Stress wave separation based on standard Hopkinson pressure bar set-up and unlimited duration of experiment data processing
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摘要: 在经典一维应力波理论基础上以及试件受力平衡假定成立的条件下，提出了一种在标准霍普金森压杆实验配置下实现杆中左、右行应力波分离的新方法，可简单有效地解决常规霍普金森压杆在长时实验时左、右行波信号重叠的问题，从而保证实验中的全部应变测试数据都可以加以利用，显著提高了霍普金森压杆的测试能力。给出了新的基于杆中左、右行应力波信号的实验数据处理公式。作为霍普金森压杆实验中经典数据处理公式的扩展，在测试信号不需要进行波分离处理的情况下，新的数据处理公式等同于经典公式。利用ABAQUS 有限元软件对霍普金森压杆实验进行了数值模拟，采用虚拟实验的方式，利用模拟测试点的应变信号进行了多种实验条件下的数据处理，对该应力波分离方法的有效性及误差进行了验证与评价。数值模拟结果表明，该应力波分离方法可以给出很好的数据处理结果。在标准霍普金森压杆上进行了部分实验并利用新的波分离方法及公式对数据进行处理，所得结果令人满意。Abstract: Based on the classical one-dimensional stress wave theory and the assumption of force equilibrium of the specimen, a new method for separating left-going and right-going stress waves on the standard Hopkinson pressure bar set-up is proposed. It can solve the problem of left-going and right-going stress wave signal overlapping in a standard Hopkinson pressure bar used for a long-duration experiment effectively and with simplicity. By introducing virtual strain measuring points at the specimen end of the incident bar and the free end of the transmission bar, the separation problem of stress waves in each bar which using only one strain gage is transformed into the two-point wave separation problem and then the separation of the left and right traveling stress waves is conveniently accomplished. In principle, this new method allows unlimited duration of test data analysis thus the overall experimental process can be analyzed. It thereby significantly enhances the test ability of the standard Hopkinson pressure bar. New experimental data processing formulas based on the left-going and right-going stress wave signals are presented. They are actually the generalizations of the classical data processing formulas. These new formula are equivalent to the classical formulas when the wave separation processing is unnecessary. Full model simulations of the split Hopkinson pressure bar experiment were carried out on the ABAQUS/Explicit finite element simulation platform. The simulated strain signals at the test positions then are processed in the way of virtual experiment under various experimental conditions. Based on this, the effectiveness and errors are verified or evaluated. The simulation result shows that this new stress wave separation method can give a good data processing result. Some experiments were carried out on a standard Hopkinson pressure bar apparatus with a 1-m-length incident bar and a 1-m-length transmission bar. The new wave separation technique and data process formulas were used. For the 2014 aluminum alloy test, the specimen stress and deformation progresses was clearly captured for the first and second loading process. For the aluminum foam test, a quasi-direct impact technique was used to achieve long-time continuous loading on the specimen and the experiment result was complete, clean and satisfactory.
