弹性楔形体入水砰击载荷及结构响应的理论计算与数值模拟研究

王一雯; 郑成; 吴卫国

doi:10.11883/bzycj-2020-0276

摘要: 针对弹性楔形体砰击载荷及结构响应问题，采用理论解析计算方法以及任意拉格朗日-欧拉(arbitrary Lagrangian-Eulerian, ALE)流固耦合数值计算方法开展研究。分别分析不同边界条件、入水速度、板厚以及斜升角对弹性结构所受砰击力及结构响应的影响及变化规律，并探讨砰击载荷时间历程和物面分布特性。结果表明，通过增大斜升角可有效降低弹性楔形体砰击载荷和结构响应，斜升角自10°增大至30°，无量纲砰击力峰值减小至6.9%，结构变形极值减小至6.5%。可通过水弹性因数

${ {R_{\text{F}}} = {C_{\text{B}}}\tan \beta \sqrt {EI/(\rho {L^3})} /v }$ 评估板厚、入水速度、斜升角以及边界条件对砰击载荷作用下结构水弹性效应的影响，在水弹性因数R_F＞1.71时，可采用理论解析方法高效高精度预报砰击载荷作用下弹性楔形体结构变形响应。

关键词:

Abstract: The slamming load and structural response of flexible wedges were investigated by both analytical methods and numerical simulations based on the ALE (arbitrary Lagrangian-Eulerian) coupled method. The cases with various boundary conditions, impact velocities, thicknesses and deadrise angles were simulated and the corresponding slamming loads and the structural responses were discussed as well. The slamming load and the structural response are susceptible to the variation of the deadrise angle. To increase the deadrise angles is an effective way to ensure the structural strength concerning about the impact load. With the increase of the deadrise angle from 10º to 30º, the dimensionless slamming load decreased to 6.9% and the structural response decreased to 6.5%. The hydroelastic effects of the response of the flexible structure under slamming load can be evaluated by the factor

${ {R_{\text{F}}} = {C_{\text{B}}}\tan \beta \sqrt {EI/(\rho {L^3})} /v }$ which combining with boundary condition, deadrise angle and rigidity of the structure. If the R_F＞1.71, the hydroelastic analytical method is an efficient and effective way to evaluate the response of the flexible structure under slamming load.

Key words:

结构物入水砰击问题在船艏艉入水、多体船湿甲板砰击、空投鱼雷入水、水上飞机降落、救生艇抛落等情况下广泛存在，针对入水砰击问题的研究对船舶以及航空航天等领域具有重要的工程意义。在船舶、海洋平台以及相关航空结构物的设计中，对砰击载荷及其结构响应进行合理可靠的评估是极为重要的。由于砰击载荷的瞬态特性以及较高的幅值特性，对于较小斜升角的薄板结构以及复合材料夹层结构需考虑砰击载荷对弹性结构的水弹性效应，结构变形使相对砰击速度降低并且影响流场特性。而在准静态结构入水砰击载荷及其结构响应的研究中，采用解耦的方法进行计算，在对刚体结构砰击载荷计算的基础上，将砰击载荷加载到弹性结构体以求解结构响应。与准静态结构入水砰击载荷及结构响应计算方法相比，水弹性方法可考虑结构弹性效应与砰击载荷的耦合作用，并可直接预报弹性结构入水砰击过程的结构响应。

弹性结构物入水砰击问题的水弹性分析方法可分为基于砰击载荷模型的解析方法和基于计算流体力学的流固耦合数值模拟方法。Kvalsvold等^[1]和Faltinsen等^[2]在双体船的湿甲板砰击问题中率先针对弹性加筋板的砰击载荷及结构响应进行理论和试验研究，将Wagner入水理论推广到楔形体左右为正交异性板的入水砰击情况，分别分析斜升角与入水速度对砰击载荷及结构响应的影响。Khabakhpasheva等^[3]将欧拉梁模型与Wagner模型进行流固耦合，并提出弹性楔形体的理论分析方法，分别针对简支与线弹簧相连的边界条件进行讨论。Shams等^[4]将Wagner模型推广至不同边界条件情况，采用混合边界值法计及结构变形的影响。Lu等^[5]基于线性化离散的Bernoulli方程，通过对有限元法和边界元法进行流固耦合，求解弹性楔形体结构响应的水弹性效应。Stenius等^[6]采用任意拉格朗日-欧拉(arbitrary Lagrangian-Eulerian, ALE)流固耦合算法开展入水砰击流固耦合计算，对弹性楔形体入水砰击载荷及结构响应进行讨论，分析不同斜升角、边界条件以及入水速度的影响，并与准静态计算结果进行对比。Panciroli等^[7-8]针对弹性楔形体结构进行了水弹性落体砰击模型实验，并通过高速摄像技术捕捉入水过程中弹性结构及自由液面的变形，采用粒子图像测试技术捕捉自由液面及流场的运动；除此之外，对0°～50°斜升角的铝板及玻璃纤维弹性楔形板在不同入水速度下的结构应变进行测试，并与有限元-无网格光滑粒子流固耦合方法进行对比；发现在结构完全浸入液面时间小于自身固有周期时长的情况下水弹性效应较显著。由于复合材料具有较好的抗冲击性，被广泛运用到高性能船舶、多体船以及舰船中，金属夹层板作为非传统结构形式，其砰击载荷特性及结构响应近年来也得到研究者们的关注。Hassoon等^[9-11]针对不同厚度的乙烯基编织玻璃纤维层合板以及玻璃纤维/乙烯基面板与聚氯乙烯泡沫夹层板的10°楔形体模型，对其匀速入水过程中的砰击载荷及结构响应开展了实验研究，并且采用无网格光滑粒子数值模拟方法和Abaqus中的欧拉-拉格朗日耦合算法进行了数值计算和对比分析，讨论了复合材料材料特性、结构刚度、入水速度以及不同边界条件对砰击载荷及其结构动态变形响应的影响以及不同的损伤模式，并建立了复合材料连续损伤模型，包括层合板Hashine失效准则以及夹层板的Christensen失效准则。综合以上分析可知，基于计算流体力学的流固耦合数值模拟方法需对模型进行精细化处理，合理选取参数，并且求解耗时较长；而基于砰击载荷模型解析计算方法可高效求解，在结构方案优化阶段具有明显优势。

