A constitutive model for ceramic materials including microstructural features and damage factor
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摘要: 为了研究不同微结构陶瓷材料的冲击破坏特征,以从微结构角度出发、描述陶瓷材料非弹性变形和断裂行为的Deshpande-Evan模型为基础构建本构模型,计算了无约束条件下材料的应力状态。为了验证改进模型的有效性,将VUMAT子程序编程方法将与ABAQUS有限元软件相结合,并将其应用于典型陶瓷材料(YAG透明陶瓷)冲击破坏过程的分析模拟。采用改进模型分析应变率、应力三轴度、晶粒尺寸及初始缺陷分布密度对YAG透明陶瓷动态力学行为和损伤演化机制的影响规律。结果表明:随着晶粒尺寸和裂纹分布密度的增加,YAG透明陶瓷破坏程度随之加剧,完全损伤区域面积也随之增加,晶粒尺寸对YAG透明陶瓷宏观破坏特征的影响程度要大于裂纹分布密度;YAG透明陶瓷失效强度以及断裂应变随着晶粒尺寸以及初始缺陷分布密度的增大而减小;随着应变率不断增加,YAG透明陶瓷在不同晶粒尺寸以及初始缺陷分布密度下的峰值应力和断裂应变均随之增加;裂纹扩展速度会随着晶粒尺寸的增加呈现出先增加而后平缓的趋势,裂纹扩展速度与初始缺陷分布密度系数成线性关系。改进模型可以描述YAG透明陶瓷微结构对其宏观破坏特征的影响,为进一步分析微结构对陶瓷材料宏观破坏特征的影响提供支撑。Abstract: In order to study the impact failure characteristics of ceramic materials with different microstructures, a constitutive model was constructed based on the Deshpande-Evan model which describes the inelastic deformation and fracture behavior of ceramic materials from the perspective of microstructure and the stress state of the material is calculated without considering the constraint condition. In order to verify the validity of the improved model, VUMAT subroutine programming method was used to combine it with ABAQUS finite element software, and it was applied to the analysis and simulation of the impact failure process of typical ceramic materials (YAG transparent ceramics). The effects of strain rate, stress triaxiality, grain size and crack distribution density on the dynamic mechanical behavior and damage evolution mechanism of YAG transparent ceramics were analyzed by using the improved model. The results show that with the increase of grain size and crack distribution density, the damage degree of YAG transparent ceramics increases, and the area of complete damage area increases. The influence of grain size on the macroscopic failure characteristics of YAG transparent ceramics is greater than that of crack distribution density. The failure strength and fracture strain of YAG transparent ceramics decrease with the increase of grain and crack distribution density. With the increase of the strain rate, the peak stress and fracture strain of YAG transparent ceramics under the influence of different factors (grain size as well as initial defect distribution