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Key words:
- Hopkinson pressure bar /
- wave signal overlapping /
- wave separation /
- data processing
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作为标准的材料动态力学性能测试技术[1]，经典的分离式霍普金森压杆（split Hopkinson pressure bar，SHPB）实验的测试时长通常是有限的，绝大多数情况下小于1 ms。这是因为制造困难及空间成本使得它的系统杆长受到限制，且测试中还需要保证杆上测点位置的左、右行应力波不发生重叠。针对该问题已有多种解决方案，最简单直接的办法是使用超长的霍普金森杆系统，如Song等[2]介绍的装置，系统总长约27.4 m，由于沿用了经典的实验数据处理公式，所以长时加载能力并未得以完全发挥。除此之外，Zhao等[3]建造了液压加载并结合应力波分离反演技术的慢杆装置；Peroni 等[4]建造了超长储能式拉杆装置；Gilat等[5]建造了透射杆长达40 m、液压直接冲击加载的拉（压）杆装置。上述装置总体成本较高，使用者较少。
使用常规压杆系统也有可能实现长时实验，但需要首先解决应变测点上的应力波重叠问题，将杆中复合波信号中的左、右行波分离。早期的波分离方法基于经典一维波理论，由Lundberg等[6]和Yanagihara[7]分别独立提出，运用该方法时需要在每根杆上设置2个应变测点。该方法在工程上应用较多，在霍普金森杆中也有应用[8-9]。但由于不考虑杆中应力波传播时的弥散，且实际应用中两测点应变测量的一致性不易保证，因此未成为常规、普及的方法。近年来，脉冲整形技术在实验中得到了普遍应用，压杆中的应力波弥散已可受到相当程度的抑制[2]。经典二点法的最新应用见于Liu等[10]的工作，其应力波分离反演效果良好。
相比不计应力波弥散的经典波分离方法，在波分离处理过程中同时解决应力波弥散的问题是更理想的方案。Zhao等[3]最早给出了在频域进行应力波分离的方法和问题的基本控制方程及求解路线。此后，学者们针对此问题开展了进一步的研究，相关成果可参见Othman[11]的总结。总的来说，顾及应力波弥散的频域波分离方法或需要引入附加质点速度测试，在技术上不易实现；或需要每杆布置3个以上的应变测点才能获得良好的波分离结果[12-13]。由于在实验中保证多个位置的应变片测试单元具有一致的动力学响应特性并不容易，加之频域内的波分离问题属于所谓的病态问题，导致频域内的波分离方法虽已提出20多年，但仍然应用较少[14]。在经典一维波理论的基础上，Park等[15]提出了另一种更具实用性的解决方案，在标准压杆配置下直接实现了左、右行应力波分离。但因该方案要求在入射杆及透射杆上均存在自由面，导致其只能处理加载时长小于2Li/c0（Li为入射杆的长度，c0为杆中波速）的实验数据[11]。
基于此，本文中提出一种在常规标准压杆配置下实现左、右行应力波分离的新方法，该方法无需改变或只需轻微改变系统的配置，可简单有效地实现杆中的左、右行应力波的分离，实现在测点应力波重叠情况下无时长限制的冲击测试分析。
1. 经典霍普金森压杆配置下的波分离方法
1.1 霍普金森压杆实验方法
典型的分离式霍普金森压杆实验装置及测试系统如图1所示。冲击压缩载荷由撞击杆提供，试件被夹持在入射杆与透射杆之间，通过应变片1测得入射波应变信号εi(t)及反射波应变信号εr(t)，应变片2测得透射波应变信号εt(t)，试件两端的受力及变形可以利用经典一维应力波理论计算得到。
如果应变测试信号或入射杆及透射杆上的左、右行波是自然分离的，同时应力波传播的一维假定及试件受力平衡假定成立，约定压缩时的应变及应力为正，则试件在实验过程中的工程应变率
$\dot \varepsilon $ (t)、工程应变ε (t)及工程应力σ(t)[16]可以表示为：$$ \left\{ \begin{gathered} \dot \varepsilon (t) = - \frac{{2{c_0}}}{{{l_{\text{s}}}}}{\varepsilon _{\text{r}}}(t) \\ \varepsilon (t) = \int_0^t {\dot \varepsilon (t){\rm{d}}t} \\ \sigma (t) = \frac{{{A_{\text{s}}}}}{{{A_{\text{0}}}}}{E_0}{\varepsilon _{\text{t}}}(t) \\ \end{gathered} \right. $$ (1) $$ \left\{ \begin{gathered} \dot \varepsilon (t) = \frac{{2{c_{\text{0}}}}}{{{l_{\text{s}}}}}[{\varepsilon _{\text{i}}}(t) - {\varepsilon _{\text{t}}}(t)] \\ \varepsilon (t) = \int_0^t {\dot \varepsilon (t){\rm{d}}t} \\ \sigma (t) = \frac{{{A_{\text{s}}}}}{{{A_{\text{0}}}}}{E_{\text{0}}}{\varepsilon _{\text{t}}}(t) \\ \end{gathered} \right. $$ (2) 式中：A0为入射杆及透射杆的横截面面积，As为试件的横截面面积，ls为试件的长度，E0为杆的弹性模量。
