考虑围压效应的冻结砂土动态本构模型研究

马冬冬; 汪鑫鹏; 马芹永; 周志伟; 杨毅; 袁璞

doi:10.11883/bzycj-2022-0137

考虑围压效应的冻结砂土动态本构模型研究

doi: 10.11883/bzycj-2022-0137

马冬冬^{1, 2, 3,},
汪鑫鹏²,
马芹永^{1, 2},
周志伟³,
杨毅²,
袁璞^{1, 2}

1.
安徽理工大学深部煤矿采动响应与灾害防控国家重点实验室，安徽淮南 232001
2.
安徽理工大学土木建筑学院，安徽淮南 232001
3.
中国科学院西北生态环境资源研究院冻土工程国家重点实验室，甘肃兰州 730000

基金项目: 中国博士后科学基金（2019M652162）；安徽省自然科学基金（1908085QE212）；安徽省自然科学基金（2108085ME156）；冻土工程国家重点实验室开放基金（SKLFSE202004）

详细信息

作者简介:
马冬冬（1991－　），男，博士，副教授，dongdonm@126.com

中图分类号: O383
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出版历程
- 收稿日期: 2022-04-06
- 修回日期: 2022-07-20
- 网络出版日期: 2022-09-09
- 刊出日期: 2023-04-05

A study of dynamic constitutive model of frozen sandy soil considering confining pressure effect

MA Dongdong^{1, 2, 3
,},
WANG Xinpeng²,
MA Qinyong^{1, 2},
ZHOU Zhiwei³,
YANG Yi²,
YUAN Pu^{1, 2}

1.
State Key Laboratory of Mining Response and Disaster Prevention and Control in Deep Coal Mines, Anhui University of Science and Technology, Huainan 232001, Anhui, China
2.
School of Civil Engineering and Architecture, Anhui University of Science and Technology, Huainan 232001, Anhui, China
3.
State Key Laboratory of Frozen Soils Engineering, Northwest Institute of Eco-Environment and Resources, Chinese Academy of Sciences, Lanzhou 730000 , Gansu, China

摘要

摘要: 为描述主动围压作用下冻结砂土的动态力学特性，通过在朱-王-唐模型的非线性体上串联塑性体，建立了能够考虑围压效应的冻结砂土动态损伤本构模型；分析了损伤参数对应力-应变曲线特征、屈服点、峰值应力和峰值应变的影响规律，基于冻结砂土动力学试验数据确定了模型参数；通过将模型和试验数据进行对比，并对不同试验条件下模型的预测误差进行分析，验证了模型的适用性和准确性。结果表明，损伤参数对应力-应变曲线弹性阶段和屈服点无明显影响，而对塑性阶段和破坏阶段的影响较为显著，本构模型预测的应力-应变曲线与试验结果具有较好的一致性。模型能够预测围压引起冻结砂土塑性阶段占比大和屈服点明显的特征，且能够描述围压对冻结砂土动态强度的增强效应；不同负温和主动围压条件下，模型对峰值应力和屈服强度的预测效果优于峰值应变和屈服应变。
- 冻结砂土 /
- 围压效应 /
- 分离式Hopkinson压杆 /
- 动态本构模型 /
- 屈服强度
Abstract: To describe the dynamic mechanical properties of frozen sandy soil under active confining pressure, a dynamic damage constitutive model, which could consider the effect of active confining pressure on the dynamic strength and deformation characteristics of frozen sandy soil, was established by connecting a plastic body to the nonlinear Zhu-Wang-Tang model. The effects of damage parameters on the characteristics of stress-strain curves, yield point, peak stress, and peak strain were analyzed. In addition, the model parameters were determined based on the dynamic test data of frozen sandy soil. The applicability and accuracy of the established model were verified by comparing the model with the test data and analyzing its prediction errors under different test conditions. The results show that the damage parameters have no significant effect on the elastic stage and yield point of the dynamic stress-strain curves. However, it significantly affects the plastic and failure stages. The stress-strain curves predicted by the established constitutive model are in good agreement with the test results. The model is appropriate in predicting the characteristics including large portion of the plastic stage and obvious yield point caused by active confining pressure. Moreover, the model can also describe the enhancement effect of confining pressure on the dynamic compressive strength of frozen sandy soil. The predictions of the model on the peak stress and yield stress are better than those on the peak strain and yield strain under different negative temperatures and active confining pressures.
- frozen sandy soil /
- confining pressure effect /
- split Hopkinson pressure bar /
- dynamic constitutive model /
- yield stress