本文中，分别采用ALE流固耦合数值模拟方法和理论模型解析方法对弹性楔形体结构的砰击载荷及其结构响应开展计算并对比分析，实现弹性楔形体结构入水砰击过程结构响应的快速预报；与刚体结构进行对比，分析水弹性对砰击载荷作用下结构响应特性的影响；与Lu等^[5]所开展的边界元计算结果进行对比，验证本文中所提出的弹性结构砰击载荷及结构响应预报方法的高精度和可靠性。

1. 二维弹性楔形体砰击载荷和结构响应的理论计算方法

船底结构由船底板、龙骨、纵骨、纵桁以及实肋板等组成，针对等厚度以及有限宽度梁结构而言，其结构沿横向方向可简化为楔形体结构，该结构入水砰击过程可简化为楔形体砰击静水面的水动力冲击问题。在二维不可压缩理想流体域内，对称弹性楔形体以匀速 $v$ 垂直进入静水面，楔形体和流场均关于Oz轴对称，如图1所示，图中 $\beta$ 为楔形体斜升角，L为楔形体物面长度，b为楔形体板厚，c(t)为浸湿半宽，t为时间。

图 1 弹性楔形体砰击载荷及结构响应示意图

Figure 1. Schematics of slamming load and structural response of a flexible wedge

下载: 全尺寸图片幻灯片

由于二维弹性楔形体结构形式及入水运动过程均关于Oz轴对称，可针对其一半结构模型及流体域进行分析，楔形体结构可简化为欧拉梁，在不计及剪切和转动惯量的情况下，其自由振动方程为：

$EI(x')\frac{{{\partial ^4}w}}{{\partial {{x'}^4}}} + m(x')\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {t^2}}} = p(x',w,t)$

(1)

式中：E为弹性模量，I为剖面惯性矩，m为长度质量，w为梁的挠度，t为时间，x′为梁局部纵向坐标，p(x′,w,t)为梁局部纵向坐标x′处的局部水动力压力。

基于模态叠加法，可通过前n阶的主坐标a_n求得梁扰度w(x′,t)为^[3]：

$w(x',t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{\omega _n}}}\displaystyle\int_0^t {\frac{{\displaystyle\int_0^L {p(x',w,\tau ){\psi _n}(x'){\text{d}}x'} }}{{m(x')\displaystyle\int_0^L {\psi _n^2(x'){\text{d}}x'} }}} {\psi _n}(x')\sin [{\omega _n}(t - \tau )]{\text{d}}\tau }$

(2)

式中： ${\omega _n}$ 和 ${\psi _n}$ 分别为第 $n$ 个模态下的固有频率和特征函数， $\tau$ 为时间。

在弹性楔形体入水砰击过程中，根据MLM (modified Logvinovich model)、GWM (generalized Wagner model)和OLM (original Logvinovich model)砰击载荷模型解析解^[12]，可知沿楔形体物面各处的砰击载荷可表示为：

${p_{{\text{MLM}}}}(x,t) = \frac{1}{2}\rho {\dot h^2}(t)\left[ {\frac{{\text{π}}}{{\tan \beta }}\frac{c^2}{{{{({c^2} - {x^2})}^{1/2}}}} - {{\cos }^2}\beta \frac{c^2}{{({c^2} - {x^2})}} - {{\sin }^2}\beta } \right]$

(3)

${p_{{\text{GWM}}}}(x,t) = \frac{1}{2}\rho {\dot h^2}(t)\left[ {\frac{{\text{π}}}{{\tan \beta }}\frac{c^2}{{{{({c^2} - {x^2})}^{1/2}}}} - {{\cos }^2}\beta \frac{c^2}{{({c^2} - {x^2})}} - {{\sin }^2}\beta + 2 - {\text{π}}} \right]$

(4)

${p_{{\text{OLM}}}}(x,t) = \frac{1}{2}\rho {\dot h^2}(t)\left[ {\frac{{\text{π}}}{{\tan \beta }}\frac{c^2}{{{{({c^2} - {x^2})}^{1/2}}}} - \frac{{{c^2}}}{{({c^2} - {x^2})}}} \right]$

(5)

式中： $c(t) = \dfrac{{{\text{π}}vt}}{{2\tan \beta }}$ ， $x = x'\cos \beta$ ，ρ为流体密度，h为结构物浸入液面深度。

针对上述不同砰击载荷模型进行对比分析，分别基于MLM、GWM和OLM砰击载荷模型对弹性楔形体结构响应开展研究，探讨基于不同模型的理论解析解对结构变形的影响。长L=0.4 m、板厚b=8 mm的弹性楔形体采用船体钢材，其密度为7 850 kg/m³，弹性模量为210 GPa，泊松比为0.3；同时水的密度为1 000 kg/m³。入水过程中忽略流体表面张力及重力的影响，同时流体为无旋无黏的不可压缩理想流体，并且流场域为无限水深，起始时刻流体为静止自由状态。在1 m/s入水速度下，对不同斜升角的弹性楔形体采用不同理论模型，所得x′=0.5L处的结构变形w时间历程结果如图2所示。

图 2 采用不同模型得到的板厚为8mm、以 1 m/s的速度垂直入水的弹性楔形体

$x' = 0.5L$ 处结构变形的时间历程

Figure 2. Time series of the structural response at

$x' = 0.5L$ of the flexible wedges with different deadrise angles and the plate thickness of 8 mm at the vertical water-entry velocity of 1 m/s calculated by different models

下载: 全尺寸图片幻灯片

从图2可看出：不同斜升角下，这3种模型的计算结果具有相同的变化趋势；在结构入水阶段，3种模型的计算结果较接近，而随着结构入水运动过程中射流的分离，其偏差增大。在x′=0.5L处结构变形时间历程结果中，基于MLM模型的理论计算结果均最大，而基于GWM模型的理论计算结果则最小。在10°的斜升角下，三者的偏差较小；而随着斜升角的增大，三者间的偏差显著增大。在45°斜升角楔形体中，基于GWM模型计算的结构变形极值均远小于其他两种模型的计算结果，主要是由于GWM模型中将飞溅高度线性化处理所致的，并且偏差也随着斜升角的增大而增大。可见，GWM模型并不适用于较大斜升角的弹性结构砰击载荷分析。而OLM模型中忽略了结构物面斜升角高阶项的影响，在物面射流根部附近的砰击压力峰值显著低于MLM模型结果，因此在大斜升角情况下低估了结构变形。综合分析可知，在砰击载荷作用下的弹性结构变形分析中，MLM模型可适用于分析斜升角范围较大的弹性楔形体入水砰击过程。

