 m，距离桥墩底部0.2 m（迎爆面中心）的位移-时间曲线见图11。可以看出，随着初始预应力的增加，桥墩的侧移明显减小。对比工况3、7、8可知，4节段桥墩在5%、10%、15%初始预应力下的位移分别为5.5、4.4、3.4 mm，10%、15%初始预应力下的桥墩位移相比5%初始预应力水平侧移减小了20%、22.7%；对比工况4、9、10可知，6节段桥墩在5%、10%、15%初始预应力下的位移分别为5.2、4.0、3.3 mm，10%、15%初始预应力下的桥墩位移相比5%初始预应力水平侧移减小了24%、17.5%。模拟结束时，4节段和6节段桥墩的整体变形曲线如图12所示，可以看出：桥墩整体变形随初始预应力水平的增加而减小，并且节段间的相对位移主要集中在桥墩的下半段。这是因为，节段拼装桥墩产生侧移需要节段间的相对滑动，初始预应力的增加能增加节段间的摩擦力，提升耗能能力；而爆炸产生的冲击破坏是局部的，随着距离的增加，爆炸产生的能量迅速衰减，对远离爆炸中心的地方产生的影响较小。
图 11 迎爆面中心位移-时间曲线Figure 11. Time history of displacement in the center of blast surface
图 12 不同预应力水平时桥墩整体位移曲线Figure 12. Lateral displacement of piers with different initial post-tensioning level3.3 桥墩体系的影响
混合体系是将桥墩的底部节段与基础现浇，再与上部节段拼装的一类桥墩，如图13所示。对混合体系桥墩的抗震性能，已有一些研究[24]。但预制拼装桥墩、整体现浇桥墩及混合体系桥墩在相同爆炸冲击下的动态响应与损伤特性的研究比较有限。
本文中在截面形状、纵筋配筋率、混凝土强度以及爆炸冲击相同的条件下，分析不同桥墩体系对爆炸荷载的响应。另外，因为整体现浇桥墩一般不设置初始预应力，所以只对预制拼装桥墩和混合体系桥墩施加初始预应力，但保证构件恒载相同。
桥身距离底部75 cm处（接缝位置）的位移-时间曲线如图14所示。预制拼装桥墩由于底部节段的整体位移，使底部节段产生较大的滑移（6.4 mm）；而整体现浇桥墩由于墩身的整体弯曲，使该处位移较大（5.8 mm）；混合体系桥墩由于底部节段固结的特点，在该处位移最小（3.2 mm），相比预制拼装桥墩和整体现浇桥墩，位移分别减小了50%、44.8%。
模拟结束时，桥墩整体位移如图15所示，混合体系桥墩与节段拼装桥墩在上部的位移基本相同，节段部分并没有出现破坏，但是出现了节段间的相对位移。图16给出了不同体系桥墩的破坏情况，可以看出，混合桥墩体系的底部节段与基础连接处出现裂缝，与整体现浇桥墩的破坏相同，如图16所示，破坏主要是因为节段接缝处的摩擦和空气超压引起的剪力和弯矩。从总体上说，在爆炸冲击作用下，混合体系桥墩具有预制节段拼装桥墩及整体现浇桥墩的综合特点。
4. 结 论
采用ANSYS/LS-DYNA有限元软件，建立圆形截面预制节段拼装桥墩受爆的三维实体分离式模型。在验证模拟方法可靠的基础上，研究了圆形截面预制节段拼装桥墩在爆炸冲击作用下的动态响应和损伤。研究结果表明：（1）炸药为52 kg TNT，爆炸距离为2 m，爆炸高度为0.2 m，在节段直径不变的情况下，节段长细比λ=6时，预制墩身主要表现为剪切破坏；λ≤2时，底部节段响应表现为局部破坏，墩身响应主要表现为节段间相对位移；在节段高度不变的情况下，节段直径越大，节段最大水平位移越小，墩身整体侧移减小；综合比较表明节段长细比减小有利于提升节段拼装桥墩的抗爆性能；（2）增加初始预应力水平可以减小墩身的侧向位移，从而在一定程度上提高桥墩的抗爆性能；（3）混合体系桥墩在现浇部分表现出弯剪破坏，在节段部分表现出节段间相对位移，总体兼具完全节段桥墩与整体现浇桥墩的破坏特点。
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图 2 不同时刻柱壳链中的应力云图
Figure 2. Von Mises stress distributions in the cylindrical shell chain at different times
图 3 名义应力应变曲线和等效泊松比
Figure 3. Nominal stress-strain curves and equivalent Poissons ratios
图 4 冲击端的位移、冲击端和支撑端的载荷
Figure 4. Displacements at the support end, forces at the impact and support ends
图 5 不同时刻杆中的应变和速度分布
Figure 5. Strain and velocity distributions in rod at different times
图 6 不同冲击速度下杆中的应变分布
Figure 6. Strain distributions in rod under different impact velocities
图 7 不同壁厚时杆中的应变分布
Figure 7. Strain distributions in rod with different wall thicknesses
图 8 泊松比和惯性半径对应变分布的影响
Figure 8. Influences of Poisson’s ratio and inertia radius on strain distributions
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