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我国西部寒区以其独特的地域特征和军事作用在国家安全中处于非常重要的战略地位^[1]，在深厚冻土层以下，已建成大量以地下防护工程、深埋管道和地下战略物资储备库为代表的国防工程^[2-3]。在工程服役期间，需要考虑地面和钻地武器对地下建筑物的爆破毁伤作用^[4-6]，武器爆破后产生的应力波是结构损伤破坏的主要诱因^[7]，研究冻土的动态本构关系是分析应力波在冻土内传播规律的重要基础和必要前提^[8-9]，对冻土层以下防爆结构的优化设计和安全稳定性分析具有重要的参考价值。

目前，针对冻土动态力学性能和本构关系的研究多集中于单轴受力状态^[10-12]，但通过对冻土进行受力分析可知，在受到冲击应力波作用前冻土已处于围压受力状态，且随着埋深的增加，冻土承受的限制作用逐渐增强，即所受的围压逐渐增大^[13-15]，因此，需要研究围压作用下冻土的动态力学响应特征。马芹永等^[16]采用厚壁铝质套筒限制冻土试样的侧向变形，以模拟被动围压受力状态，利用分离式Hopkinson压杆（split Hopkinson pressure bar, SHPB）试验系统，对比了单轴和被动围压状态下冻土的强度和变形破坏特征，发现单轴状态下冻土的应力-应变曲线在达到峰值后逐渐下降，表现出应变软化特征，而被动围压状态下应力-应变曲线呈现明显的应变硬化特征。Zhang等^[17]研究发现被动围压的存在能够显著提高冻土的动态峰值应力，并建立了能够考虑应变率效应和温度效应的冻土唯象本构模型，该模型能够模拟围压对冻土应力-应变曲线峰前上升段的影响，但对曲线下降段的拟合效果有待进一步提高。马冬冬等^[18-19]利用能够施加主动围压的液压系统，开展了不同主动围压等级下冻结黏土和冻结砂土的SHPB试验，发现冻土在单轴状态下呈脆性破坏特征，而主动围压状态下冻土试样呈塑性破坏。主动围压状态下，冻结黏土和冻结砂土动态应力-应变曲线表现出不同的变形特征。图1为相同温度和主动围压等级下冻结黏土和冻结砂土的动态应力-应变曲线，可以看出，冻结黏土的动态应力-应变曲线可分为弹性、塑性和破坏阶段，且3阶段的过渡较平滑。相较于冻结黏土，冻结砂土达到塑性变形状态所需的变形较小，即其弹性变形量远小于冻结黏土，导致曲线中塑性阶段的占比明显增大，且弹性阶段和塑性阶段之间的拐点非常明显。围压的存在会导致冻结黏土和冻结砂土的动态抗压强度明显增大，例如：当应变率为210～220 s⁻¹、温度为−15 ℃时，在1.5 MPa主动围压下，冻结黏土和冻结砂土的动态抗压强度相较于无围压状态分别提高了61%和81%。此外，随着围压等级的提高，冻结黏土的动态抗压强度呈非线性增大，而冻结砂土的动态抗压强度基本呈线性增大。相同围压条件下，冻结黏土和冻结砂土的峰值应力、峰值应变和极限应变均随应变率的提高而增大。基于经典的朱-王-唐（ZWT）模型，通过在模型中引入被视为Weibull分布的损伤变量和能够考虑围压影响的应力增强因子，建立了主动围压状态下冻结黏土的动态本构模型^[20]。通过对比发现，该动态本构模型能够较好地预测冻结黏土的动态应力-应变曲线特征和围压对其动态抗压强度的增强效应。

图 1 主动围压作用下冻结黏土和冻结砂土的动态应力-应变曲线^[18-19]

Figure 1. Dynamic stress-strain curves of frozen clay and frozen sandy soil under active confining pressure^[18-19]