10°斜升角弹性楔形体在t=20, 40 ms时沿物面的结构变形分布情况如图3所示。由图3可见，基于MLM、GWM以及OLM模型的理论解析解中结构变形分布总体变化趋势一致，但是GWM整体量值偏低，与图2中所得结果一致。而随着结构入水继续深入自t=20 ms至t=40 ms时刻，其结构变形最大值所处位置则从x′/L=0.46处移至x′/L=0.50处，即结构变形最大值所处位置随结构入水深入而上移。结合图2可知，当t=40 ms时结构变形升至其极值并且位于结构x′/L=0.50处，因此需对结构中点x′/L=0.50处的结构变形极值进行对比。

图 3 t=20, 40 ms时沿弹性楔形体物面的结构变形分布（

$\ \beta$ =10°, b=8 mm）

Figure 3. Response distribution along the wedge structure at t=20, 40 ms (

$\ \beta$ =10°, b=8 mm)

下载: 全尺寸图片幻灯片

综合分析可知，在砰击载荷作用下的弹性楔形体结构响应分析中，MLM砰击载荷模型适用斜升角范围较大。本文后续将采用基于MLM砰击载荷模型的弹性结构理论计算方法进行分析，并与ALE流固耦合模拟方法进行对比。

2. 弹性楔形体的砰击载荷

通过LS-DYNA软件采用任意拉格朗日-欧拉流固耦合模拟方法对二维弹性楔形体结构入水砰击过程进行研究，讨论模型精细化程度对砰击载荷的影响。并且分别对不同斜升角、板厚以及边界条件的弹性楔形体结构在不同入水速度砰击静水面的情况开展数值模拟，以探究结构水弹性效应对砰击载荷及结构响应特性的影响。

2.1 任意拉格朗日-欧拉耦合算法及计算模型

由于结构物砰击入水过程中伴随着流体大变形以及大位移等特点，任意拉格朗日-欧拉耦合（ALE）算法兼具了Lagrange算法和Euler算法的优势，可在计算网格不发生畸变的情况下，通过网格重映射数值处理方法实现Lagrange算法和Euler算法相互结合，能够有效追踪物质结构的边界并可对自由边界和运动边界进行求解，合理准确模拟结构物入水砰击问题。

任意拉格朗日-欧拉流固耦合模拟方法中：弹性楔形体结构单元为拉格朗日弹性单元，通过关键字*MAT_ELASTIC描述；空气域和水域则采用多物质欧拉单元，采用关键字*MAT_NULL描述；空气域采用线性多项式状态方程描述，水域则适用于Grüneisen状态方程描述。线性多项式状态方程中气体满足 γ 定律状态方程，其压力值 p 与体积的关系为：

$p = {C_0} + {C_1}\mu + {C_2}{\mu ^2} + {C_3}{\mu ^3} + ({C_4} + {C_5}\mu + {C_6}{\mu ^2}){E_0}$

(6)

式中：C₀、C₁、C₂、C₃、C₄、C₅和C₆为常数；C₄=C₅=γ−1；γ为比热比；μ=1/V−1，V为相对体积；E₀为初始体积内能。

压缩状态下的Grüneisen状态方程可通过冲击速度定义为：

$p = \dfrac{{{\rho _0}{c^2}\mu \left[1 + \left( {1 - \dfrac{{{\gamma _0}}}{2}} \right) - \dfrac{a}{2}{\mu ^2}\right]}}{{{{\left[ {1 - ({S_1} - 1)\mu - {S_2}\dfrac{{{\mu ^2}}}{{\mu + 1}} - {S_3}\dfrac{{{\mu ^3}}}{{{{(\mu + 1)}^2}}}} \right]}^2}}} + \left( {{\gamma _0} + a\mu } \right){E_0}$

(7)

式中：ρ₀为流体密度；S₁、S₂和S₃为 ${v_{\text{s}}}{\text{-}}{v_{\text{p}}}$ 曲线斜率的相关参数， ${v_{\text{s}}}$ 为冲击波速度， ${v_{\text{p}}}$ 为质点速度；c为 ${v_{\text{s}}}{\text{-}}{v_{\text{p}}}$ 曲线截距； ${\gamma _0}$ 为Grüneisen参数；a为一阶体积修正因数。

针对本文中所述的空气域和水域的状态方程，参数见表1。

表 1 空气域及水域状态方程参数

Table 1. Parameters for equations of state of air and water

材料	ρ₀/（kg·m⁻³）	c/（m·s⁻¹）	C₄	C₅	S₁	S₂
空气	1.2	340	0.4	0.4
水	1 000	1 480			1.92	−0.096

下载: 导出CSV

| 显示表格

通过任意拉格朗日-欧拉算法和罚函数约束算法进行流固耦合，流体边界处理为无反射边界条件以实现无界流域来消除边界的影响。在入水砰击主要作用区域内采用密集均匀网格，在较远区域内采用渐变型网格，如图4所示，可在保障计算精度的基础上缩短计算时间及降低计算成本。水域和空气域的密集区域分别为L₄×L₆=0.4 m×0.6 m和L₃×L₆=0.2 m×0.6 m，整个水域和空气域模型尺寸分别为L₅×L₂=1.35 m×0.9 m和L₅×L₁=1.35 m×0.4 m。约束楔形体结构的z轴方向位移，使其仅于xOy平面内二维运动。在对称面yOz平面处建立对称边界条件，则仅可建立一半结构模型及流体域，可显著缩短计算时间及降低计算成本。

图 4 砰击入水计算模型

Figure 4. The water-entry impact computation model with mesh generation

下载: 全尺寸图片幻灯片

2.2 网格验证

由于砰击入水这类强非线性流固耦合问题的计算受模型精细化程度的影响极大，精细网格模型的计算精度较高但计算量过大从而影响计算效率，而网格尺寸过大的模型不仅不能模拟流体溅射以及自由液面变化的非线性过程，而且其计算精度显著降低。因此，在结构物入水砰击模拟研究中，确定合理的网格尺寸是保障数值模拟结果可靠、有效及高精度的前提。