density) increase. With the increase of grain size, the crack propagation speed of YAG transparent ceramics increases first and then flattens out, which is linearly related to the crack distribution density coefficient. The improved model can describe the influence of YAG transparent ceramic microstructure on its macroscopic failure characteristics, and provide support for further analysis of the influence of microstructure on the macroscopic failure characteristics of ceramic materials.
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陶瓷材料的冲击破坏特性不仅受到宏观外载荷条件影响,更与材料内部微结构[1-2]密不可分。陶瓷微结构是指陶瓷材料的基本组成和内部结构,包括晶体、晶界、相界、孪生、颗粒、缺陷等,对于材料的动态力学行为有着重要影响。上述微结构会在外力作用下不断演化,晶粒会因为滑移、位错而产生变形,微裂纹会在初始缺陷处萌生并不断扩展,最终形成宏观裂纹导致材料断裂。晶格变形以及裂纹扩展都会对陶瓷材料的抗冲击性能产生不利影响。图1为陶瓷的典型微结构特征及缺陷类型。
为深入分析微结构对陶瓷材料宏观破坏特征的影响规律,当前主流手段为实验和数值模拟。利用实验手段进行规律分析存在不足:一方面,为观测陶瓷材料抗冲击过程采用的X光、高速摄像等观测手段增加了实验经费及难度;另一方面,现有的实验手段无法完整记录陶瓷材料的冲击破坏过程。而数值模拟是解决前述问题的有效手段。陶瓷材料理论模型为模拟冲击破坏特征与损伤演化过程提供了理论依据,故理论模型选取是否精确是影响预测结果准确性和可靠性的关键因素。
当前,描述陶瓷材料破坏特性的理论模型可以分为3类。第一类为弹脆性模型,这类模型忽略陶瓷材料塑性变形行为,随着损伤不断累积,陶瓷材料在弹性阶段发生断裂。这类模型具有形式简单、便于计算等优点,但对陶瓷材料的变形及破碎机制描述不够准确。第二类为现象学模型,这类模型将陶瓷材料看作弹塑性材料,忽略内部微结构在外载荷作用下的演化过程,着重于描述材料某一点发生断裂后对应力传播过程的影响。Taylor等[3]、Rajendran等[4]、Steinberg等[5]、Johnson等[6-8]、Wilkins等[9]、Chakraborty等[10]、Ren等[11]和唐瑞涛等[12]均提出了不同的理论模型描述陶瓷材料破坏特征,其中Johnson-Holmquist (JH) 模型[6-8]应用最为广泛。该模型基于大量实验数据,综合考虑大变形、高应变率和高压作用下材料强度、应变率效应和损伤软化等力学行为,对于冲击加载过程中材料自由面速度,冲击波剖面、侵彻深度和弹体剩余速度均可做出预测。但JH模型未考虑陶瓷材料微结构对宏观破坏特征的影响,无法从陶瓷材料微观结构方面深入分析陶瓷材料破坏机制。第三类模型是考虑陶瓷材料微结构影响的损伤理论模型,Rajendran等[13-14]考虑了材料内部微裂纹扩展对宏观破坏行为的影响,但并未对压缩条件下脆性固体初始微裂纹的发展过程进行深入分析。Espinosa等[15]以预置初始缺陷的方式来描述材料破碎过程并考虑外载荷作用下裂纹演化对宏观破坏特性的影响,但破坏特征受初始缺陷分布方式的影响。任会兰等[16-17]用翼型裂纹扩展理论[18]来跟踪材料微结构演变过程,但忽略了裂纹弱相互作用和裂纹取向,这与材料真实破坏特征之间存在误差。Wang等[19]和Vigliotti等[20]用RVE(代表性体积单元)来描述材料晶粒随机分布情况,但没有考虑体积单元内部随机缺陷的分布情况。Deshpande等[21-22]提出了一种考虑陶瓷材料晶粒尺寸、初始裂纹角度以及裂纹分布密度的理论模型——Deshpande-Evan (DE) 模型,以应力三轴度和等效应力区分内部微裂纹的不同扩展阶段,可以描述陶瓷材料微结构对宏观破坏特征的影响。Lahiri等[23]以及Gamble等[24]都对DE模型进行了验证,但是DE模型在计算材料应力状态时限制了
σ2 的大小(σ2=(σ1+σ3)/2 ),在此条件下推导出的本构关系形式简单,在求解计算时具有优势,但其与实际情况存在差异。综上所述,针对陶瓷材料破坏特征理论模型的工作集中于现象学模型和微结构驱动模型。现象学模型无法从微结构角度出发深入分析陶瓷材的料破坏机制,而微结构驱动模型为保证模型可用于大规模计算,需要对模型计算公式进行限制,部分限制条件与实际情况存在差异。
针对上述问题,本文在DE模型的基础上,对模型的限制条件进行修改,进一步考虑材料在真实工况(无限制条件)下的动态力学行为,结合二次开发并以典型陶瓷材料(YAG透明陶瓷)为研究对象,分析不同加载条件和微结构对陶瓷材料应力-应变关系的影响,开展典型陶瓷材料冲击实验的数值模拟,探究微结构对陶瓷材料破坏特征的影响。