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综合以上分析可知，作为一种典型的非线性黏弹性本构模型，ZWT模型能够较好地模拟冻结黏土的动态强度和变形特性，但无法较好地拟合主动围压作用下冻结砂土的动态应力-应变曲线特征。本文中，通过对经典的ZWT模型进行改进，在模型中引入塑性体元件，并结合损伤力学理论，建立能够考虑围压效应的冻结砂土动态损伤本构模型，通过将模型和试验获得的不同负温和主动围压等级下冻结砂土的应力-应变曲线进行对比，对模型的预测效果进行验证和评价。

1. 考虑塑性变形的ZWT模型

经典的ZWT模型^[21]由1个非线性体和2个Maxwell体并联而成，并通过控制松弛时间，反映不同应变率范围内Maxwell体的响应特征：

$\sigma {\text{ = }}{E_0}\varepsilon + \alpha {\varepsilon ^2} + \beta {\varepsilon ^3} + {E_1}\int_0^t {\dot \varepsilon \;\exp \left( { - \frac{{t - \tau }}{{{\theta _1}}}} \right)} {\text{d}} \tau + {E_2}\int_0^t {\dot \varepsilon \;\exp \left( { - \frac{{t - \tau }}{{{\theta _2}}}} \right)} {\text{d}} \tau$

(1)

式中：E₀、α和β均为与材料性质有关的弹性常数，E₁和E₂分别为低频和高频Maxwell体的弹性常数，θ₁和θ₂分别为低频和高频Maxwell体的松弛时间。

在冲击荷载作用下，冻土以10²～10³ s⁻¹的应变率从损伤状态迅速进入破坏状态，特征时间为0.1 s的低频Maxwell体无充足的松弛时间，将失去其作用并转化为弹性体^[22-23]，模型表达式可转化为：

$\sigma {\text{ = }}\left( {{E_0} + {E_1}} \right)\varepsilon + \alpha {\varepsilon ^2} + \beta {\varepsilon ^3} + {E_2}\int_0^t {\dot \varepsilon \;\exp \left( { - \frac{{t - \tau }}{{{\theta _2}}}} \right)} {{\rm{d}}} \tau$

(2)

由图1可知，当应力超过一定值后，冻结砂土的动态应力-应变曲线将从线弹性阶段迅速进入塑性阶段，说明弹、塑性拐点（即屈服点）非常明显，且塑性段会持续较长时间。因此，在模型的非线性体上串联一个塑性体，即可得到能够考虑塑性变形的ZWT模型，见图2，σ_s为塑性体的屈服强度。

图 2 考虑塑性变形的ZWT模型

Figure 2. The ZWT model established in consideration of plastic deformation

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在非线性体和塑性体串联后，模型表达式为：

$\sigma = \left\{ \begin{array}{ll} ({E_0} + {E_1})\varepsilon + \alpha {\varepsilon ^2} + \beta {\varepsilon ^3} + {E_2}\displaystyle\int_0^t \dot \varepsilon \;\;\exp \left( { - \frac{{t - \tau }}{{{\theta _2}}}} \right) {\text{d}} \tau &\qquad \sigma {\text{≤}} {\sigma _{\text{s}}} \\ {\sigma _{\text{s}}} + {E_2}\displaystyle\int_0^t {\dot \varepsilon \;\;\exp \left( { - \frac{{t - \tau }}{{{\theta _2}}}} \right)} {\text{d}} \tau &\qquad \sigma {\text{＞}} {\sigma _{\text{s}}} \end{array} \right.$

(3)

冲击荷载作用下，冻土试样内部的原生裂纹和孔洞不断扩展，并伴随着新裂纹的产生，其损伤是一个逐渐累计的过程。冻土的动态损伤演化过程服从Weibull分布规律^[24]，即损伤变量表达式为：

$D = 1 - \exp \left[ { - {{\left( {\frac{\varepsilon }{\mu }} \right)}^\eta }} \right]$

(4)

式中：μ和η为冻结砂土的损伤参数。

由式(3)可以看出，模型以屈服强度为分界点，可分为弹塑性屈服点之前和之后2个部分。在屈服点前的弹性阶段，冻结砂土试样内部主要为弹性变形，而屈服点后的塑性阶段，塑性变形导致试样内部损伤逐步增大。因此，将损伤变量D代入式(3)中屈服点之后的表达式，即可得到综合考虑损伤演化和塑性变形的ZWT模型：

