塑性黏结炸药（plastic bonded explosive, PBX）在实际应用中除作为毁伤能量的主要提供部件外，通常还作为结构件承担载荷，因此炸药的力学强度是一个重要指标。

一方面，强度是材料的一种力学特征量，通过力学实验确定PBX在不同应变率与不同温度下的强度，可以确定其安全使用范围。Stevens^[1]基于大量的力学实验数据，分析了环境温度和加载应变率对PBX-9501强度的影响，利用Williams-Landel-Ferry时温转换函数构建了能够定量描述温度和应变率影响的强度模型，确定了PBX-9501的安全载荷边界。

另一方面，强度也是多个材料参量共同作用下的综合指标，通过各种方法调控相关参数，可以实现材料强度的提高。例如，肖磊等^[2]开展了PBX炸药颗粒级配研究，发现通过添加纳米级炸药晶体颗粒可以有效提高材料拉伸强度，增幅最高可达16.7%；黄辉^[3]针对浇注固化炸药，将颗粒级配与悬浮体系的流变性能相关联，建立了体现颗粒级配影响的流变模型，提出了一种降低表观黏度提升力学性能的最佳颗粒级配计算方法；Lv等^[4]则对PBX制备过程中的超声波辅助工艺进行了研究，认为在此工艺过程中较大粒径颗粒破碎引起粒径级配变化，可以提高材料强度。此外，通过强化颗粒/黏结剂界面也可以提升材料强度，如黄辉等^[5]分析了多种偶联剂对浇注固化炸药强度提高的作用，通过实验确定了酰胺类化合物为最佳偶联剂；Li等^[6]研究了4种含硼偶联剂对PBX炸药界面的强化作用，实验结果证实偶联剂均可有效提高界面黏附功，从而提高材料强度；除偶联剂外，Yang等^[7]还建立了在PBX炸药晶体外添加分子涂层以提高颗粒/黏结剂界面性能的方法，力学实验证实该种方法可以将拉伸强度提高20%以上。

然而，开展各种工艺探索以有效提高材料强度的同时，还迫切需要深入了解各材料参量对材料强度的影响机制，确定各材料参量对材料强度的定量影响规律，以方便PBX炸药性能的设计规划。

本文中，在细观损伤理论的框架内，应用微裂纹扩展区（domain of microcrack growth，DMG）理论对PBX炸药的单轴拉伸过程进行分析，将PBX炸药拉伸响应特征通过扩展裂纹取向角度进行描述；同时引入随机分布裂纹相互连接行为的研究成果，将扩展裂纹取向角的最大值与裂纹灾难性延伸相关联；考虑到拉伸强度是裂纹灾难性延伸的重要因素，将拉伸强度与扩展裂纹最大取向角对应，构建一种基于细观结构参数的拉伸强度理论模型，以实现细观结构参量对PBX炸药拉伸强度影响的定量描述。

1.   微裂纹扩展区理论简介

微裂纹扩展区理论是冯西桥等^[8]在细观损伤理论框架下针对准脆性材料准静态力学响应特征而发展起来的一套理论。

在细观损伤理论框架下，由于非均匀材料的宏观力学性能仍然是统计均匀的，因此常引入代表性体积单元（representative volume element, RVE）的概念，用以分析非均匀材料的有效本构关系。在细观尺度上，该RVE尺寸足够大，包含有足够多的细观结构，从而能够反映材料的统计平均性质；同时，在宏观尺度上，RVE尺寸又足够小，作用在RVE上的宏观应力与应变可认为是均匀的。

微裂纹扩展区理论假定了在RVE内分布大量币形微裂纹，所有微裂纹都具有相同的统计平均半径a₀，各条微裂纹之间无相互影响，并且微裂纹取向随机。对任意一条微裂纹均可建立整体坐标系Ox₁x₂x₃与局部坐标系$O{{{x}_{1}'}}{x}_{2}'{x}_{3}'$，如图1所示。基于坐标系变换准则，微裂纹的取向使用角度参数θ和$\varphi$实现唯一定义，其中θ的取值范围为[0, π/2)，$\varphi$的取值范围为[0, 2π)。

图  1  微裂纹的整体坐标系与局部坐标系^[8]

Figure  1.  Globe coordinate and local coordinate of micro-crack^[8]