1. 考虑材料微结构特征的陶瓷含损伤本构模型
考虑材料微结构特征含损伤模型的基本思路是将材料内部微结构(晶粒、杂质及气孔等)等效为晶粒间存在初始缺陷的形式,以标量D(包含晶粒、杂志及气孔等微结构的影响)描述材料某一点处的损伤程度,将材料的非弹性变形行为划分为晶格塑性、裂纹扩展及表征颗粒间相互作用的颗粒塑性三部分,如图2所示。
当材料受到应力不足以导致初始缺陷开始扩展时,材料内部的位错及孪晶会在外载荷推动下运动,材料内部产生塑性变形即晶格塑性,材料产生的塑性应变与等效应力相关,屈服强度符合应变强化规律。
当应力进一步增加时,材料内部的初始缺陷会在与初始缺陷平面成一定角度的位置产生拉伸应力。随着外载荷不断增加,初始缺陷尖端受到拉伸应力影响的应力强度因子会不断接近并最终超过材料断裂韧性。裂纹沿着晶界或者进入晶粒内部不断延伸并与相邻裂纹之间产生相互作用,形成翼型裂纹特征,翼型裂纹在局部应力及静水压力综合作用下不断演化,裂纹扩展方式受到材料微结构和外载荷状态共同影响。
材料损伤随着裂纹的不断扩展而累积,当D=1时说明材料已完全破碎。完全破碎后的材料所受应力由颗粒间摩擦力及静水压力共同决定。
损伤演化公式采用文献[21]中的形式:
D0=43π(αa)3f (1) D=43π(l+αa)3f (2) 式中:d为晶粒尺寸;D0为初始损伤;α为裂纹形状因子;a表征初始缺陷与晶粒的相对大小,f描述材料内部缺陷的分布密度;参数a和f均与晶粒尺寸d相关联,
a=g1d ,1/f1/3=g2d ;l为微裂纹扩展长度;g1为初始缺陷尺寸系数,g2为初始缺陷分布密度系数。静水压力(
σm )表征物体任意一点的应力在各个方向上均相等,静水压力的变化,只会使受力物体体积产生变化,但不会改变其形状:σm=(σ11+σ22+σ33)/3 (3) 受力物体内部质点在单向应力作用下,只需单向应力超过材料屈服点,该点就开始从弹性状态向塑性状态发展,即发生屈服。受力物体内部质点在多向应力作用下,其全部应力分量都必须被考虑。在变形条件一定时,受力物体中一点等效应力(
σeq )到达某一值后质点才能开始塑性变形:σeq=1√2[(σ11−σ22)2+(σ11−σ33)2+(σ22−σ33)2+6(σ122+σ232+σ132)]1/2 (4) 基于式(3)~(4)和DE模型推导出晶格塑性、裂纹扩展和颗粒塑性三个阶段相应的本构关系,对模型理论体系进行改进。
1.1 晶格塑性阶段
低应变率下,材料所受应力大于晶格阻力,或者在高应变率下,应力大于声子阻力,材料发生晶格塑性变形。晶格塑性阶段的等效塑性应变率是与等效应力相关的函数:
{\dot{\boldsymbol{\varepsilon }}}^{\rm{pl}}={\dot{\varepsilon }}_{\rm{eq}}^{\rm{pl}}\frac{\partial {G}_{\rm{p}}}{\partial {\sigma }_{ij}} (5) 式中:Gp为塑性流动势函数,取为Mises应力;
{\sigma }_{ij} 为应力张量;{\boldsymbol{\varepsilon }}^{\rm{pl}} 为塑性应变张量,{\varepsilon }_{{\rm{eq}}}^{{\rm{pl}}} 为等效塑性应变。当等效应力小于等于
{\sigma }_{0}/2 时,材料仍然处于弹性阶段,当等效应力大于{\sigma }_{0}/2 时,材料进入晶格塑性阶段,将式(4)代入式(5)可以求解塑性阶段的应变:{\dot{\boldsymbol{\varepsilon }}}^{\rm{pl}}=\left\{\begin{split}&\dfrac{\partial {G}_{\rm{p}}}{\partial {\sigma }_{ij}}{\dot{\varepsilon }}_{0}{\left(\dfrac{2{\sigma }_{\rm{eq}}}{{\sigma }_{0}}-1\right)}^{n}\qquad\qquad\qquad{\sigma }_{0} < 2{\sigma }_{\rm{eq}} < {\sigma }_{0}\left[{\left(\dfrac{{\dot{\varepsilon }}_{\rm{t}}}{{\dot{\varepsilon }}_{0}}\right)}^{\tfrac{1}{n}}+1\right]\\ &\dfrac{\partial {G}_{\rm{p}}}{\partial {\sigma }_{ij}}{\dot{\varepsilon }}_{0}{\left(\dfrac{{\dot{\varepsilon }}_{0}}{{\dot{\varepsilon }}_{\rm{t}}}\right)}^{\tfrac{1-n}{n}}{\left(\dfrac{2{\sigma }_{\rm{eq}}}{{\sigma }_{0}}-1\right)}^{n}\qquad 2{\sigma }_{\rm{eq}} > {\sigma }_{0}\left[{\left(\dfrac{{\dot{\varepsilon }}_{\rm{t}}}{{\dot{\varepsilon }}_{0}}\right)}^{\tfrac{1}{n}}+1\right]\end{split}\right. (6) 其中