$\sigma = \left\{ \begin{array}{ll} {\text{(}}{E_0} + {E_1}{\text{)}}\varepsilon + \alpha {\varepsilon ^2} + \beta {\varepsilon ^3} + {E_2}\displaystyle\int_0^t {\dot \varepsilon \;\;\exp \left( { - \frac{{t - \tau }}{{{\theta _2}}}} \right)} {\text{d}} \tau & \qquad\sigma {\text{≤}} {\sigma _{\text{s}}} \\ \left( {1 - D} \right)\left[ {{\sigma _{{\text{s}}} } + {E_2}\displaystyle\int_0^t {\dot \varepsilon\;\; \exp \left( { - \frac{{t - \tau }}{{{\theta _2}}}} \right)} {\text{d}} \tau } \right]& \qquad\sigma {\text{＞}} {\sigma _{\text{s}}} \end{array} \right.$

(5)

在恒应变率加载条件下，式(5)可简化为：

$\sigma = \left\{ \begin{array}{ll} {\text{(}}{E_0} + {E_1}{\text{)}}\varepsilon + \alpha {\varepsilon ^2} + \beta {\varepsilon ^3} + {E_2}{\theta _2}\dot \varepsilon \left[ {1 - \exp \left( { -\displaystyle \frac{\varepsilon }{{\dot \varepsilon {\theta _2}}}} \right)} \right]&\qquad\sigma {\text{≤}} {\sigma _{\text{s}}} \\ \exp \left[ { - {{\left( {\dfrac{\varepsilon }{\mu }} \right)}^\eta }} \right]\left\{ {{\sigma _{\text{s}}} + {E_2}{\theta _2}\dot \varepsilon \left[ {1 - \exp \left( { - \dfrac{\varepsilon }{{\dot \varepsilon {\theta _2}}}} \right)} \right]} \right\}& \qquad\sigma {\text{＞}} {\sigma _{\text{s}}} \end{array} \right.$

(6)

将动态应力-应变曲线中弹塑性拐点对应的纵坐标视为冻结砂土的屈服强度，对应的横坐标视为屈服应变，已有试验结果^[25]表明，在相同应变率和负温条件下，随着围压等级的提高，冻结砂土的屈服强度和峰值应力逐渐增大，而屈服应变、峰值应变和极限应变无明显变化。因此，在式(6)中引入围压增强因子 $p_{\lambda}^*$ 以体现主动围压的增强效应：

$p_{\lambda}^* = {\left( {\frac{p}{{{p_0}}} + \varphi } \right)^{\lambda}}$

(7)

式中：p为主动围压，p₀为围压对比项，φ为冻结砂土的材料参数，λ为围压增强因数。

将式(7)代入式(6)，即可得到考虑围压效应的冻结砂土动态本构模型：

$\sigma = \left\{ \begin{array}{ll} \left\{ {{\text{(}}{E_0} + {E_1}{\text{)}}\varepsilon + \alpha {\varepsilon ^2} + \beta {\varepsilon ^3} + {E_2}{\theta _2}\dot \varepsilon \left[ {1 - \exp \left( { - \dfrac{\varepsilon }{{\dot \varepsilon {\theta _2}}}} \right)} \right]} \right\}{\left( {\dfrac{p}{{{p_0}}} + \varphi } \right)^{\lambda}}&\qquad\sigma {\text{≤}} {\sigma _{\text{s}}}\\ \exp \left[ { - {{\left( {\dfrac{\varepsilon }{\mu }} \right)}^\eta }} \right]\left\{ {{\sigma _{\text{s}}} + {E_2}{\theta _2}\dot \varepsilon \left[ {1 - \exp \left( { - \dfrac{\varepsilon }{{\dot \varepsilon {\theta _2}}}} \right)} \right]} \right\}{\left( {\dfrac{p}{{{p_0}}} + \varphi } \right)^{\lambda}}&\qquad\sigma {\text{＞}} {\sigma _{\text{s}}} \end{array} \right.$

(8)