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在拉伸载荷σ₂₂作用下，当裂纹的应力强度因子满足下式时，裂纹发生自相似扩展，并在遇到能障后停止^[8]。扩展后的微裂纹半径为a_u。

式中：上标“′”表示该物理量基于局部坐标系，${K}'_{\text{Ⅰ}}$和${K}'_{\text{Ⅱ}}$分别为Ⅰ型和Ⅱ型临界应力强度因子，K_ⅠC和K_ⅡC为裂纹临界应力强度因子，${\sigma }_{ij}'$为局部坐标系下应力张量的各个分量。

对于单轴拉伸状态，由于裂纹取向角$\varphi$相对于拉伸载荷的对称性，该参量不影响裂纹扩展行为，式(1)可以化简为：

式中：v为材料的泊松比，θ_sup为扩展裂纹取向角的上限。

由式(2)可知，当拉伸载荷增至${K_{{\text{Ⅰ}}{\rm{C}}}}\sqrt {{{\text{π}}/( {4{a_0}})}}$时，法线平行于载荷方向的裂纹（θ = 0）首先发生扩展。并且，随着拉伸载荷的持续增加，更大角度范围的裂纹发生扩展，θ_sup持续增大。当载荷趋向无穷大时，θ_sup随载荷趋向π/2，所有取向的裂纹均发生扩展。

由于式(2)中的K_ⅠC和K_ⅡC均为材料常数，因此拉伸载荷和θ_sup一一对应。随着载荷的增加，越来越多的能量耗散在裂纹扩展行为中，宏观表现为材料刚度下降损伤增加。该理论通过扩展裂纹取向角上限θ_sup来描述材料损伤状态的变化。

2.   PBX的拉伸强度理论模型

PBX由大量含能颗粒与少量黏结剂组成，存在着大量的颗粒/黏结剂界面。受载过程中的大部分损伤破坏为沿这些界面的裂纹扩展^[9]，在单轴拉伸载荷下表现为典型的准脆性特征^[10-11]。针对PBX炸药的准脆性响应，许多研究者们基于RVE概念，将真实PBX细观结构缺陷简化为均质体内的微裂纹体系，建立了诸如成核与增长（nucleation and growth, NAG）模型^[12]、统计微裂纹（statistical crack mechanics, SCRAM）模型^[13]以及主裂纹（dominant crack algorithm, DCA）模型^[14]，实现了PBX力学响应特征的准确描述。依据力学实验与模型计算的对比分析结果，细观损伤理论框架下的微裂纹扩展理论在描述PBX力学响应方面表现出足够的准确度^[15]。因此，本文中也将PBX视为微裂纹体，应用前述的微裂纹扩展区理论分析PBX的拉伸断裂行为。

真实的拉伸断裂来自于宏观失稳裂纹的扩展传播^[16]，而PBX宏观主裂纹形成与扩展均来自于微裂纹的连接^[17]，因此假定PBX的拉伸断裂过程如下：在PBX发生拉伸断裂前，最大扩展裂纹取向角θ_sup随拉伸载荷持续增大，PBX内部大量裂纹发生扩展，与相邻裂纹的裂尖间距减小，而当载荷增至某一阈值时，裂尖间距减小的相邻微裂纹间发生相互连接，成为失稳大裂纹并在载荷作用下持续与相邻微裂纹串接，形成灾难性裂纹延伸。对于代表性体积单元，其内部各种微裂纹状态均存在。换言之，最易于发生微裂纹相互连接形成失稳扩展的微裂纹分布状态也是存在的。因此，拉伸强度即为微裂纹发生失稳连接的最小载荷阈值。相邻裂纹间相互连接行为如图2所示。

图  2  相邻裂纹的连接

Figure  2.  Connecting of neighboring cracks

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Zhang等^[18]研究发现，能量释放率达到阈值时，裂纹即与相邻裂纹连接，具体表示为：

式中：a为裂纹半径；d为裂尖至相邻裂纹裂心的距离；α为裂尖至相邻裂纹裂心连线与裂纹方向的夹角；θ为扩展裂纹取向角；$K_{\text{Ⅰ}}^\infty$为远场应力强度因子；对平面应变状态，E'=E/(1−v²)，对平面应力状态E' = E，其中E为材料的杨氏模量；G_C为临界能量释放率。