针对长L=0.4 m的弹性楔形体进行砰击入水流固耦合数值模拟分析，分别对网格尺寸为4、2、1 mm的10°弹性楔形体剖面进行数值计算并开展参数分析。不同网格尺寸模型的详细信息如表2所示，对比了其单元数量以及计算时长，3个模型中的时间步长均采用50 μs。同时其弹性结构所受的无量纲砰击力 ${C_F} = F/ {(0.5\rho {v^2}L\sin \beta )}$ 如图5所示，其中F为结构所受的长度砰击力，横坐标 ${{vt} /{(L\sin \beta )}}$ 为无量纲时间。由图5可见：当模型网格尺寸为4 mm时，入水初始阶段存在高频振荡；而网格尺寸分别为1 mm及2 mm时，其砰击压力时间历程较接近，呈较好的一致性，射流与物面分离后其剖面所受的砰击力则迅速下降；当模型尺寸为1 mm时，相较于2 mm网格尺寸，其模拟耗时显著增长至11.69倍。可见，当网格尺寸为2 mm时，可在保障计算精度的前提下显著提高计算效率。因此，后续研究中均选用网格尺寸为2 mm。

表 2 不同网格尺寸模型信息

Table 2. Three models with different mesh sizes

网格尺寸/mm	结构单元数量	流体单元数量	计算时长/min
4	100	24 000	57
2	200	55 800	440
1	400	223 500	5 142

下载: 导出CSV

| 显示表格

图 5 不同网格尺寸的楔形体模型所受结构砰击力

Figure 5. Comparison of slamming forces of wedge models with different mesh sizes

下载: 全尺寸图片幻灯片

2.3 结构砰击力

弹性结构物入水砰击过程相较于刚体入水情况更复杂，还需要考虑结构物不同边界条件的影响。分别对两端简支和两端固支边界条件进行分析，探讨边界条件对结构砰击力的影响。10°斜升角的弹性楔形体以2、4、6、8 m/s速度的砰击入水情况中，刚性楔形体和不同边界条件的弹性楔形体所受砰击力时间历程如图6所示。图6中c与s分别表示两端固支以及两端简支边界条件。

图 6 刚性和弹性楔形体所受到的无量纲砰击力 (β=10°)

Figure 6. Dimensionless slamming forces on rigid and elastic wedges with β=10°

下载: 全尺寸图片幻灯片

可见，在入水初期，刚性楔形体和弹性楔形体所受砰击力均成线性增大且较接近；而在入水砰击中期，弹性体结构所受砰击力相较刚性体而言显著偏低，并且随着入水速度的升高，两者间的差距随之增大。而在射流分离后砰击力均达峰值后则迅速降低，弹性体的砰击压力峰值以及增长速率均高于刚性体的并且时间滞后，随着入水速度的升高，弹性体所受结构砰击力峰值明显高于刚性体结构。可见，此时结构弹性变形效应对流场已产生显著影响。两种不同边界条件下的弹性楔形体结构砰击力变化趋势总体相同，在较低入水速度下两者间差异较小并不显著。可见，相较于结构边界条件而言，结构砰击力对入水速度的敏感程度更高。

针对30°斜升角的刚性体和弹性体在不同入水速度下结构所受砰击力进行分析，并与10°斜升角楔形体的无量纲砰击力结果进行对比，探究斜升角对弹性结构所受砰击力的影响。不同入水速度下30°斜升角刚性以及弹性楔形体结构所受到的砰击力如图7所示。与10°斜升角的楔形体结构砰击力变化趋势相同的是，在较高入水速度作用下，弹性体结构所受的砰击力峰值均大于刚性体结构所受的，随着入水速度自2 m/s升高至8 m/s，两种结构所受砰击力峰值的差值自2.4%增大至10.9%。但30°斜升角楔形体结构所受砰击力均大幅降低，并且刚性楔形体结构的砰击载荷曲线与弹性楔形体结构的砰击载荷曲线更接近，且在低速入水砰击过程中刚性体与弹性体间的砰击力差异较小。直至入水速度升高6 m/s时，弹性体所受到的砰击压力峰值明显高于刚性体所受到的砰击力峰值。但相较于10°斜升角楔形体结构，刚体与弹性体结构所受到的砰击力峰值差值从134%缩小至110.9%。两端简支弹性楔形体在6 m/s入水速度下的无量纲砰击力峰值自0.85降至0.059。可见，相较于入水速度以及边界条件，弹性体结构所受砰击力受物面斜升角的影响更显著。

图 7 刚性和弹性楔形体所受到的无量纲砰击力 (β=30°)

Figure 7. Dimensionless slamming forces on rigid and elastic wedges with β=30°

下载: 全尺寸图片幻灯片

2.4 砰击压力及自由液面

10°及30°斜升角的弹性楔形体入水过程中自由液面变化以及流场压力分布如图8～9所示。可见，在入水砰击初期阶段，射流沿物面溅射，弹性楔形体所受砰击压力峰值集中于射流根部，物面底部区域附近所受砰击压力则显著降低。相较于30°斜升角，10°斜升角楔形体的砰击压力分布则更为集中于射流根部且幅值更高。随着结构物完全入水后，溅射射流与物面分离而后溅起水花回落至自由液面，物面所受砰击压力则迅速降低。相较于30°斜升角楔形体，10°斜升角楔形体底部区域所受砰击压力则显著高于顶部区域。

图 8 10°斜升角弹性楔形体入水过程中自由液面变化及流场压力分布(v=8 m/s)

Figure 8. Fluid evolution and pressure distribution during the process of the elastic wedge with β=10° entering the water (v=8 m/s)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 9 30°斜升角弹性楔形体入水过程中自由液面变化及流场压力分布(v=8 m/s)

Figure 9. Fluid evolution and pressure distribution during the process of the elastic wedge with β=30° entering the water (v=8 m/s)

下载: 全尺寸图片幻灯片

10°弹性楔形体入水过程中，t=4 ms时刻浸湿液面位于结构物面中部并未升至物面边界，而当t=8 ms时刻楔形体结构完全入水。由图8可见，入水砰击过程中结构的弹性变形影响整个流域内的压力分布及自由液面形态，从而增大了结构物所受的砰击力峰值及延长了各处的砰击压力作用时间，结构弹性变形的影响使得楔形体底部局部斜升角增大，而楔形体顶端局部斜升角则减小。而在30°斜升角的弹性楔形体结构入水过程中，由于斜升角的增大其结构所受砰击力显著降低，无量纲砰击力峰值自0.850降至0.059，从而使得结构变形响应明显降低。由于斜升角的增大对其结构弹性变形、流场压力分布以及自由液面均有较大影响，针对物面不同位置处的砰击压力时间历程开展对比分析，对物面L/4、L/2、3L/4以及L处（分别记为点1、点2、点3及点4）的砰击压力时间历程对比如图10～11所示，图中纵坐标C_p=p/(0.5ρv²)为无量纲砰击压力，横坐标为无量纲时间。

图 10 刚性和弹性楔形体点1～4处的无量纲砰击压力-时间历程(β=10°，v=6 m/s)