2. 冻结砂土动态本构模型参数的确定

2.1 确定方法

推导的本构模型共有12个参数，其确定顺序和方法如下：首先，围压对比项p₀可根据试验条件进行设置，本次设置p₀=0.1 MPa；其次，根据相同负温和应变率试验条件下冻结砂土动态峰值应力与围压的关系，可拟合确定围压增强系数λ和冻结砂土的材料参数φ；再次，通过将不同应变率条件下的应力-应变曲线相减，能够得到E₂和θ₂的范围；而非线性体的4个参数E₀、E₁、α和β主要控制应力-应变曲线弹性段的增长速率，可利用Matlab软件中的lsqcurvefit命令，通过自定义曲线，拟合得到较优数值；然后，塑性体的屈服强度σ_s主要控制屈服点的位置，其值可根据试验得到的应力-应变曲线选取确定；最后，冻结砂土材料的损伤参数μ和η需要通过试算，以确定二者对应力-应变曲线的影响，而后通过拟合确定。

2.2 损伤参数 $\ \mu$ 和 $\eta$ 对应力-应变曲线的影响

采用式(8)的动态本构模型，以已有的冻结砂土动态试验数据为基础^[25]，研究了温度为−15 ℃、应变率为160 s⁻¹、主动围压为1.0 MPa时，损伤参数μ和η对冻结砂土动态应力-应变曲线的影响。由于主动围压固定，因此围压对比项p₀、围压增强因数λ和材料参数φ可不设置，模型其余参数经与试验数据拟合后确定为：E₀=5 030 MPa，E₁=60 MPa，E₂=210 MPa，α=−740 GPa，β=980 GPa，θ₂=0.1 ms，σ_s=9.52 MPa。

根据上述模型参数，获得了不同μ和η时冻结砂土的动态应力-应变曲线，如图3所示。可以看出：(1)不同μ和η条件下，应力-应变曲线的弹性阶段和屈服点基本不变，μ和η主要影响塑性阶段和破坏阶段曲线的特征。(2)当η=11.5时，μ值的改变对曲线形状的影响不大。随着μ的增大，塑性阶段占比逐渐增大，当μ由0.04依次增大到0.044、0.048和0.052时，曲线的峰值应力由11.48 MPa增大到11.57、11.66和11.73 MPa，增幅分别为0.78%、1.57%和2.18%，整体增幅较小；而峰值应变则由0.026 3增大到0.029 3、0.031 3和0.033 3，增幅分别为11.4%、19.0%和26.6%，出现小幅度增大。因此，μ主要影响曲线的峰值应变和塑性段的占比，而对峰值应力的影响较小。(3)当μ=0.048时，η的改变对曲线形状的影响较明显。随着η的增大，曲线中塑性阶段占比逐渐增大，且峰后阶段即破坏阶段的下降速率明显增大。当η由5.5依次增大到9.5、13.5和17.5时，峰值应力由11.22 MPa增大到11.57、11.72和11.8 MPa，增幅分别为3.12%、4.46%和5.17%；而峰值应变则由0.023 2增大到0.030 3、0.033 3和0.035 4，增幅分别为30.6%、43.5%和52.6%，增幅明显；此外，当η>13.5后，η的变化对曲线的影响逐渐减弱。

图 3 损伤参数μ和η对冻结砂土动态应力-应变曲线的影响

Figure 3. Effects of the damage parameters μ and η on the dynamic stress-strain curves of frozen sandy soil

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2.3 确定的模型参数

根据以上模型参数的确定方法，并结合损伤参数对应力-应变曲线的影响，对模型参数进行试算，最终确定了不同负温和主动围压下冻结砂土的动态本构模型参数，见表1。试验条件为^[25]：应变率为160 s⁻¹，温度为−5 ℃时的主动围压分别为0.5、1.0、1.5和2.0 MPa，温度为−15 ℃时的主动围压分别为0.5、1.0和2.0 MPa。

表 1 冻结砂土动态本构模型参数

Table 1. Dynamic constitutive model parameters of frozen sandy soil

温度/℃	围压/MPa	E₀/MPa	E₁/MPa	E₂/MPa	α/GPa	β/GPa	σ_s/MPa	θ₂/ms	λ	φ	μ	η
−5	0.5	1920	45	130	−420	590	3.28	0.1	0.15	7.2	0.036	11.5
−5	1.0	1920	45	130	−420	590	3.49	0.1	0.15	7.2	0.036	11.5
−5	1.5	1920	45	130	−420	590	3.73	0.1	0.15	7.2	0.036	11.5
−5	2.0	1920	45	130	−420	590	4.51	0.1	0.15	7.2	0.036	11.5
−15	0.5	5030	60	210	−740	980	8.12	0.1	0.45	7.2	0.036	11.5
−15	1.0	5030	60	210	−740	980	9.52	0.1	0.45	7.2	0.036	11.5
−15	2.0	5030	60	210	−740	980	12.81	0.1	0.45	7.2	0.036	11.5