式(1)即被普遍使用的经典二波法公式，式(2)与式(1)完全等价，但应用较少。在需要实现试件较大变形的测试中，使用式(2)更优[17-18]。式(1)～(2)在应用中还常涉及所谓对波头的问题[19]，有研究表明，若仅将杆上应变信号简单时移至与试件接触端而不追求应变与应力变量在起点对齐，处理结果将更好，且不存在因操作差异而引入的不确定性[20-21]。
1.2 入射杆及透射杆上的应力波分离
1.2.1 在经典实验配置下实现应力波分离的方法
设入射杆的材料弹性模量为Ei，杆横截面面积为Ai，杆波速为ci；透射杆的材料弹性模量为Et，杆横截面面积为At, 杆波速为ct；基于平衡假定，试件的入射及透射端受力大小相等、方向相反，记为Fs(t)。图2给出了在标准霍普金森压杆上实现应力波分离的方法。
图 2 入射杆及透射杆上应力波分离方法Figure 2. Separation of the stress waves in the incident and transmission bar与图1相比，图2(a)的压杆装置在透射杆与动能吸收杆之间存在一个间隙，该间隙宽度应保证其在实验过程中不闭合。当不使用动能吸收杆时[1]，则此间隙通常已存在。
标准压杆配置下的测点应力波分离可以通过以下方式实现：将图2(b)中的入射杆及透射杆向右扩展为图2(c)中的有限（或无限）长杆，同时在入射杆与试件接触端及透射杆的自由端设置虚拟的应变测点；对入射杆，设定虚拟测点应变εv1(t)=Fs(t)/AiEi；对透射杆，设定εv2(t)=0；显然，图2(b)中原入射杆、透射杆的受力及边界条件与图2(c)中原入射杆、透射杆部分的受力及边界条件相同，而扩展后的二杆均适用于经典二点波分离方法[6-7]；如此即可方便地使用二点法实现测点1和2位置的左、右行应力波分离。从图2(c)还可看出，此方法适用于任意的外部轴向载荷FLoad(t)。
1.2.2 入射杆及透射杆上的应力波分离
为方便起见，选择压缩时的应变及应力为正，同时暂设实验过程中试件与入射杆及透射杆始终保持接触。
用上标R及L分别表示右行及左行波；记应变片1到试件端的距离为Lsg1，测试信号为ε1(t)，虚拟应变片测试信号为εv1(t)，Δt1=Lsg1/ci；应变片2到试件端的距离为Lsg2，到自由端的距离为Lg2free，测试信号为ε2(t)，虚拟应变片测试信号为εv2(t)，Δt2=Lg2free/ct，Δtsg2=Lsg2/ct；入射杆右端面Ⅰ上质点速度及位移为vⅠ(t)、uⅠ(t)，透射杆左端面Ⅱ上质点速度及位移为vⅡ(t)、uⅡ(t)；试件在入射端受力FI(t)，在透射端受力FⅡ(t)。各相关物理量见图3。按平衡假定，有FⅠ(t)= FⅡ(t)= Fs(t)。
图 3 测点及端面位置的左、右行应力波及质点运动Figure 3. Left-going, right-going waves and the particle motion at the measuring position and end face对入射杆，将信号以时间间隔Δt1进行分段，沿用文献[10]中给出的递推式及时间参考点选取方式，有：
$$ \begin{array}{ll} \left\{ \begin{gathered} \varepsilon _{\text{1}}^{\text{R}}(t) = {\varepsilon _{\text{1}}}(t) \\ \varepsilon _{\text{I}}^{\text{L}}(t) = \varepsilon _{{\text{v1}}}^{\text{L}}(t) = 0 \\ \end{gathered} \right. & \qquad{t} {\text{≤}} \Delta {t_{\text{1}}} \\ \left\{ \begin{gathered} \varepsilon _{\text{1}}^{\text{R}}(t) = {\varepsilon _{\text{1}}}(t) - {\varepsilon _{{\text{v1}}}}(t - \Delta {t_{\text{1}}}) + \varepsilon _{\text{1}}^{\text{R}}(t - 2\Delta {t_{\text{1}}}) \\ \varepsilon _{{\text{v1}}}^{\text{L}}(t) = {\varepsilon _{{\text{v1}}}}(t) - {\varepsilon _{\text{1}}}(t - \Delta {t_{\text{1}}}) + \varepsilon _{{\text{v1}}}^{\text{L}}(t - 2\Delta {t_{\text{1}}}) \\ \end{gathered} \right.& \qquad {t} {\text{＞}} \Delta {t_{\text{1}}} \end{array} $$ (3) $$ \left\{ \begin{gathered} \varepsilon _{\text{1}}^{\text{L}}(t) = {\varepsilon _{\text{1}}}(t) - \varepsilon _{\text{1}}^{\text{R}}(t) \\ \varepsilon _{\text{I}}^{\text{R}}(t) = \varepsilon _{{\text{v1}}}^{\text{R}}(t) = {\varepsilon _{{\text{v1}}}}(t) - \varepsilon _{{\text{v1}}}^{\text{L}}(t) \\ \varepsilon _{\text{I}}^{\text{L}}(t) = \varepsilon _{{\text{v1}}}^{\text{L}}(t) \\ \end{gathered} \right.{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} $$ (4) 入射杆端面Ⅰ处的轴向力及质点速度可表示为：