Figure 10. Dimensionless slamming pressure-time history curves at points 1−4 of the rigid and elastic wedges (β=10°, v=6 m/s)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 11 刚性和弹性楔形体点1～4处的无量纲砰击压力时间历程(

$\beta$ =30°，v=6 m/s)

Figure 11. Dimensionless slamming pressure-time history curves at points 1−4 of the rigid and elastic wedges (

$\beta$ =30°, v=6 m/s)

下载: 全尺寸图片幻灯片

与刚性楔形体结构相比，砰击压力起始作用时间、砰击压力峰值以及变化趋势受结构弹性效应影响较大。弹性结构由于结构变形的影响自由液面抬高速度较慢，使砰击压力起始时间滞后于刚性体。相较于两端固支边界条件的弹性楔形体，两端简支边界条件的弹性体楔形体遭遇砰击压力的起始时间稍许滞后。相对于其他位置而言，P1点处两者时滞相差则较小，这是由于在入水砰击初期，在较短时间内砰击压力作用下结构变形对流场的影响有限。而随着结构入水深入，结构水弹性效应对结构物上部区域处的砰击压力影响则加剧。

而对于刚性体结构，砰击压力峰值均处于遭遇砰击载荷的起始阶段，物面各点砰击压力均在遭遇流体冲击瞬时达到峰值，靠近物面顶端砰击压力衰减较快。然而对于弹性体的点1及点2处，砰击压力虽在遭遇砰击载荷瞬时到达峰值，但其砰击载荷并未随着结构物入水过程而衰减，并在入水的中后期出现次峰值，该两点处固支边界条件结构的C_p分别为34.5和35.4，分别在 $vt/(L\sin \beta )$ 为0.79和0.75下达到次峰值30.5和30.8，分别占主峰值的89.2%和87.0%。而简支边界条件结构的无量纲砰击压力峰值分别为38.8和43.0，分别在 $vt/(L\sin \beta )$ 为0.78和0.70下达到次峰值30.3和30.6，分别占主峰值的78.1%和71.2%。除此之外，简支边界条件的砰击载荷峰值均稍大于固支边界条件，并且峰值时刻均滞后于固支边界条件。相对于刚体结构的砰击载荷峰值而言，点1处两弹性体模型均偏小且分别为刚性体的73.3%和82.4%。而点4处两弹性体模型的砰击压力峰值则均大于刚性体且分别为刚性体的112.2%和114.1%。可见，水弹性效应和结构边界条件对砰击压力峰值及其沿物面分布情况均产生显著影响，且结构边界条件的影响更大。在靠近结构底端的点1处，由于弹性结构变形的影响使局部斜升角变大，因此弹性结构所受砰击压力峰值较刚体结构有所降低且存在明显的次峰值现象。而在靠近结构顶端的点2处，由于弹性结构变形的影响使得局部斜升角变小，因此弹性结构所受砰击压力峰值较刚体结构显著增大。

与10°斜升角结果对比可知，30°斜升角的刚性体与弹性体的砰击压力时域曲线的变化趋势较接近。相较于刚形体而言，弹性体物面点3及点4处的砰击压力峰值均偏大。相较于两端固支边界条件而言，两端简支边界条件下点3及点4处的砰击压力峰值均偏大。值得注意的是，楔形体物面中点（点2）处，由于弹性体结构变形的影响，遭遇的砰击压力峰值持续时间则远长于刚性体，直至楔形体入水砰击后期迅速衰减。

3. 砰击载荷作用下弹性楔形体的结构响应

对瞬态砰击载荷作用下不同板厚、入水速度、斜升角以及边界条件的弹性楔形体的结构响应特性开展分析，可通过水弹性因数 ${R_{\text{F}}} = {C_{\text{B}}}\tan \beta \sqrt {EI/(\rho {L^3})} /v$ 评估楔形体剖面入水砰击过程的水弹性效应，式中C_B为边界条件因数。采用基于ALE流固耦合的模拟方法对弹性楔形体在砰击载荷下的结构变形进行分析，并分别与本文中提出的理论计算方法及Lu等^[5]所采用的BEM (boundary element method)数值模拟结果进行对比，探究砰击载荷对结构弹性变形的影响，并且验证本文理论计算方法的有效性、可靠性和适用性。

3.1 板厚的影响

不同板厚的30°斜升角弹性楔形体物面中心点处的结构变形如图12所示，不同斜升角和板厚的弹性楔形体结构响应峰值见表3。不同板厚的结构变形时间历程变化趋势近似，在砰击入水初期理论解析解稍高于ALE水弹性模拟结果以及BEM计算结果，随着板厚的增大，不同模拟结果间的差异随之减小，且BEM模拟计算时间历程曲线的局部振动频率也随之升高。射流分离后由于结构所受砰击力削弱，结构变形在砰击力升至峰值后则迅速回落。板厚由11 mm分别减至8 mm和5 mm后，ALE水弹性模拟计算中结构变形极值则分别由39 μm激增至100 μm和420 μm，板厚分别减至73%和45%后导致其结构响应极值增大至2.57倍和12.13倍。板厚b=5 mm的弹性楔形体结构变形时间历程结果中，理论解析解与ALE水弹性数值计算结果初始阶段吻合较好。砰击入水初期理论解析解稍偏大于ALE水弹性模拟解，但在入水砰击中后期理论解析解极值则偏小，主要是由于理论解析解中对基于MLM砰击载荷速度势高阶项的简化导致的。而BEM模拟计算结果则均偏小，其偏差主要源于结构水弹性效应及砰击载荷的差异。随着板厚的增大，结构变形的理论解析解在射流分离之前均偏大于其他模拟方法的计算结果，但其结构变形极值与ALE水弹性模拟结果则吻合较好。尽管不同板厚的弹性结构所受砰击力较接近，但板厚的削弱对局部结构的安全较不利，在抗砰击结构设计中需结合轻量化以及安全性的考虑，综合分析砰击载荷幅值以及结构局部响应水平。

图 12 不同板厚的楔形体x′ =0.5L处的结构变形 (β=30°)

Figure 12. Structural responses at x′=0.5L of the wedges with different thicknesses (β=30°)