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3. 冻结砂土动态本构模型与试验结果的对比

3.1 本构模型与试验应力-应变曲线的对比

图4为不同主动围压下冻结砂土动态本构模型曲线和试验结果^[25]的对比，可以看出，不同主动围压和负温下，本构模型曲线和试验结果^[25]吻合较好。本文中推导的本构模型能够体现围压作用下冻结砂土动态应力-应变曲线的弹性、塑性和破坏3阶段变化特征，也能够反映曲线中塑性阶段占比大以及弹塑性阶段拐点明显的特点，此外，该模型能够预测主动围压对峰值应力的增强作用。

图 4 不同主动围压下本构模型曲线与试验结果的对比

Figure 4. Comparison of dynamic stress-strain curves by the modified constitutive model with the test results^[25] under different active confining pressures

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3.2 本构预测误差分析

为分析本构模型对试验结果的预测误差，以应变为横坐标，以本构模型应力和试验应力的差为纵坐标，绘制了不同负温和主动围压下冻结砂土的应力差-应变曲线，见图5。总体来说，本构模型应力与试验应力的差较小，绝大部分可控制在±1 MPa范围内，其中最大正误差出现在弹性阶段（对应试验条件为温度−15 ℃、主动围压1.0 MPa），为1.79 MPa，最大负误差出现在破坏阶段（对应试验条件为温度−15 ℃、主动围压0.5 MPa），为−1.16 MPa。分析认为，冻结砂土动态应力-应变曲线弹性段的斜率主要受E₀、E₁、α和β的共同影响，而塑性和破坏阶段主要受σ_s、μ和η的控制。为进一步分析本构模型和试验结果的误差程度，计算了不同试验条件下冻结砂土的模型应力与试验应力的平均绝对误差、均方根误差和标准差，见表2。温度为−15 ℃、主动围压为2.0 MPa时的误差最小，平均绝对误差、均方根误差和标准差分别为0.125 MPa、0.193 MPa和0.158 MPa；平均绝对误差最大为0.677 MPa（对应试验条件为温度−5 ℃、主动围压1.5 MPa），均方根误差最大为1.034 MPa（对应试验条件为温度−15 ℃、主动围压1.0 MPa），标准差最大为0.794 MPa（对应试验条件为温度−15 ℃、主动围压1.0 MPa）。

图 5 不同温度和主动围压下冻结砂土应力误差-应变曲线

Figure 5. Stress error-strain curves of frozen sandy soil at different temperatures and active confining pressures

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表 2 不同试验条件下冻结砂土的模型应力与试验应力的平均绝对误差、均方根误差和标准差

Table 2. Mean absolute errors, root mean square errors and standard deviations between the dynamical stresses of frozen sandy soil by the established model and the test ones under different test conditions

温度/℃	围压/MPa	平均绝对误差/MPa	均方根误差/MPa	标准差/MPa
−5	0.5	0.130	0.195	0.174
−5	1.0	0.177	0.279	0.240
−5	1.5	0.677	0.907	0.751
−5	2.0	0.315	0.493	0.356
−15	0.5	0.585	0.701	0.715
−15	1.0	0.615	1.034	0.794
−15	2.0	0.125	0.193	0.158

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对于动态应力-应变曲线，峰值应力、屈服强度、峰值应变和屈服应变是冻结砂土最重要的力学和变形参数，这些参数对曲线特征的影响显著。因此，将本构模型对峰值应力、屈服强度、峰值应变和屈服应变的预测结果与试验数据进行对比，见图6。不同负温和主动围压等级下，本构模型对峰值应力的预测效果最佳，模型峰值应力与试验峰值应力的最大误差仅为0.13 MPa；其次预测效果较好的为屈服强度，模型屈服强度与试验屈服强度的最大误差为0.6 MPa；模型峰值应变和屈服应变与相应试验结果的最大误差分别为0.0039和0.00286，预测效果有待进一步改进。

图 6 不同温度和主动围压下本构模型对动态参数的预测结果与试验结果的对比

Figure 6. Comparison of predictions of dynamic parameters by the established constitutive model with the corresponding test results at different temperatures and active confining pressures