\dfrac{{\partial {G_{\text{p}}}}}{{\partial {\sigma _{ij}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} \dfrac{{2{\sigma _{11}} - {\sigma _{22}} - {\sigma _{33}}}}{{2{\sigma _{{\text{eq}}}}}} & \qquad\dfrac{3{\sigma _{12}}}{\sigma _{{\text{eq}}}} & \qquad\dfrac{{3{\sigma _{13}}}}{{{\sigma _{{\text{eq}}}}}}\\ \qquad\dfrac{{2{\sigma _{12}}}}{{{\sigma _{{\text{eq}}}}}} & \dfrac{{2{\sigma _{22}} - {\sigma _{11}} - {\sigma _{33}}}}{{2{\sigma _{{\text{eq}}}}}}&\qquad\dfrac{{2{\sigma _{23}}}}{{{\sigma _{{\text{eq}}}}}}\\ \qquad\dfrac{{2{\sigma _{13}}}}{{{\sigma _{{\text{eq}}}}}} &\qquad \dfrac{{2{\sigma _{23}}}}{{{\sigma _{{\text{eq}}}}}}& \dfrac{{2{\sigma _{33}} - {\sigma _{22}} - {\sigma _{11}}}}{{2{\sigma _{{\text{eq}}}}}} \end{array}} \right] (7) 式中:
{\dot{\varepsilon }}_{0} 为晶格塑性参考应变率;{\dot{\varepsilon }}_{\rm{t}} 为临界应变率;n为应变指数;{\sigma }_{0} 为流变应力,{\sigma }_{0}={\sigma }_{\rm{Y}}[1+({\varepsilon }_{\rm{eq}}^{\text{pl}}/{\varepsilon }_{\rm{Y}})^{M}]/2 ,{{\sigma }}_{\rm{Y}} 为材料屈服强度,{\varepsilon }_{\rm{Y}} 为材料屈服应变,M为应变强化指数。1.2 裂纹扩展阶段
陶瓷材料内部存在随机取向的初始缺陷,不同方向的初始缺陷均可能在外载荷的作用下发生扩展,且沿着最大主应力方向扩展的趋势最为明显。假定所有裂纹扩展方向均沿最大主应力方向,即x1方向,初始缺陷平面与x1方向之间的夹角为
\psi ,外载荷作用下裂纹尖端扩展方向与初始缺陷平面之间的夹角为\theta ,初始缺陷长度为2a,裂纹扩展长度为l,裂纹受力如图3所示,σ1、σ2、σ3为主应力。应力三轴度(λ=
{\sigma }_{\rm{m}}/{\sigma }_{\rm{eq}} )是衡量材料静水压力与等效应力的相对大小的物理量,表征材料当前受力状态。当材料应力强度因子超过断裂韧性,以应力三轴度为依据,可判断裂纹扩展状态。根据应力三轴度的不同,将裂纹演化过程分为三阶段[20]。
(1) 阶段I—裂纹扩展停滞阶段,材料承受静水应力为压应力,裂纹尖端的应力强度因子不足以驱动裂纹扩展,材料发生的非弹性变形主要为晶格塑性变形。
(2) 阶段Ⅱ—摩擦滑移扩展阶段(如图4所示),当前状态下裂纹尖端的应力强度因子可以表示为
{K_{\text{Ⅰ}}} = \frac{{{F_{\text{W}}}}}{{{{[{\text{π}}(l + \beta a)]}^{3/2}}}} + \frac{{\text{2}}}{{\text{π}}}({\sigma _{\text{3}}} + \sigma _{\text{3}}^{\text{i}})\sqrt {{\text{π}}l} (8) 式中:KⅠ为翼型裂纹尖端的应力强度因子,
{F}_{\rm{W}} 表征裂纹平面相对滑移对裂纹扩展的贡献,{\sigma }_{3}^{\rm{i}} 表征裂纹相互作用对裂纹扩展的贡献,β为裂纹形状因子,l为翼型裂纹扩展长度。通过代换,可以将式(8)改写成
\frac{K_{\text{Ⅰ}}}{{\sqrt {{\text{π}}a} }} = {c_1}[{c_2}({A_3}{\sigma _3} - {A_1}{\sigma _1}) + {c_3}{\sigma _3}] (9) 式中:系数c1、c2、c3、A1、A3的表达式参见文献[20]。
根据裂纹扩展阶段的应力强度因子,可计算当前时刻微裂纹扩展速度:
\dot{l}=\min[\dot{l}_{0}{({K}_{\text{I}}/{K}_{{\mathrm{IC}}})}^{\rm{m}},{C}_{\rm{s}}] (10) 式中:
K_{{\rm{IC}}} 为材料断裂韧性参数,m为扩展指数,Cs为材料剪切波波速。将裂纹扩展速度对时间积分,即可得到当前时刻的微裂纹扩展长度,并根据式(2)计算当前损伤。