下载: 全尺寸图片幻灯片

表 3 两端简支的不同板厚的弹性楔形体

$x' = 0.5L$ 处的结构变形峰值

Table 3. The maximum structural responses at

$x' = 0.5L$ of the supported wedges with different plate thickesses

b/mm	w_max/mm
	理论解析解			ALE			BEM^[5]
	β=10°	β=30°	β=45°	β=10°	β=30°	β=45°	β=30°	β=45°
5	6.970	0.420	0.200	4.320	0.410	0.210	0.380	0.150
8	1.710	0.100	0.049	1.530	0.100	0.051	0.095	0.035
11	0.660	0.039	0.019	0.590	0.400	0.020	0.036	0.015

下载: 导出CSV

| 显示表格

3.2 斜升角的影响

采用ALE流固耦合数值模拟和理论计算方法分别对10°和45°斜升角的弹性楔形体结构进行研究，并与上节中30°斜升角的结构变形分析结果进行对比，探究不同斜升角对砰击载荷作用下的结构动态响应的影响。10°和45°斜升角弹性楔形体以2 m/s匀速入水过程中，在砰击载荷作用下的结构动态响应如图13～14所示。

图 13 不同板厚的楔形体x′=0.5L处的结构变形(β=10°)

Figure 13. Structural responses at x′=0.5L of the wedges with different plate thickness (β=10°)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 14 不同板厚的楔形体x′=0.5L处的结构变形(β=45°)

Figure 14. Structural responses at x′=0.5L of the wedges with different plate thicknesses (β=45°)

下载: 全尺寸图片幻灯片

在10°及30°斜升角结果中各种研究方法得到结果较一致，随着斜升角增大至45°后理论解析结果与其他两种数值方法间差异较显著，结构变形曲线增长速率增大，但结构变形极值与ALE流固耦合模拟结果吻合较好，其偏差主要是由于MLM模型中并未考虑斜升角的高阶项，非线性程度有限。而Lu等^[5]的BEM方法模拟结果仅针对入水砰击初期，并未对结构完全入水的中后期阶段结构变形进行分析，其分析结果与ALE流固耦合数值模拟结果较接近。8 mm板厚的弹性楔形体斜升角自10°分别增大至30°和45°后，其结构变形极值显著减小至6.5%和3.3%，而10°斜升角楔形体的板厚自8 mm增大至11 mm后，结构变形极值仅减小了61.7%。对比分析可知，结构动态响应受斜升角变化的影响程度更高，通过增大斜升角可有效减小局部结构变形极值。

3.3 边界条件的影响

对两端固支边界条件的弹性楔形体进行分析，与上述两端简支边界条件情况进行对比，探究不同边界条件对砰击载荷作用下的弹性楔形体结构动态响应的影响。板厚b分别为5、8、11 mm的两端固支弹性楔形体物面中心点处的结构变形如图15所示，不同边界条件的弹性楔形体结构变形峰值见表4。

图 15 两端固支的不同板厚的弹性楔形体x′=0.5L处的结构变形(β=30°)

Figure 15. Structural responses at x′=0.5L of the clamped wedges with different plate thicknesses (β=30°)

下载: 全尺寸图片幻灯片

表 4

$\ \beta=30^\circ$ 的不同板厚的弹性楔形体

$x'=0.5L$ 处的结构变形峰值

Table 4. The maximum structural responses at

$x'=0.5L$ of the wedges with

$\ \beta=30^\circ$ and different plate thicknesses

b/mm	w_max/μm
	理论解析		ALE
	两端简支	两端固支	两端简支	两端固支
5	420	84.0	410	96.0
8	100	21.0	100	24.0
11	39	7.9	400	9.1

下载: 导出CSV

| 显示表格

可见，两种研究方法在入水砰击初期可得到较好的吻合，但至射流分离后ALE流固耦合模拟结果中的结构变形极值均偏高。相较于理论解析结果，不同板厚下的ALE计算结果分别偏高14.7%、15.01%和15.46%，并且时间分别滞后19、16、16 ms，其偏差主要是来源于理论解析解中对于射流分离后速度势高阶项简化的影响。相较于图12中两端简支边界条件结果，尽管结构变形变化趋势一致，但由于边界条件的影响，相同板厚下的结构变形极值大幅减小至20%左右。可见，结构边界条件也是影响砰击载荷作用下结构动态响应的重要因素之一。

3.4 入水速度的影响

分别采用ALE流固耦合数值模拟和理论计算方法对不同入水速度砰击下的弹性楔形体结构变形极值进行研究，探究入水速度对结构响应极值的影响。不同板厚以及不同边界条件的30°斜升角弹性楔形体，在不同入水速度砰击载荷作用下的结构响应极值如图16～17所示。

图 16 不同入水速度下两端简支楔形体的结构变形极值 (β=30°)

Figure 16. The maximum responses of the supported wedges at different impact velocities (β=30°)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 17 不同入水速度下两端固支楔形体的结构变形极值(β=30°)

Figure 17. The maximum responses of the clamped wedges at different impact velocities (β=30°)

下载: 全尺寸图片幻灯片

在1 m/s和2 m/s入水速度下，两种计算结果间的偏差较小，而随着入水速度的升高其偏差更显著，尤其是在板厚较小的情况下，理论解析结果显著偏高于ALE流固耦合计算结果。该误差主要是由于小板厚以及高速砰击情况下，理论计算方法对结构变形对流场的影响考虑有限。而在低速入水及板厚增大至11 mm后，结构变形极值显著减小并且两者间误差较小。相同板厚条件下，两端固支边界条件下与两端固支边界条件具有类似的变化趋势，但是其结构变形极值大幅降低至20%。可见，结构边界条件对砰击载荷作用下结构的水弹性效应具有较显著的影响。除板厚b=5 mm的弹性楔形体在入水速度v=8 m/s情况下两者偏差明显，其他板厚及入水速度情况下两种方法预报的结构变形极值则吻合较好，相对误差低至9.6%。可见，对于两端固支边界条件的弹性结构，采用理论计算方法可得到精度较高的结构变形极值。

结合板厚、入水速度，斜升角以及边界条件对砰击载荷作用下结构水弹性效应的影响，并通过提出水弹性因数 ${R_{\text{F}}} = {C_{\text{B}}}\tan \beta \sqrt {EI/(\rho {L^3})} /v$ 对砰击载荷作用下结构的水弹性效应进行评估。由上述边界条件分析可知，在采用两端固支边界条件的情况下，其结构变形响应极值可大幅降低至20%左右。因此，在两端简支边界条件下，若C_B=1，则在两端固支边界条件下，C_B=5。两端简支边界条件的30°斜升角楔形体在不同板厚及入水速度下的水弹性因数见表5，可见在R_F＜1.71时水弹性效应显著，在考虑水弹性效应下结构变形量值显著增加，由于结构变形影响使得结构物面所受砰击载荷影响显著。因此，水弹性因数R_F＜1.71时需采用ALE水弹性流固耦合模拟方法对结构动态响应水平进行预报。但是由于ALE水弹性流固耦合模拟的计算时间较长及成本较高，并且对计算模型网格精细程度以及关键参数要求较严格，模拟过程中易出现流体渗漏、液体不连续或网格畸变等不符合实际物理过程的现象。本文中所提出的理论计算方法效率较高，在R_F＞1.71时可高效高精度地评估结构变形极值水平，进而保障结构强度的安全性。特别是在抗砰击结构方案设计优化阶段，本文中所提出的理论计算方法具有明显优势。