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4. 结　论

基于经典的ZWT模型，通过引入塑性模型元件，建立了能够考虑塑性变形的冻结砂土动态本构模型，研究了损伤参数μ和η对动态曲线和特征点的影响，分析了不同温度和主动围压等级下模型的预测效果，主要结论如下。

(1)本文中建立的本构模型能够较好地预测主动围压作用下冻结砂土动态应力-应变曲线的强度和变形特性，模型曲线具有明显的弹性、塑性和峰后破坏3个阶段，此外，模型能够反映曲线的塑性阶段占比大以及弹塑性阶段拐点明显的特点。

(2)损伤参数μ和η对动态应力-应变曲线弹性阶段和屈服点的影响很小，主要影响曲线塑性阶段和破坏阶段的变化，二者的增大都会导致塑性阶段占比增大；μ对应力-应变曲线形状和峰值应力的影响较小，当η=11.5时，随μ的增大，峰值应变增大，最大增幅为26.6%；η对应力-应变曲线形状和峰值应变的影响较明显，当μ=0.048时，随η的增大，曲线破坏阶段的下降速率明显加快，峰值应变增幅较明显，最高可达52.6%，η>13.5后，η的变化对曲线的影响逐渐减弱。

(3)在本次试验条件下，模型应力与试验应力的差较小，绝大部分可控制在±1 MPa范围内；模型对峰值应力的预测效果最好，试验峰值应力的最大误差仅为0.13 MPa；模型对屈服强度、屈服应变和峰值应变的预测效果依次变差。

图 1 主动围压作用下冻结黏土和冻结砂土的动态应力-应变曲线^[18-19]

Figure 1. Dynamic stress-strain curves of frozen clay and frozen sandy soil under active confining pressure^[18-19]

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图 2 考虑塑性变形的ZWT模型

Figure 2. The ZWT model established in consideration of plastic deformation

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图 3 损伤参数μ和η对冻结砂土动态应力-应变曲线的影响

Figure 3. Effects of the damage parameters μ and η on the dynamic stress-strain curves of frozen sandy soil

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图 4 不同主动围压下本构模型曲线与试验结果的对比

Figure 4. Comparison of dynamic stress-strain curves by the modified constitutive model with the test results^[25] under different active confining pressures

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图 5 不同温度和主动围压下冻结砂土应力误差-应变曲线

Figure 5. Stress error-strain curves of frozen sandy soil at different temperatures and active confining pressures

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图 6 不同温度和主动围压下本构模型对动态参数的预测结果与试验结果的对比

Figure 6. Comparison of predictions of dynamic parameters by the established constitutive model with the corresponding test results at different temperatures and active confining pressures

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表 1 冻结砂土动态本构模型参数

Table 1. Dynamic constitutive model parameters of frozen sandy soil

温度/℃	围压/MPa	E₀/MPa	E₁/MPa	E₂/MPa	α/GPa	β/GPa	σ_s/MPa	θ₂/ms	λ	φ	μ	η
−5	0.5	1920	45	130	−420	590	3.28	0.1	0.15	7.2	0.036	11.5
−5	1.0	1920	45	130	−420	590	3.49	0.1	0.15	7.2	0.036	11.5
−5	1.5	1920	45	130	−420	590	3.73	0.1	0.15	7.2	0.036	11.5
−5	2.0	1920	45	130	−420	590	4.51	0.1	0.15	7.2	0.036	11.5
−15	0.5	5030	60	210	−740	980	8.12	0.1	0.45	7.2	0.036	11.5
−15	1.0	5030	60	210	−740	980	9.52	0.1	0.45	7.2	0.036	11.5
−15	2.0	5030	60	210	−740	980	12.81	0.1	0.45	7.2	0.036	11.5

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表 2 不同试验条件下冻结砂土的模型应力与试验应力的平均绝对误差、均方根误差和标准差

温度/℃	围压/MPa	平均绝对误差/MPa	均方根误差/MPa	标准差/MPa
−5	0.5	0.130	0.195	0.174
−5	1.0	0.177	0.279	0.240
−5	1.5	0.677	0.907	0.751
−5	2.0	0.315	0.493	0.356
−15	0.5	0.585	0.701	0.715
−15	1.0	0.615	1.034	0.794
−15	2.0	0.125	0.193	0.158

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施引文献

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