(3) 阶段Ⅲ—当材料所受的拉伸应力逐渐变大,裂纹内表面脱离接触,进入无接触滑移扩展阶段,应力强度因子以及应力三轴度表达式参照文献[20]:
\frac{{{K_{\text{Ⅰ}}}}}{{\sqrt {{\text{π}}a} }} = \sqrt {{C^2}\sigma _{\rm{m}}^{\rm{2}} + {E^2}\sigma _{{\rm{eq}}}^{\rm{2}}} = \sqrt {{C^{\rm{2}}}\lambda ^{\rm{2}} + {E^{\rm{2}}}} {\sigma _{{\rm{eq}}}} (11) 式中:C和E为常数,具体形式参照文献[20]。
1.3 考虑裂纹角度的应力强度因子
随着翼型裂纹不断扩展,相邻裂纹不断靠近,使得
{\sigma }_{3}^{\rm{i}} 不断增加直至趋近于无穷,表明裂纹的相互贯通,材料发生了严重破坏。但是在裂纹扩展初期,裂纹间相互作用不占据主导地位,裂纹尖端的应力强度因子仍然可以表示为[25]{K}_{\text{Ⅰ}}=\frac{3}{2}{\sigma }' _{xy}\sqrt{{\text{π}}a}\sin\theta \;\cos\frac{\theta }{2} (12) 式中:
{\sigma }' _{xy}=\tau +\mu {\sigma }_{xx} ,为考虑了初始裂纹内表面摩擦力的修正切应力,μ为裂纹内表面摩擦因数,\tau ={\sigma }_{xy} ,{\sigma }_{xx}=\left[\right({\sigma }_{3}-{\sigma }_{1})/2]\sin2\psi =\tau \sin 2\psi ,{\sigma }_{xy}=({\sigma }_{3}+{\sigma }_{1})/2+\left[\right({\sigma }_{3}-{\sigma }_{1})/2]\cos2\psi =\sigma +\tau \cos 2\psi 。将修正应力代入式(12),就可以得到裂纹扩展初期应力强度因子计算公式:
{K_{\text{I}}} = \left[ - \frac{{4\sqrt {{\text{π}}a} }}{3}(\sin 2\psi - \mu + \mu \cos 2\psi ) + \frac{{3\sqrt {{\text{π}}a} }}{4}(\sin 2\psi + \mu + \mu \cos 2\psi ){\sigma _3}\right]\sin \theta \cos \frac{\theta }{2} (13) 由于不同取向的初始缺陷均沿着最大主应力的方向扩展,当
\mathrm{tan}2\psi =1/\mu ,初始缺陷最容易扩展,该角度为最佳初始缺陷角。当应力强度因子最大,即\sin \theta \cos (\theta /2) 取最大值时,裂纹最容易发生扩展,将\theta 角固定为最易扩展的70.5°。将常数代入到式(13),可将应力强度因子公式进一步转化为[20]
\frac{{{K_{\text{I}}}}}{{\sqrt {{\text{π}}a} }} = A{\sigma _{\text{m}}} + B{\sigma _{{\text{eq}}}} = (A\lambda + B){\sigma _{{\text{eq}}}} (14) 式中:
A ={c_1}({c_2}{A_3} -{c_2}{A_1}+ {c_3}) ,B ={c_{\rm{1}}}({c_2}{A_3} +{c_2}{A_1} + {c_3})/\sqrt {3} 。1.4 颗粒塑性阶段
微裂纹受外载荷后不断扩展,邻近裂纹互相贯通并形成破碎材料颗粒构成的粉碎区,破碎颗粒受到外载荷后因互相挤压和碰撞而引起材料变形就是颗粒塑性。
颗粒塑性阶段应变张量
{\boldsymbol{\varepsilon }}^{\mathrm{g}} 可以根据下式对时间积分进行计算{{\boldsymbol{\dot \varepsilon }}^{\rm{g}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{2{\sigma _{11}} - {\sigma _{22}} - {\sigma _{33}}}}{{2{\sigma _{{\rm{eq}}}}}} + \dfrac{{\tan \delta }}{3}} &{\dfrac{{3{\sigma _{12}}}}{{{\sigma _{{\rm{eq}}}}}}}&{\dfrac{{3{\sigma _{13}}}}{{{\sigma _{{\rm{eq}}}}}}} \\ {\dfrac{{3{\sigma _{12}}}}{{{\sigma _{{\rm{eq}}}}}}}&{\dfrac{{2{\sigma _{22}} - {\sigma _{11}} - {\sigma _{33}}}}{{2{\sigma _{{\rm{eq}}}}}}}&{\dfrac{{3{\sigma _{23}}}}{{{\sigma _{{\rm{eq}}}}}}} \\ {\dfrac{{3{\sigma _{13}}}}{{{\sigma _{{\rm{eq}}}}}}}&{\dfrac{{3{\sigma _{23}}}}{{{\sigma _{{\rm{eq}}}}}}}&\dfrac{{2{\sigma _{33}} - {\sigma _{22}} - {\sigma _{11}}}}{{2{\sigma _{\rm{eq}}}}} +\dfrac{\tan \delta}{3} \end{array}} \right]\left( {\dfrac{{\hat \sigma }}{{{\varSigma _{\text{c}}}}} - 1} \right)^s{\dot \varepsilon _0} (15) 式中:
\hat{\sigma } 为颗粒塑性阶段的等效应力,s为损伤指数,{\varSigma }_{\rm c} 为颗粒塑性阶段的单轴压缩强度,\delta 为流动膨胀角。根据前文所述晶格塑性以及颗粒塑性阶段计算得出{\boldsymbol{\varepsilon }}^{\rm{pl}} 及{\boldsymbol{\varepsilon }}^{\rm{g}} ,则当前时刻材料总应变为{\boldsymbol{\varepsilon }} = {\boldsymbol{\varepsilon }}^{{\rm{el}}} + {\boldsymbol{\varepsilon }}^{{\rm{pl}}} + {\boldsymbol{\varepsilon }}^{\rm{g}} (16) 式中:
{\boldsymbol{\varepsilon }}^{\rm{el}} 为弹性应变,根据广义Hooke定律计算得到。式(16)对时间求导之后即为本文所需的本构模型关系。1.5 材料参数
为验证改进模型的适用性和可靠性并对陶瓷材料的宏观破坏特征进行分析,需选择一种典型陶瓷材料作为研究对象并确定模型参数。YAG透明陶瓷兼顾了高强度和透光性,具有典型脆性陶瓷破坏特征,并且方便观察材料内部的损伤演化过程。因而选择YAG透明陶瓷研究其冲击破坏作用过程,进而为分析陶瓷材料微结构对宏观破坏特征的影响规律提供支撑。
为准确描述YAG透明陶瓷冲击破坏行为,对模型需要的YAG透明陶瓷材料参数进行分析。模型所需材料参数可分为以下3大类。
第一类:材料固有属性,YAG透明陶瓷的密度、泊松比、杨氏模量以及晶粒大小为基本力学性能参数,由力学性能实验获得。屈服强度来源于准静态压缩实验,根据材料杨氏模量可以获得材料在未强化状态下的屈服应变。
第二类:数据拟合参数,YAG透明陶瓷的裂纹扩展阶段难以通过实验手段准确观测,针对上述问题,采用实验与数值模拟相结合的方式来确定裂纹扩展阶段参数。在有限元软件中采用弹性本构对YAG透明陶瓷冲击实验进行模拟计算,提取模型中与实验宏观裂纹尖端的位置相同处材料的等效应力和静水压力,通过数据拟合可得到裂纹扩展参数。
第三类:文献参数,晶格塑性阶段,除去材料固有属性,其余参数均参照文献[19-20]中氧化铝陶瓷参数,这是因为氧化铝与YAG透明陶瓷的破坏机制有一定的相似之处,且常规手段难以获取晶格塑性阶段材料的力学响应。由于影响靶体抗弹性能的主要因素为裂纹扩展阶段,因此颗粒塑性阶段的各项参数与文献[19-20]中氧化铝陶瓷参数一致。
根据文献调研、实验观测以及数据拟合可以确定YAG透明陶瓷材料的损伤演化模型参数,YAG透明陶瓷材料参数如表1~表4所示。
表 1 YAG透明陶瓷弹性阶段材料参数Table 1. Material parameters of YAG transparent ceramics in elastic stage密度/(kg·m3) 剪切模量/GPa 泊松比 {\sigma }_{\rm{Y}} /GPa 4550 113 0.25 1.58 表 2 YAG透明陶瓷塑性阶段材料参数Table 2. Material parameters of transparent YAG ceramic in plastic stage{\sigma }_{\rm{Y}} /GPa {\varepsilon }_{\rm{Y}} {\dot{{ \varepsilon }}}_0 /s−1 {\dot{\varepsilon }}_{\rm{t}} /s−1 n M 1.58 5.6×10−3 1×10−3 1×106 34 0.1 1.6 计算流程
为分析陶瓷材料微结构对其宏观破坏特征的影响,采用VUMAT子程序编程方法,将理论模型与有限元软件(ABAQUS)相结合,对YAG透明陶瓷冲击加载下的力学行为进行模拟分析,子程序计算流程如图5所示。
2. 加载条件及微结构特性对陶瓷材料动力学行为的影响
不同加载条件和微结构特征会导致材料发生不同的变形和断裂行为,进而影响材料的性能。为分析两者对陶瓷材料动态力学行为的影响,基于前文所述陶瓷材料本构模型及材料参数,探究应力三轴度、应变率、晶粒尺寸以及裂纹分布密度对YAG透明陶瓷应力/应变响应的影响规律,为分析陶瓷材料微结构对力学响应的影响规律提供依据。
2.1 加载应变率