$$ \left\{\begin{gathered}F_{\text{Ⅰ}}(t)=E_{\text{i}}A_{\text{i}}[\varepsilon_{\text{Ⅰ}}^{\text{R}}(t)+\varepsilon_{\text{Ⅰ}}^{\text{L}}(t)]=F_{\text{Ⅱ}}(t)=F_{\text{s}}(t) \\ v_{\text{Ⅰ}}(t)=c_{\text{i}}[\varepsilon_{\text{Ⅰ}}^{\text{R}}(t)-\varepsilon_{\text{Ⅰ}}^{\text{L}}(t)] \\ \end{gathered}\right. $$ (5) 对透射杆，以时间间隔Δt2对数据进行分段，采用同样的二点法递推式并利用εv2(t)=0，可得：
$$ \begin{array}{ll} \left\{ \begin{gathered} \varepsilon _{\text{2}}^{\text{R}}(t) = {\varepsilon _{\text{2}}}(t) \\ \varepsilon _{{\text{v2}}}^{\text{L}}(t) = 0 \\ \end{gathered} \right.&\qquad {t} {\text{≤}} \Delta {t_{\text{2}}} \\ \left\{ \begin{gathered} \varepsilon _{\text{2}}^{\text{R}}(t) = {\varepsilon _{\text{2}}}(t) + \varepsilon _{\text{2}}^{\text{R}}(t - 2\Delta {t_{\text{2}}}) \\ \varepsilon _{{\text{v2}}}^{\text{L}}(t) = - {\varepsilon _{\text{2}}}(t - \Delta {t_{\text{2}}}) + \varepsilon _{{\text{v2}}}^{\text{L}}(t - 2\Delta {t_{\text{2}}}) \\ \end{gathered} \right. & \qquad {t} {\text{＞}} \Delta {t_{\text{2}}} \end{array} $$ (6) $$ \left\{ \begin{gathered} \varepsilon _{\text{2}}^{\text{L}}(t) = {\varepsilon _2}(t) - \varepsilon _{\text{2}}^{\text{R}}(t) \\ \varepsilon _{{\text{v2}}}^{\text{R}}(t) = - \varepsilon _{{\text{v2}}}^{\text{L}}(t) \\ \end{gathered} \right.{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} $$ (7) 透射杆端面Ⅱ处的左、右行波及轴向力可以表示为：
$$ \left\{\begin{gathered}\varepsilon_{\text{Ⅱ}}^{\text{R}}(t)=\varepsilon_{\text{2}}^{\text{R}}(t-\Delta t_{\text{sg2}}) \\ \varepsilon_{\text{Ⅱ}}^{\text{L}}(t)=\varepsilon_{\text{2}}^{\text{L}}(t+\Delta t_{\text{sg2}}) \\ F_{\text{Ⅱ}}(t)=E_{\text{t}}A_{\text{t}}\left[\varepsilon_{\text{Ⅱ}}^{\text{R}}(t)+\varepsilon_{\text{Ⅱ}}^{\text{L}}(t)\right]=F_{\text{s}}(t) \\ v_{\text{Ⅱ}}(t)=c_{\text{t}}\left[\varepsilon_{\text{Ⅱ}}^{\text{R}}(t)-\varepsilon_{\text{Ⅱ}}^{\text{L}}(t)\right] \ \end{gathered}\right. $$ (8) 注意到递推公式（式(3)）中需要用到虚拟测点信号εv1(t)=Fs(t)/EiAi，因此应力波的分离处理需要首先在透射杆上进行，在确定Fs(t)之后再进行入射杆中应力波的递推分离。
1.3 应力波重叠情况下以左、右行波信号表示的SHPB实验数据处理公式
1.3.1 试件-压杆保持接触时的实验数据处理公式
依定义并利用式(5)和(8)，采用试件透射端应力作为试件应力，可写出试件的工程应力、工程应变率及工程应变计算式：
$$ \left\{\begin{gathered}\dot{\varepsilon}(t)=\frac{v_{\text{Ⅰ}}-v_{\text{Ⅱ}}}{L_{\text{s}}}=\frac{c_{\text{i}}[\varepsilon_{\text{Ⅰ}}^{\text{R}}(t)-\varepsilon_{\text{Ⅰ}}^{\text{L}}(t)]-c_{\text{t}}[\varepsilon_{\text{Ⅱ}}^{\text{R}}(t)-\varepsilon_{\text{Ⅱ}}^{\text{L}}(t)]}{L_{\text{s}}} \\ \varepsilon(t)=\int_0^t\dot{\varepsilon}(t){\rm{d}}t \\ \sigma(t)=\frac{E_{\text{t}}A_{\text{t}}[\varepsilon_{\text{Ⅱ}}^{\text{R}}(t)+\varepsilon_{\text{Ⅱ}}^{\text{L}}(t)]}{A_{\text{s}}} \\ \end{gathered}\right. $$ (9) 式(9)即为一般测试条件下的简化三波法霍普金森压杆实验数据处理公式[20]。对于标准的霍普金森压杆系统，通常有Ei=Et=E0，Ai=At=A0，ci=ct=c0。利用力平衡条件