表 5 不同板厚的楔形体在不同入水速度下的水弹性因数

Table 5. The hydroelastic factors of the wedges with different plate thicknesses at different water-enter velocities

速度/(m·s^-1)	R_F
速度/(m·s^-1)	b=5 mm	b=8 mm	b=11 mm
1	3.38	6.83	11.01
2	1.69	3.42	5.51
4	0.84	1.71	2.75
6	0.56	1.14	1.84
8	0.42	0.85	1.38

下载: 导出CSV

| 显示表格

4. 结　论

针对弹性楔形体入水的砰击载荷及结构响应开展研究，提出了弹性楔形体在砰击载荷作用下的理论解析计算模型，评估其结构动态响应特性，基于模态叠加法实现了弹性楔形体入水过程中结构响应的高精度快速预报。并且采用ALE流固耦合数值模拟方法评估砰击载荷作用下的结构动态响应，并与BEM边界元数值计算结果进行对比，验证其理论模型解析计算方法的适用性及有效性。分别针对不同的斜升角及板厚的弹性结构进行分析，讨论不同入水速度、斜升角、板厚和不同边界约束条件对砰击载荷特性和结构动态响应特性的影响。

相较于板厚而言，弹性结构所受砰击力和结构动态响应对物面斜升角和入水速度更敏感，通过增大斜升角可有效降低结构砰击载荷和局部结构变形极值，加强结构边界约束也可显著降低结构动态响应。在结构斜升角较小和入水速度较高的情况下，其弹性效应引起的砰击载荷变化更显著。在考虑结构水弹性效应时，弹性体所受到的砰击压力峰值显著高于刚性体结构所受到的砰击压力峰值并且到达峰值的时间滞后，随着入水速度的升高，弹性体与刚性体的砰击压力峰值比值相较亦显著增大。在满足结构轻量化要求下，提高斜升角可显著降低结构所受的砰击载荷及结构响应的幅值，有效保障抗砰击结构的安全性。

通过水弹性因数 ${R_{\text{F}}} = {C_{\text{B}}}\tan \beta \sqrt {EI/(\rho {L^3})} /v$ ，评估板厚、入水速度、斜升角和边界条件对砰击载荷作用下结构水弹性效应的影响。研究结果显示，在水弹性因数R_F＞1.71时，本文中所采用的理论解析方法可较好地高效预报弹性楔形体结构变形响应，并与ALE流固耦合模拟结果进行对比，验证了其有效性和可靠性。因此，本文中所构建的砰击载荷作用下弹性结构动态响应特性评估方法可高效高精度地对抗砰击结构强度进行校核，保障抗砰击结构强度的安全性，特别是在抗砰击结构方案设计优化阶段具有明显优势，并可为相关规范提供校核方法以及参考依据。

图 1 弹性楔形体砰击载荷及结构响应示意图

Figure 1. Schematics of slamming load and structural response of a flexible wedge

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 2 采用不同模型得到的板厚为8mm、以 1 m/s的速度垂直入水的弹性楔形体 $x' = 0.5L$ 处结构变形的时间历程

Figure 2. Time series of the structural response at $x' = 0.5L$ of the flexible wedges with different deadrise angles and the plate thickness of 8 mm at the vertical water-entry velocity of 1 m/s calculated by different models

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 3 t=20, 40 ms时沿弹性楔形体物面的结构变形分布（ $\ \beta$ =10°, b=8 mm）

Figure 3. Response distribution along the wedge structure at t=20, 40 ms ( $\ \beta$ =10°, b=8 mm)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 4 砰击入水计算模型

Figure 4. The water-entry impact computation model with mesh generation

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 5 不同网格尺寸的楔形体模型所受结构砰击力

Figure 5. Comparison of slamming forces of wedge models with different mesh sizes

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 6 刚性和弹性楔形体所受到的无量纲砰击力 (β=10°)

Figure 6. Dimensionless slamming forces on rigid and elastic wedges with β=10°

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 7 刚性和弹性楔形体所受到的无量纲砰击力 (β=30°)

Figure 7. Dimensionless slamming forces on rigid and elastic wedges with β=30°

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 8 10°斜升角弹性楔形体入水过程中自由液面变化及流场压力分布(v=8 m/s)

Figure 8. Fluid evolution and pressure distribution during the process of the elastic wedge with β=10° entering the water (v=8 m/s)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 9 30°斜升角弹性楔形体入水过程中自由液面变化及流场压力分布(v=8 m/s)

Figure 9. Fluid evolution and pressure distribution during the process of the elastic wedge with β=30° entering the water (v=8 m/s)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 10 刚性和弹性楔形体点1～4处的无量纲砰击压力-时间历程(β=10°，v=6 m/s)

Figure 10. Dimensionless slamming pressure-time history curves at points 1−4 of the rigid and elastic wedges (β=10°, v=6 m/s)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 11 刚性和弹性楔形体点1～4处的无量纲砰击压力时间历程( $\beta$ =30°，v=6 m/s)

Figure 11. Dimensionless slamming pressure-time history curves at points 1−4 of the rigid and elastic wedges ( $\beta$ =30°, v=6 m/s)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 12 不同板厚的楔形体x′ =0.5L处的结构变形 (β=30°)

Figure 12. Structural responses at x′=0.5L of the wedges with different thicknesses (β=30°)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 13 不同板厚的楔形体x′=0.5L处的结构变形(β=10°)

Figure 13. Structural responses at x′=0.5L of the wedges with different plate thickness (β=10°)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 14 不同板厚的楔形体x′=0.5L处的结构变形(β=45°)

Figure 14. Structural responses at x′=0.5L of the wedges with different plate thicknesses (β=45°)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 15 两端固支的不同板厚的弹性楔形体x′=0.5L处的结构变形(β=30°)