为探究应变率对YAG透明陶瓷动态力学行为的影响规律,分别计算了三种应变率下(51、102、1020 s−1)YAG透明陶瓷的应力应变响应,并提取了不同应变率下损伤随应变的变化曲线,结果如图6所示:随着应变率的不断上升,YAG透明陶瓷的峰值应力以及断裂应变随之增加,表现出明显的应变率强化效应;在不同应变率下,材料的损伤演化过程均表现出先平缓而后快速增加的趋势,完全损伤所对应的断裂应变随着应变率增加而增加,图6中虚线代表材料完全损伤位置。YAG透明陶瓷应变率效应的产生原因如下:YAG透明陶瓷的损伤演化过程并不会收到应变率变化的显著影响,在不同应变率下,均呈现出相似的趋势;从损伤开始积累到材料发生断裂破坏,应变率越高,材料变形程度越大,内部应力随变形程度加剧而不断增加,直至材料发生断裂破坏。
2.2 加载应力三轴度
应力三轴度(λ)描述材料在三个方向上受到的主应力大小关系,通常被用于材料的力学性能测试和评估。应力三轴度为负值,代表围压为负值,材料处于压缩状态。应力三轴度为正,代表材料处于拉伸状态。材料参数如表1~表4所示。
为探究YAG透明陶瓷失效强度在不同应力状态下的差异,通过调整边界条件,使材料达到不同应力三轴度状态(λ=−0.5, −0.33, −0.25),并对不同应力三轴度下的YAG透明陶瓷应力应变曲线进行计算,结果如图7所示,图中虚线代表材料损伤位置,可以看出:
压缩载荷下,随着应力三轴度减小,YAG透明陶瓷的失效强度随之增加,这是受到围压的显著影响,材料受到的侧向约束减小,在材料断裂韧性不变的前提下,内部微裂纹扩展倾向于进入阶段Ⅲ(无接触滑移扩展阶段),相较于阶段Ⅱ(摩擦滑移扩展阶段),处于阶段Ⅲ的裂纹尖端应力强度因子增大,材料更易发生破坏;
拉伸载荷下,YAG透明陶瓷的峰值应力和断裂应变显著小于压缩状态下的峰值应力和断裂应变,这是因为,初始缺陷内表面在拉伸载荷作用下更趋向于分离,裂纹萌生和扩展方式主要是无接触滑移扩展,裂纹尖端的应力强度因子增大,材料更容易发生破坏。
从图7可以看出,随着应变率的不断上升,不同应力三轴度下YAG透明陶瓷的峰值应力和断裂应变均随着应力三轴度绝对值的增加而增加,这与2.1节的分析一致。
2.3 透明陶瓷材料晶粒尺寸
晶粒是多晶中最具特征性的结构组成,由于材料制备受到温度及压力等外部条件和内部组分不均匀性的影响,各晶体生长速率和生长方向存在差异,因而晶粒尺寸以及形状并不一致,晶粒尺寸随机分布会显著影响陶瓷材料的宏观破坏特征。
为分析晶粒尺寸对陶瓷材料动态力学响应的影响,采用平均晶粒大小对晶体结构进行统计学描述,并对平均晶粒尺寸10、100和1000 μm的YAG透明陶瓷的应力-应变曲线进行计算,结果如图8所示。从图中可以看出:随着晶粒尺寸的增加,YAG透明陶瓷的峰值应力和断裂应变均会减小,这是因为,随着晶粒尺寸的不断增加,晶粒之间所能容纳的缺陷尺寸会随之增加,这就使得裂纹尖端应力强度因子增大,而在材料宏观断裂韧性不变的条件下,应力强度因子增加会迫使材料更易失效;晶粒尺寸对YAG透明陶瓷的影响规律并没有发生显著变化,随着晶粒尺寸的增加,YAG透明陶瓷的峰值应力和断裂应变均呈现出下降趋势,这与前述分析一致;随着应变率的不断上升,不同晶粒尺寸的YAG透明陶瓷的峰值应力和断裂应变均有所上升,这与2.1节分析一致。
2.4 透明陶瓷材料初始缺陷分布密度
初始缺陷分布密度f描述的是材料中随机分布初始缺陷的数量,初始缺陷分布密度越大,表示材料单位体积内初始缺陷数量越多,材料初始损伤程度越严重。为探究不同初始损伤程度对YAG透明陶瓷破坏特性的影响,定义裂纹分布密度系数g2为
1/{f}^{1/3}={g}_{2}d 。图9给出了g2分别为1、6、72三种不同情况下YAG透明陶瓷的应力-应变曲线的计算结果。从图9可以看出,随着g2增加(即f减小),YAG透明陶瓷的失效强度逐渐增加。材料失效强度增加的原因可分为2方面:一,损伤参数增长速度与初始缺陷分布密度成正相关,初始缺陷分布密度减小,损伤参数增长速度随之减小;二,初始缺陷分布密度的减小,裂纹间相互作用对应力强度因子产生的额外影响就会减弱,直接导致裂纹尖端应力强度因子的减小,材料抵抗裂纹扩展的能力增加。
另外应变率的变化不会使初始缺陷分布密度对YAG透明陶瓷的影响规律产生显著变化,随着初始缺陷分布密度的降低,YAG透明陶瓷的峰值应力和断裂应变会随之增加,这与前述分析一致;YAG透明陶瓷的峰值应力和断裂应变随应变率的增加而增加,这与2.1节分析一致。
3. 微结构特征对陶瓷材料冲击破坏作用特性的影响
为更直观地探究材料微结构对YAG透明陶瓷冲击破坏作用过程的影响,开展不同晶粒尺寸及初始缺陷分布密度(裂纹分布密度计算公式为
1/{f}^{1/3}={g}_{2}d )下YAG透明陶瓷破坏过程的数值模拟。参考韩国庆等[26]开展的YAG透明陶瓷边缘冲击实验:实验过程中,在弹靶接触位置,靶体会产生粉碎区(图10中高亮白色区域),主裂纹扩展速度大于粉碎区扩展速度,粉碎区会在某一时刻停止扩展,在粉碎区前端,会出现明显的纵向裂纹扩展,主裂纹会随着时间增加而不断向靶体边缘扩展,当主裂纹到达靶体边缘,靶体的破坏过程结束。
建立计算模型如图11所示,直径9 mm破片以237 m/s的速度撞击90 mm×90 mm×9 mm的YAG透明陶瓷侧面,网格尺寸为1 mm,YAG透明陶瓷参数取自表1,破片参数参考文献[27]。计算结果如图12所示:虚线代表反射波的波阵面位置,颜色深浅代表损伤的严重程度,损伤越严重,颜色越深,深红色表示完全损伤,红色实线为不同时刻靶体裂纹扩展情况。
从模拟结果可以看出,在破片撞击靶体初期,在破片下方会产生深红色损伤区域(粉碎区)和淡蓝色损伤区域;随着时间增加,破片下方深红色损伤区域会不断增加并在约19 μs时停止扩展,在反射波阵面与淡蓝色损伤区域交界处,产生了区别于粉碎区的纵向损伤区域。