对于式(3)内的各个变量，据微裂纹扩展区理论，扩展后的微裂纹半径为a_u，因此a = a_u。a_u和d为材料常数，a_u与材料的颗粒级配相关^[8]，d为单位体积裂纹数n的函数。由于代表性体积单元内部的各种微裂纹状态均存在，因此总是可以取到令$G\left( {a/d,\alpha ,\theta } \right)$为最大值${G_{\max }}\left( {a/d,\theta } \right)$的${\alpha _{\max }}$。此外，杨氏模量与临界能量释放率均为材料常数。因此是否会形成微裂纹相互连接，受拉伸载荷与扩展裂纹取向角控制。

据微裂纹扩展区理论，拉伸载荷与扩展裂纹取向角存在一一对应关系。在材料拉伸破坏前，扩展裂纹取向角上限θ_sup随拉伸载荷增加而持续增加。θ_sup增至θ_max使得式(3)成立时，材料拉伸破坏，拉伸强度${\sigma _{\text{f}}}$即为增至θ_max时的拉伸载荷。因此，由式(2)有：

式(4)即为基于材料细观特征量的PBX拉伸强度理论模型，其中，K_ⅠC和K_ⅡC反映PBX炸药晶体颗粒/黏结剂界面性能，因此本模型描述强化界面对材料强度提高的规律。而n、a₀和a_u与炸药晶体颗粒级配相关^[8]，因此本模型还可以用于分析颗粒级配对材料强度的影响。

3.   算　例

应用拉伸强度理论模型，对−45℃~45℃的PBX-3炸药准静态拉伸试验进行分析。该PBX-3以奥克托金（HMX）为基，HMX、TATB（三氨基三硝基苯）、黏结剂和钝感剂的质量分数分别为87.0%、7.0%、4.2%和1.8%，在模具中热压成型。其拉伸响应表现出明显的准脆性特征，应力-应变曲线如图3所示。本文中使用该应力和应变数据确定PBX-3在不同温度下的细观特征量，并将实验测得的拉伸强度与模型预测强度进行对比。

图  3  拟合结果

Figure  3.  Fitting results

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据微裂纹扩展区理论^[8]，材料单轴拉伸响应过程可以分为弹性响应阶段与非弹性响应阶段。2个阶段的应力-应变关系为

式中：σ为应力，ε为应变，A = na₀³(1−v²)(10−3v)/(2−v)，B = n(a_u³−a₀³)(1−v²)(10−3v)/(2−v)。

应用式(5)对该实验获得的7条不同温度应力-应变曲线进行全局拟合，其中n、a₀和a_u不受温度影响，拟合时共用同一套参数。而K_ⅠC和K_ⅡC随温度变化，拟合时每个温度设置一套参数。杨氏模量E由应力-应变曲线直接测量获得。拟合结果如图3所示。结果表明，当环境温度在−40~45℃范围时，微裂纹扩展区模型可以较好地描述PBX的拉伸响应行为，拟合得到的细观特征量较为准确。

所确定的PBX-3各细观特征量如表1~2所示。

表  1  与温度无关的PBX-3细观特征量

Table  1.  Temperature independent mesoscopic characteristics of PBX-3

n/cm−3	a0/cm	au/cm	v
1372	0.006352	0.03703	0.3

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表  2  与温度相关的PBX-3细观特征量

Table  2.  Temperature dependent mesoscopic characteristics of PBX-3

T/℃	KⅠC/（MPa·cm1/2）	KⅡC/（MPa·cm1/2）
−40	0.1628	0.1911
−30	0.1502	0.1763
−25	0.1556	0.1827
−20	0.1520	0.1784
−10	0.1457	0.1711
25	0.1457	0.1711
45	0.1322	0.1552

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由于扩展裂纹最大取向角θ_max与温度不直接相关，因此将根据−25 ℃时拉伸强度所确定的θ_max = 1.317 rad代入理论模型，预测其余温度点的拉伸强度。与实验测得的拉伸强度对比如图4所示，可以看出最大相对误差不超过10%，表明该拉伸强度理论模型可以用于PBX炸药拉伸强度分析。