$F_{\mathrm{s}}(t)=E_0A_0[\varepsilon^{\mathrm{R}}_{\text{Ⅰ}}(t)+ \varepsilon^{\mathrm{L}}_{\text{Ⅰ}}(t) ]= E_0A_0[\varepsilon^{\mathrm{R}}_{\text{Ⅱ}}(t)+ \varepsilon^ {\mathrm{L}}_ {\text{Ⅱ}}(t)] $ ，可得：$$ \left\{\begin{gathered}\dot{\varepsilon}(t)=\frac{2c_{\text{0}}}{L_{\text{s}}}[\varepsilon_{\text{Ⅰ}}^{\text{R}}(t)-\varepsilon_{\text{Ⅱ}}^{\text{R}}(t)] \\ \varepsilon(t)=\int_0^t\dot{\varepsilon}(t){\rm{d}}t \\ \sigma(t)=\frac{E_{\text{0}}A_{\text{0}}}{A_{\text{s}}}[\varepsilon_{\text{Ⅱ}}^{\text{R}}(t)+\varepsilon_{\text{Ⅱ}}^{\text{L}}(t)] \\ \end{gathered}\right. $$ (10) 式(10)还有一个等效形式：
$$ \left\{\begin{gathered}\dot{\varepsilon}(t)=-\frac{2c_{\text{0}}}{L_{\text{s}}}[\varepsilon_{\text{Ⅰ}}^{\text{L}}(t)-\varepsilon_{\text{Ⅱ}}^{\text{L}}(t)] \\ \varepsilon(t)=\int_0^t\dot{\varepsilon}(t){\mathrm{d}}t \\ \sigma(t)=\frac{E_{\text{0}}A_{\text{0}}}{A_{\text{s}}}[\varepsilon_{\text{Ⅱ}}^{\text{R}}(t)+\varepsilon_{\text{Ⅱ}}^{\text{L}}(t)] \\ \end{gathered}\right. $$ (11) 式(10)即本文中各个数值模拟和实测实验数据处理时使用的公式。对比式(2)，并结合图3可以看出，式(10)为式(2)的直接推广，可应用于测点应力波重叠时的实验数据处理。当测试信号中左、右行波本身自然分离时，数据处理所使用的截断信号中
$\varepsilon ^{\mathrm{R}}_{\text{Ⅰ}}(t) = \varepsilon_{\mathrm{i}} (t)，\varepsilon^{\mathrm{R}}_{\text{Ⅱ}}(t) = \varepsilon_{\mathrm{t}}(t) $ ，式(10)退化到式(2)。式(11)则是经典二波法公式（式(1)）的推广，当测点信号中左、右行波本身自然分离时，截断信号中由自由面反射而来的左行波$\varepsilon^{\rm{L}}_{\text{Ⅱ}}(t)=0 $ ，此时$\varepsilon _{\rm{r}}(t)= \varepsilon^{\rm{ L}}_{\text{Ⅰ}}(t)$ ，式(11)退化到式(1)。1.3.2 试件与压杆脱离时的应变率、应变计算修正
式(9)～(11)给出的实验数据处理公式仅在试件与压杆始终保持接触时成立，然而在某些情况下，试件与压杆在卸载和重新加载过程中可能出现脱离及重新接触，此时仅需对试件应变率、应变计算作出修正：当卸载过程中杆-试件接触应力幅值减小到零且保持为零，同时试件应变继续下降时，即认为试件与压杆脱离；当应力幅值重新从零开始持续上升时，则认为试件被重新加载；在试件与压杆脱离的时间范围内，试件应变率应为零，应变保持不变。上述处理可能在试件与杆的后续运动中发生单面碰撞时带来某种处理误差，但这种误差非常微小，可以忽略。
1.4 波分离的数据处理方法引入的误差
除试件与压杆接触的局部效应外，霍普金森压杆实验的误差主要来自杆中的应力波弥散及试件的惯性。与经典的数据处理方法相比，在长时测试时，波分离递推过程中还会引入相应的累积误差。压杆中应力波传播弥散导致的实验数据处理误差一直备受关注[11]。而在长时实验波分离递推计算时，因为弥散误差累积，在传统实验中影响相对较小的系统噪声也可能因递推累积变得较严重。Meng等[22]、Bussac等[23]和Jacquelin等[12]都曾针对这些问题做过分析。总的来说，关于波分离过程中的误差并不易给出定量的、普遍性的结论。本文中将从实用的角度，利用数值模拟方法从整体上讨论、评价波分离方法引入的误差及该方法的有效性。
2. 基于波分离的数据处理方法的仿真检验
2.1 压杆实验的有限元模型及仿真检验方法
关于弹性波在杆中传播或压杆实验中的诸多问题，有限元模拟已被广泛应用并取得了良好结果[24-25]。为评估波分离方法的有效性，利用ABAQUS软件搭建了完整的霍普金森压杆实验装置模型，如图4所示。
图 4 霍普金森压杆有限元仿真模型Figure 4. Finite element simulation model of the Hopkinson pressure bar相应的评估工作采用虚拟实验的方式进行：首先，利用模型中各测点应变信号进行波分离及后续处理得到杆-试件界面处的轴向力、质点速度及质点位移以及试件的应力、应变率及应变；然后，利用模型上直接提取的相关物理量计算得到相对应的参考物理量。将这些量进行比较，可评价波分离方法的有效性及准确程度。参考应力、应变及应变率的计算采用简化三波法[20]：
$$ \left\{\begin{gathered}\dot{\varepsilon}_{\text{ref}}(t)=[v_{\mathrm{ref}\text{Ⅰ}}(t)-v_{\mathrm{ref}\text{Ⅱ}}(t)]/L_{\text{s}} \\ \varepsilon_{\text{ref}}(t)=\int_0^t\dot{\varepsilon}_{\text{ref}}(t){\rm{d}}t \\ \sigma_{\text{ref}}(t)=F_{\mathrm{ref}\text{Ⅱ}}(t)/A_{\mathrm{s}} \\ \end{gathered}\right. $$ (12) 式中：vrefⅠ(t)和vrefⅡ(t)为仿真模型上直接读出的入射杆端面Ⅰ和透射杆端面Ⅱ上的平均质点速度，FrefⅡ(t)为透射杆端面Ⅱ处试件-杆端面的接触力。