Figure 15. Structural responses at x′=0.5L of the clamped wedges with different plate thicknesses (β=30°)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 16 不同入水速度下两端简支楔形体的结构变形极值 (β=30°)

Figure 16. The maximum responses of the supported wedges at different impact velocities (β=30°)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 17 不同入水速度下两端固支楔形体的结构变形极值(β=30°)

Figure 17. The maximum responses of the clamped wedges at different impact velocities (β=30°)

下载: 全尺寸图片幻灯片

表 1 空气域及水域状态方程参数

Table 1. Parameters for equations of state of air and water

材料	ρ₀/（kg·m⁻³）	c/（m·s⁻¹）	C₄	C₅	S₁	S₂
空气	1.2	340	0.4	0.4
水	1 000	1 480			1.92	−0.096

下载: 导出CSV

表 2 不同网格尺寸模型信息

Table 2. Three models with different mesh sizes

网格尺寸/mm	结构单元数量	流体单元数量	计算时长/min
4	100	24 000	57
2	200	55 800	440
1	400	223 500	5 142

下载: 导出CSV

表 3 两端简支的不同板厚的弹性楔形体 $x' = 0.5L$ 处的结构变形峰值

Table 3. The maximum structural responses at $x' = 0.5L$ of the supported wedges with different plate thickesses

b/mm	w_max/mm
	理论解析解			ALE			BEM^[5]
	β=10°	β=30°	β=45°	β=10°	β=30°	β=45°	β=30°	β=45°
5	6.970	0.420	0.200	4.320	0.410	0.210	0.380	0.150
8	1.710	0.100	0.049	1.530	0.100	0.051	0.095	0.035
11	0.660	0.039	0.019	0.590	0.400	0.020	0.036	0.015

下载: 导出CSV

表 4 $\ \beta=30^\circ$ 的不同板厚的弹性楔形体 $x'=0.5L$ 处的结构变形峰值

Table 4. The maximum structural responses at $x'=0.5L$ of the wedges with $\ \beta=30^\circ$ and different plate thicknesses

b/mm	w_max/μm
	理论解析		ALE
	两端简支	两端固支	两端简支	两端固支
5	420	84.0	410	96.0
8	100	21.0	100	24.0
11	39	7.9	400	9.1

下载: 导出CSV

表 5 不同板厚的楔形体在不同入水速度下的水弹性因数

Table 5. The hydroelastic factors of the wedges with different plate thicknesses at different water-enter velocities

速度/(m·s^-1)	R_F
速度/(m·s^-1)	b=5 mm	b=8 mm	b=11 mm
1	3.38	6.83	11.01
2	1.69	3.42	5.51
4	0.84	1.71	2.75
6	0.56	1.14	1.84
8	0.42	0.85	1.38

下载: 导出CSV

[1]	KVALSVOLD J, FALTINSEN O M. Hydroelastic modeling of wet deck slamming on multihull vessels [J]. Journal of Ship Research, 1995, 39(3): 225–239. DOI: 10.5957/jsr.1995.39.3.225.
[2]	FALTINSEN O M, KVÅLSVOLD J, AARSNES J V. Wave impact on a horizontal elastic plate [J]. Journal of Marine Science and Technology, 1997, 2(2): 87–100. DOI: 10.1007/BF02491523.
[3]	KHABAKHPASHEVA T I, KOROBKIN A A. Elastic wedge impact onto a liquid surface: Wagner’s solution and approximate models [J]. Journal of Fluids and Structures, 2013, 36: 32–49. DOI: 10.1016/j.jfluidstructs.2012.08.004.
[4]	SHAMS A, PORFIRI M. Treatment of hydroelastic impact of flexible wedges [J]. Journal of Fluids and Structures, 2015, 57: 229–246. DOI: 10.1016/j.jfluidstructs.2015.06.017.
[5]	LU C H, HE Y S, WU G X. Coupled analysis of nonlinear interaction between fluid and structure during impact [J]. Journal of Fluids and Structures, 2000, 14(1): 127–146. DOI: 10.1006/jfls.1999.0257.
[6]	STENIUS I, ROSÉN A, KUTTENKEULER J. Hydroelastic interaction in panel-water impacts of high-speed craft [J]. Ocean Engineering, 2011, 38(2−3): 371–381. DOI: 10.1016/j.oceaneng.2010.11.010.
[7]	PANCIROLI R, ABRATE S, MINAK G, et al. Hydroelasticity in water-entry problems: comparison between experimental and SPH results [J]. Composite Structures, 2012, 94(2): 532–539. DOI: 10.1016/j.compstruct.2011.08.016.
[8]	PANCIROLI R. Water entry of flexible wedges: some issues on the FSI phenomena [J]. Applied Ocean Research, 2013, 39: 72–74. DOI: 10.1016/j.apor.2012.10.010.
[9]	HASSOON O H, TARFAOUI M, ALAOUI A E M, et al. Experimental and numerical investigation on the dynamic response of sandwich composite panels under hydrodynamic slamming loads [J]. Composite Structures, 2017, 178: 297–307. DOI: 10.1016/j.compstruct.2017.07.014.
[10]	HASSOON O H, TARFAOUI M, ALAOUI A E M, et al. Mechanical behavior of composite structures subjected to constant slamming impact velocity: an experimental and numerical investigation [J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2018, 144: 618–627. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2018.05.035.
[11]	HASSOON O H, TARFAOUI M, ALAOUI A E M, et al. Mechanical performance evaluation of sandwich panels exposed to slamming impact: comparison between experimental and SPH results [J]. Composite Structures, 2019, 220: 776–783. DOI: 10.1016/j.compstruct.2019.04.051.
[12]	KOROBKIN A. Analytical models of water impact [J]. European Journal of Applied Mathematics, 2004, 15(6): 821–838. DOI: 10.1017/S0956792504005765.

期刊类型引用(3)

1.	毕刚，元沛杰，韩斐，付帅帅，吴捷敏，马颖. 新型射孔动态仿真模拟及适用性评价. 煤田地质与勘探. 2024(05): 67-76 . 百度学术
2.	李岳，彭梦凯，蔡靖，刘文俊，水伟厚，董炳寅. 下卧软弱夹层地基ALE法强夯加固数值分析. 振动与冲击. 2024(15): 142-149+199 . 百度学术
3.	李岳，刘文俊，蔡靖，戴轩，水伟厚，董炳寅. 强夯置换的ALE法仿真与夯击参数研究. 岩土工程学报. 2023(07): 1471-1479 . 百度学术

其他类型引用(6)