模拟获得的宏观主裂纹扩展距离lcrack与实验结果对比如图13所示。图13表明对于主裂纹扩展长度的模拟预测与实验结果的误差基本在15%以内。因此,由图12和图13可知模型结算结果与实验吻合良好,验证了模型的可靠性以及计算结果的准确性,可以以此为基础开展晶粒大小以及初始缺陷分布密度对YAG透明陶瓷破坏特征影响规律分析。
3.1 晶粒尺寸的影响
晶粒尺寸(d=40, 100, 150 μm)对YAG透明陶瓷破坏特征影响的数值模拟结果如图14~图16所示。深蓝色区域代表未损伤区域,其他区域根据颜色深浅区分损伤程度,颜色越深,损伤程度越大,深红色区域代表完全损伤。图中红色实线代表材料宏观裂纹,虚线表示反射波的波阵面。
首先,材料具有两个完全损伤区域(粉碎区和纵向损伤区域),其中沿破片冲击方向出现的红色粉碎区,是由于破片撞击YAG透明陶瓷时产生的压应力导致的。靶体中部的纵向损伤区域由破片冲击靶体引起的压应力与靶体自由面反射波综合作用而形成,纵向损伤区域沿着波阵面在靶体内演化,靶体底部受反射波作用而损伤。
随着晶粒尺寸增大,破片下方的损伤区域面积、粉碎区面积以及裂纹扩展长度随之增大,宏观裂纹数量也随之增加。靶体纵向损伤区域会随着晶粒尺寸增大而不断向靶体底部移动。陶瓷靶底部破坏程度会随着晶粒尺寸的减小而减弱,当晶粒尺寸为40 μm时,靶体底部损伤区域不明显。
YAG透明陶瓷的破坏会随着晶粒增大而加剧,这与前述2.3节分析结果相符。宏观裂纹扩展速度vcrack随晶粒尺寸增长,呈现出先快速增加而后平缓的趋势,计算结果见图17。
3.2 始缺陷分布密度的影响
初始缺陷分布密度(g2=6, 10, 12)对YAG透明陶瓷破坏特征影响的数值模拟结果如图18~图21所示。图18~20中,靶体中间位置由压应力和反射拉应力共同作用形成纵向损伤区域,靶体底部出现宏观裂纹扩展并与纵向损伤区域相连,深红色粉碎区在19 μs停止演化,主裂纹随时间不断扩展并在靶体边界停止扩展。
随着初始缺陷分布密度的增加,YAG透明陶瓷的主裂纹扩展长度随着增加。对比图14~15以及图18~20可以看出,初始缺陷分布密度对于宏观破坏特征的影响并不显著。这是因为对应力传播过程而言,晶粒尺寸的影响占据主导地位,对裂纹分布密度并不敏感,裂纹分布密度主要影响材料损伤演化过程。根据图21可知,裂纹扩展速度与初始缺陷分布密度系数(g2)之间成线性关系,裂纹扩展速度随着g2增加而减小。
4. 结 论
基于Deshpande-Evan (DE) 模型跟踪外载荷作用下材料内部微结构的演变过程,并结合二次开发利用ABAQUS有限元软件分析了晶粒尺寸及裂纹分布对YAG透明陶瓷宏观破坏特性的影响规律,完善了以YAG透明陶瓷为典型代表的脆性材料冲击加载下的动态力学行为分析方法,得到了如下结论:
(1) 改进的本构模型可以描述YAG微结构对透明陶瓷力学响应及宏观破坏特征的影响,为陶瓷材料结构设计提供支撑;
(2) 晶粒尺寸增加,YAG透明陶瓷失效强度和断裂应变不断降低;裂纹分布密度增加,YAG透明陶瓷失效强度和断裂应变会降低;YAG透明陶瓷失效强度和断裂应变对晶粒尺寸敏感程度要高于裂纹分布密度;随着应变率不断增加,YAG透明陶瓷在不同因素影响(晶粒尺寸以及初始缺陷分布密度)下的峰值应力和断裂应变均随之增加;
(3) 随着晶粒尺寸和裂纹分布密度的不断增加,YAG透明陶瓷的破坏程度逐渐加剧,完全损伤区域面积增加,但晶粒尺寸对YAG透明陶瓷宏观破坏特征的影响程度要大于裂纹分布密度;裂纹扩展速度会随着晶粒尺寸的增加而增加,但其增长趋势会逐渐减小并趋向平缓,而与裂纹密度系数成线性关系。
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表 1 YAG透明陶瓷弹性阶段材料参数
Table 1. Material parameters of YAG transparent ceramics in elastic stage
密度/(kg·m3) 剪切模量/GPa 泊松比 {\sigma }_{\rm{Y}} /GPa 4550 113 0.25 1.58 表 2 YAG透明陶瓷塑性阶段材料参数
Table 2. Material parameters of transparent YAG ceramic in plastic stage
{\sigma }_{\rm{Y}} /GPa {\varepsilon }_{\rm{Y}} {\dot{{ \varepsilon }}}_0 /s−1 {\dot{\varepsilon }}_{\rm{t}} /s−1 n M 1.58 5.6×10−3 1×10−3 1×106 34 0.1 Table 3. Material parameters of YAG transparent ceramics in crack propagation stage
d/μm 摩擦因数 KⅠC/(MPa·m1/2) β γ g1 g2 m {\dot{l}}_{0} /(m·s−1) 100 0.75 1.27 0.45 2 0.5 6 30 0.01 -
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