仿真实验应变及应力处理结果的误差定义为：
$$ \left\{ \begin{gathered} {\delta_\varepsilon }(t) = [{\varepsilon _{\text{s}}}(t) - {\varepsilon _{{\text{ref}}}}(t)]/{\varepsilon _{{\text{ref}}}}(t) \\ {\delta_\sigma }(t) = [{\sigma _{\text{s}}}(t) - {\sigma _{{\text{ref}}}}(t)]/{\sigma _{{\text{ref}}}}(t) \\ \end{gathered} \right. $$ (13) 式中：εs和σs分别为采用波分离方法、利用式(10)计算得到的试件应变和应力。
经比较，采用三维实体单元来构建有限元仿真模型，同时利用问题的轴对称性质将其简化为剖面法向运动受约束的1/4模型。数值仿真中对泡沫铝材料采用了可压溃泡沫模型，有关的参数取自文献[26]，其他材料模型及参数见表1，表中：Tm为材料的熔化温度；T0为转化温度；A、B、n和m为在参考应变率下且温度低于T0时测得的J-C模型材料参数，A为初始屈服应力，B、n为幂型硬化参数，m为热软化指数；C为应变率系数。压杆系统的几何参数及仿真时的单元参数见表2。其中单元网格尺寸是在模型网格敏感性分析完成后确定的。
表 1 试件材料常数及J-C模型参数Table 1. Parameters of materials and J-C model for specimens材料 密度/(kg·m−3) 模量/GPa 泊松比 A/MPa B/MPa n m Tm/K T0/K C 弹簧钢 7 850 206 0.295 无氧铜 8 960 124 0.340 90 292 0.31 1.09 1 356 298 0.025 表 2 压杆、试件及整形器的几何参数、单元尺寸及材料Table 2. Geometries, element sizes and materials of bars, specimens and shaper部件 直径/mm 长度（厚度）/mm 最大网格尺寸/mm 材料 $\varnothing $16 mm入射、透射杆 16.0 1 000.0 1.00 弹簧钢 $\varnothing $16 mm撞击杆 16.0 300.0 1.00 弹簧钢 $\varnothing $50 mm入射、透射杆 50.0 1 600.0 2.50 弹簧钢 $\varnothing $50 mm撞击杆 50.0 1 600.0 2.50 弹簧钢 无氧铜试件 8.0 6.0 0.80 无氧铜 泡沫铝试件 30.0 15.0 1.50 泡沫铝 脉冲整形片 6.4 0.5, 1.0 0.25 无氧铜 2.2 波分离数据处理方法的仿真验证
2.2.1 反射加载实验
对于常规的材料测试，入射杆中的应力波反射有时可形成对试件的二次或多次加载。图5给出了利用
$\varnothing $ 16 mm压杆对无氧铜试件（参数见表1～2）进行模拟测试及波分离处理的结果，计算时的撞击速度为20 m/s，使用了一个$\varnothing $ 6.4 mm、厚度为1.0 mm的无氧铜整形片。在图中可以看到杆中应力波的多次反射（此算例中有效的反射加载仅一次）而左、右行应力波已有一定程度的重叠，若使用经典数据处理公式，则实验中需要使用更短的撞击杆。入射杆测点位置上被分离的左、右行波波形有明显的附加振荡，这种振荡在透射杆中轻微得多，这是由于被测试的铜试件是另一个优良的整形器。
图 5 测试信号及杆中应力波分离（$\varnothing $ 16 mm）Figure 5. Test signals and the separation of stress waves in the bars ($\varnothing $ 16 mm)数据处理后得到的应力-应变曲线及应变率-应变曲线如图6(a)所示，与从模型上直接读取数据所得的参考曲线十分接近，表明波分离处理的应变、应力计算结果相当精确。尽管实验中存在一个卸载过程，反射二次加载仍使试件的应变测试范围显著增大，而反射加载时的应变率则有所降低。如果有必要，可以通过加大压杆直径来减小应变率的降低幅度。该实验方法最早由Lindholm[27]提出，在使用波分离方法处理数据时，这种一次反射或更多次反射加载时的试件受力及变形的状况将自动地包含在处理结果中。
图 6 应力-应变及应变率-应变曲线及波分离方法的应力、应变计算误差Figure 6. Stress-strain and strain rate-strain curves and errors of calculation with wave separation method图6(b)给出了在二次加载测试范围内计算所得的应力及应变的误差，可以看出，除加载起始部分外，应变计算结果的误差非常小；而除首次及第2次加载起始部分，应力计算结果的误差也可接受。需要指出的是，加载起始部分的较大计算误差主要是由应力波传播弥散（被忽略）造成的。
2.2.2 准直接撞击加载实验
当试件的抗力远小于入射杆中脉冲力幅值时，标准的压杆系统可以实现对试件的反射多次加载。对于材料动态应力-应变曲线测试，多次加载方式并不适用，此时可采用准直接撞击加载实验方式，即采用等长的撞击杆及入射杆进行冲击实验[28]，按照经典一维波理论，其等同于直接撞击加载（由于二维效应，实际上只是接近于直接撞击加载）。该方法可避免直接撞击实验时杆-试件接触不够好以及撞击杆上信号不易测量的缺点。模拟中采用了