图  4  理论模型预测与实验结果对比

Figure  4.  Comparison of model prediction and experimental value

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由拉伸强度理论模型可知，PBX炸药的拉伸强度受颗粒级配与晶体颗粒/黏结剂界面性能控制。由于颗粒级配不受温度影响，因此θ_max基本恒定不变。但是随着温度的上升，黏结剂受热软化，颗粒更易于错动，模型中表现为临界应力强度因子随温度持续下降。据强度理论模型，随着温度的上升，模型预测的拉伸强度持续下降，如图4所示，与实验测量结果变化趋势一致。

4.   讨　论

本文中，以PBX炸药为研究目标，围绕其拉伸强度及细观特征量影响机理展开研究，提出了一个基于材料细观特征量的拉伸强度理论模型。相较于已有PBX拉伸强度的研究成果^[2-7]，本文中所获得的结果着重从理论上解释各个细观特征量对宏观力学强度的影响规律，并给出了定量的理论模型。基于本文中所获得的理论模型，可以为PBX炸药性能的设计规划提供支持。

例如，强化颗粒/黏结剂界面以提高材料力学强度的工艺，是通过调整材料细观特征量中的Ⅰ型/Ⅱ型临界应力强度因子以实现PBX强度提高。由于一部分黏结剂在提高Ⅰ型临界应力强度因子更有效，一部分黏结剂提高Ⅱ型临界应力强度因子更有效，在面对黏结剂种类选择时，可应用强度理论模型辅助确定。

以PBX-3为例，基于所获得的细观特征量n、a₀、a_u以及泊松比v，应用拉伸强度理论模型（式(4)）可以给出强度变化曲线，如图5所示。

图  5  两种应力强度因子（K_ⅠC和K_ⅡC）对材料强度的影响

Figure  5.  Curves of tensile strength with two stress intensity factors (K_ⅠC and K_ⅡC)

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据图5(a)，单纯提高Ⅰ型临界应力强度因子存在边际效应，当K_ⅠC>0.02 MPa·cm^1/2时，提升材料强度的效果明显减弱。据图5(b)，K_ⅡC对材料强度的提升几乎没有边际效应，因此选择能够能有效提高K_ⅡC的黏结剂是一个较为合理的选择。

此外，依据强度理论模型，还能够直接推算强度高于指定值所需要的细观特征量范围。仍以PBX-3为例，若计划通过调整颗粒/黏结剂界面性能的技术途径来增强该PBX的拉伸强度至10 MPa。那么将拉伸强度10 MPa代入拉伸强度理论模型式(4)中，基于所获得的细观特征量n、a₀、a_u以及泊松比v，可以给出材料强度不低于10 MPa时，K_ⅠC和K_ⅡC需满足：

进而，可以依据式(6)所确定的材料参数范围，选择合理的具体技术手段以实现力学强度设计目标。

本研究也存在一定欠缺，主要表现在该强度理论模型只适用于脆性或准脆性材料。这是因为本模型基于微裂纹扩展区理论，其非弹性响应被认为源于微裂纹扩展导致的能量耗散。当PBX炸药非弹性响应主要因为塑性滑移耗散时，本理论模型不再适用。

5.   结　论

基于微裂纹扩展区理论与裂纹连接准则，分析了PBX炸药单轴拉伸断裂行为，提出了一种基于细观特征量的拉伸强度理论模型，展示了各细观特征量对材料强度的影响机制。并通过PBX-3的拉伸实验数据对模型进行了验证，证实该模型可应用于PBX炸药拉伸强度研究。主要结论有：

(1) 基于细观特征量的PBX炸药拉伸强度理论模型为${\sigma _{\text{f}}} = {\dfrac{{{K_{{\text{Ⅰ}}{\rm{C}}}}}}{2}\sqrt {\dfrac{{\text{π}}}{{{a_0}}}} } \left/ {\sqrt {{{\cos }^4}{\theta _{\max }} + \dfrac{{4{{\cos }^2}{\theta _{\max }}{{\sin }^2}{\theta _{\max }}K_{{\text{Ⅰ}}{\rm{C}}}^2}}{{{{\left( {2 - v} \right)}^2}K_{{\text{Ⅱ}}{\rm{C}}}^2}}} }\right.$；

(2) PBX炸药的拉伸强度与材料的炸药颗粒粒径分布、颗粒/黏结剂界面性能以及颗粒/黏结剂体系的表观杨氏模量、泊松比相关；

(3) 基于实验对比结果，本拉伸强度理论模型可以较好地描述PBX-3材料的强度变化特征。