$\varnothing $ 50 mm的压杆及泡沫铝试件，相关参数见表2，撞击杆与入射杆等长，撞击速度为2.5 m/s，未使用整形器。图7给出了杆中测点信号及左、右行波分离的情况。可以看到，入射杆中的测试信号及分离出的左、右行波信号振荡较严重，这在使用较大直径杆且未使用整形器时是常见的（在真实的实验中，由于接触并非理想，这种振荡要弱一些）。但此振荡并不会对由相关信号积分得到的试件应变结果带来大的误差。由于泡沫试件的整形作用，透射杆中的测试信号及分离出的左、右行波信号均很平滑，说明应力波弥散的影响很小，波分离方法可以给出相当精确的试件右端面应力值。
图 7 准直接撞击实验测试信号及应力波分离Figure 7. Test signal and the wave separation for the quasi-direct impact experiment图8为由信号处理得到的相关结果。从图8(a)中的应变率曲线可以看到，此方法可以良好地实现对试件的稳定应变率持续加载，但应变率在波反射衔接处有一定程度的振荡，这是目前准直接撞击加载方法的一个不足。计算得到的应力-应变曲线与参考曲线吻合良好。图8(b)给出了应力和应变的计算误差，可以看到，应变误差非常小，可以忽略。图中的应力误差曲线则存在一定程度的振荡，这种振荡仍是因透射杆中应力波分离计算时忽略了应力波弥散造成的，在这里，该误差是可接受的。
图 8 准直接撞击大变形冲击压缩实验Figure 8. Quasi-direct impact compression experiment for large deformation3. 波分离方法在标准压杆实验上的应用
在
$\varnothing $ 16 mm标准压杆装置（图9）上进行了2种材料的动态力学性能实测。其入射杆及透射杆长均为1 m，杆材为高强弹簧钢。测试中使用了栅长为2 mm的箔式应变片，贴片位置如图4所示。为得到足够好的波分离结果，与杆长及贴片位置有关的几个时间常数需要精确标定[29]。数据采集设备为NI-5112数字化仪，具有100 MHz的最高采样频率及14位的分辨率。为抑制噪声，在应变放大器上使用了500 kHz硬件低通滤波。
图 9 实验用分离式霍普金森压杆系统Figure 9. The split Hopkinson pressure bar device used in the experiment3.1 2014硬铝合金二次加载实验
通常情况下，在不太高的应变率下，韧性金属试件的冲击压缩剪切破断在标准霍普金森压杆实验上并不易实现，但利用入射杆应力波的反射二次加载则可以实现这一目标。试件材料为2014硬铝合金，尺寸为
$\varnothing $ 6.0 mm×6.0 mm。撞击杆杆长320 mm，实验弹速约20 m/s。为改善试件的力平衡及减小应力波弥散的影响，实验中使用了一个$\varnothing $ 6.0 mm×0.5 mm的电工纯铜整形片。图10给出了2014硬铝合金二次加载实验测得的应变信号及左、右行应力波分离结果，可以看出，入射杆上分离出的应力波信号噪声累积现象比较明显，由于两杆测试信号通道的噪声特性几乎完全相同，对比入射杆与透射杆上的左、右行波零值线附近的信号振荡状况，可知系统噪声、应力波弥散及试件力平衡近似均对此有贡献，且后两个因素的影响更大。
图11(a)为数据处理得到的应力-应变和应变率-应变曲线，可以看出，初次加载时试件的最大应变未达破断点，而二次加载则造成试件的剪切破断，其在图中表现为应力幅值显著下降的同时应变率增大。实验中试件与压杆在卸载时已有脱开现象，因而利用1.3.2节所述方法对应变计算作了部分修正（图11(b)）。由于零应力点附近信号波形振荡比较严重，且试件与两杆的重接触通常不完全同步，因此试件-杆端面脱离引起的计算误差不易完全消除。
图 11 二次加载应力-应变、应变率-应变曲线及其修正Figure 11. Stress-strain, strain rate-strain curves and their corrections under secondary loading3.2 泡沫铝准直接撞击大变形压缩实验
原理上，准直接撞击实验应使用等长的入射杆与撞击杆。本次实验中则使用了长1.02 m、稍长于入射杆的撞击杆，可在一定程度上减小前次加载脉冲与后续反射加载脉冲衔接时的加载速度抖动。泡沫铝试件直径12 mm，高10 mm，撞击杆初速约6 m/s，未使用整形器。由于试件变形抗力非常小，对应其应力平台区的测点应变仅为2×10−5，因而在透射杆中使用了半导体应变片，其灵敏度约为箔式片的50倍。数据处理时对信号作了100 kHz软件滤波以进一步抑制系统噪声。在半导体应变片同一轴向位置还粘贴了一对箔式应变片，用于测试结果的比较及半导体应变片灵敏度的标定。为保证半导体应变片在实验中工作在线性良好的区域[30]，改用了
$\varnothing $ 25 mm的透射杆，对这种不等径的压杆系统需要使用式(9)来计算试件的受力及变形。图12给出了泡沫铝准直接撞击大变形压缩实验的测试信号及应力波分离结果，其中透射杆上的信号由半导体应变片测得。入射杆测试信号及分离出的左、右行波振荡较明显，但其对应变的计算影响很小。透射杆上无论是测试信号还是分离出的左、右行波信号都很干净。图13(a)为最终得到的应力-应变和应变率-应变曲线。可以看到，应力-应变曲线清晰平滑，而且与同一位置使用箔式应变片测试并处理出的结果相比，总体吻合度很高，说明所使用的半导体应变片的线性度足以满足信号多次递推叠加的要求。图13(b)给出了全部测试时间内的应力测量时程曲线，可以看到，在有效测试记录2.3 ms之后，试件已与杆脱离，杆端应力应为零。
图 13 准直接撞击加载时的应力-应变、应变率-应变曲线及应力时程Figure 13. Stress-strain and strain rate-strain curves and stress history under quasi-direct impact loading如果以零应力测量偏差与最大应力之比作为波分离质量的评价指标[13]，则在未对数据作平滑处理的情况下，该比值小于7%；如果对结果适当平滑（rloess, span=0.005）[31]，则该比值小于2%（图13(b)）。值得注意的是，本文中的实验仅使用了长1 m的入射杆及透射杆，若采用更长且杆径更大的压杆，则不难实现泡沫类材料或其他软材料在更低应变率下的大变形测试。
4. 结 论
基于经典一维应力波理论及试件受力平衡假定，提出了一种在测点应力波重叠情况下无测试时间限制的霍普金森压杆实验测试方法，该方法基于标准的压杆系统配置，通过引入试件端及自由端处的虚拟应变片测点，在不需增加任何成本的情况下，即可简单地实现入射杆及透射杆上的应力波分离。给出了新的，在测点应力波重叠条件下以左、右行波表示的压杆实验数据处理公式，这些公式与经典的压杆实验数据处理公式兼容，是经典公式的推广。实用中，除了要求透射杆末端在测试时间范围内保持为自由面这一易于满足的附加条件外，该方法可直接应用于标准压杆实验。本文中有关的推导是基于霍普金森压杆进行的，但稍作变化后该方法也适用于霍普金森拉杆及扭杆。
从有限元模拟实验的情况看，该方法在压杆实验中可获得良好的实验处理结果。除去本文中已介绍的应用场景，该技术可以处理由入射杆输入端（即通常的撞击端）输入的任意轴向荷载，可非常方便地应用于压拉复合加载、单次加载[32]等实验。
原理上，新的波分离方法可以处理无限时长的实验数据，但一维波及试件力平衡近似带来的误差仍难以完全避免，这些误差还会因波分离递推运算产生累积；因为递推处理，系统噪声的影响也会随时间递增。在实际应用中，使用合适的脉冲整形器可以减小弥散及试件非完全力平衡带来的误差；增加各杆的长度则可以减少递推次数从而减小误差累积，同时也可以提高系统的长时加载能力；由于长时或超长时实验时测试信号与常规压杆实验测试信号相比通常变化较缓慢，恰当地使用数据滤波或平均处理可以有效减小噪声，且不会对处理结果产生不良影响。
感谢杨黎明教授仔细审阅本文中有关应力波反演的推导过程，与作者就文中多个问题的细节进行了讨论并提出多处修改意见，感谢郑宇轩教授提出的有关波分离方法的意见!
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图 2 入射杆及透射杆上应力波分离方法
Figure 2. Separation of the stress waves in the incident and transmission bar
图 3 测点及端面位置的左、右行应力波及质点运动
Figure 3. Left-going, right-going waves and the particle motion at the measuring position and end face
图 4 霍普金森压杆有限元仿真模型
Figure 4. Finite element simulation model of the Hopkinson pressure bar
图 5 测试信号及杆中应力波分离（
$\varnothing $ 16 mm）Figure 5. Test signals and the separation of stress waves in the bars (
$\varnothing $ 16 mm)
图 6 应力-应变及应变率-应变曲线及波分离方法的应力、应变计算误差
Figure 6. Stress-strain and strain rate-strain curves and errors of calculation with wave separation method
图 7 准直接撞击实验测试信号及应力波分离
Figure 7. Test signal and the wave separation for the quasi-direct impact experiment
图 8 准直接撞击大变形冲击压缩实验
Figure 8. Quasi-direct impact compression experiment for large deformation
图 9 实验用分离式霍普金森压杆系统
Figure 9. The split Hopkinson pressure bar device used in the experiment
图 11 二次加载应力-应变、应变率-应变曲线及其修正
Figure 11. Stress-strain, strain rate-strain curves and their corrections under secondary loading
图 13 准直接撞击加载时的应力-应变、应变率-应变曲线及应力时程
Figure 13. Stress-strain and strain rate-strain curves and stress history under quasi-direct impact loading
表 1 试件材料常数及J-C模型参数
Table 1. Parameters of materials and J-C model for specimens
材料 密度/(kg·m−3) 模量/GPa 泊松比 A/MPa B/MPa n m Tm/K T0/K C 弹簧钢 7 850 206 0.295 无氧铜 8 960 124 0.340 90 292 0.31 1.09 1 356 298 0.025 
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表 2 压杆、试件及整形器的几何参数、单元尺寸及材料
Table 2. Geometries, element sizes and materials of bars, specimens and shaper
部件 直径/mm 长度（厚度）/mm 最大网格尺寸/mm 材料 $\varnothing $16 mm入射、透射杆 16.0 1 000.0 1.00 弹簧钢 $\varnothing $16 mm撞击杆 16.0 300.0 1.00 弹簧钢 $\varnothing $50 mm入射、透射杆 50.0 1 600.0 2.50 弹簧钢 $\varnothing $50 mm撞击杆 50.0 1 600.0 2.50 弹簧钢 无氧铜试件 8.0 6.0 0.80 无氧铜 泡沫铝试件 30.0 15.0 1.50 泡沫铝 脉冲整形片 6.4 0.5, 1.0 0.25 无氧铜
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