Accuracy analysis of Young’s modulus and stress-strain curve in the elastic stage of materials using Hopkinson bar experimental method
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摘要: 霍普金森压杆（split Hopkinson pressure bar，SHPB）实验中试件的应力不均匀对应力-应变曲线的弹性阶段有显著影响，而弹性阶段是研究混凝土等低声速材料或高应变率加载条件下某些金属材料的关键。针对一维杆系统，利用一维弹性增量波理论，推导了线性入射波作用时应力应变和杨氏模量的解析式，研究了试件两端应力差和速度差对试件弹性阶段曲线及杨氏模量准确性的影响；进一步给出了任意形状入射波作用下试件弹性阶段曲线和切线杨氏模量的求解方法，分析了入射波斜率和形状特征对试件应力均匀性及曲线的影响。结果表明：试件弹性阶段曲线及杨氏模量的准确性与试件两端应力差的变化趋势有关，但并不完全依赖试件两端应力差，与入射波斜率、形状特征以及试件屈服强度等因素耦合相关；线性加载波斜率增大，切线模量和割线模量与实际值的差异均增大，在斜率较大时，割线模量的准确性要高于切线模量；入射波形状以正弦波为参考，曲线的初始斜率低时，切线模量的准确性高于割线模量，曲线的初始斜率高时则相反。Abstract: The stress-strain data obtained from split Hopkinson pressure bar (SHPB) tests include both strain rate effects and structural effects, where the structural effects result in non-uniform stress in the elastic phase of the stress-strain curve. The elastic phase is a critical focus of study for materials like concrete with low sound velocity or certain metals under high strain rate loading conditions. In this paper, we focus on one-dimensional rod systems and employ one-dimensional elastic incremental wave theory to derive analytical expressions for stress-strain curves and Young’s modulus under one-dimensional stress wave conditions with linear incident waves. We investigate the effects and mechanisms of stress difference and velocity difference at both ends of the specimen on the accuracy of stress-strain curves and Young’s modulus. Furthermore, we provide a method for determining stress-strain curves and tangent Young’s modulus during the elastic phase for arbitrary incident waveforms. We analyze the influence of the incident wave slope and shape characteristics on the stress uniformity in specimens and stress-strain curves. We establish the inherent relationship between stress uniformity and experimental stress-strain curves, and clarify the relative accuracy and applicability conditions of tangent modulus and secant modulus. The results indicate that stress uniformity is a key factor affecting the accuracy of stress-strain curves and Young’s modulus. However, the accuracy of Young’s modulus is not solely dependent on the change in stress difference at both ends of the specimen; it is also related to the factors such as the incident wave slope, shape characteristics, and the elastic segment range of the specimen. An increase in the linear wave slope leads to a greater difference between the tangent modulus and the secant modulus from the actual values. For larger slopes, the accuracy of the secant modulus is higher than that of the tangent modulus. When the incident wave shape is considered as a reference, curves with low initial slopes, such as sine waves, have higher accuracy for the tangent modulus compared to the secant modulus, whereas curves with high initial slopes show the opposite trend. For concrete specimens, we verify the influence of incident wave slope on Young’s modulus and evaluate the maximum incident wave slopes for concrete specimens to reach accurate values, which are 0.128 MPa/μs for the tangent modulus and 0.319 MPa/μs for the secant modulus.
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Key words:
- SHPB /
- Young’s modulus /
- stress uniformity /
- stress wave
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可燃气体在化工过程及能源发展方面均有广泛的运用。研究可燃气体的燃烧爆炸特性对于火灾爆炸事故的评估及安全生产都具有重要的意义，尤其是在不同环境条件下的燃烧爆炸特性，例如高温高压条件下。能够维持可燃气体火焰传播的最低/最高浓度被称为可燃气体的爆炸下限(lower explosion limit, LEL)/爆炸上限(upper explosion limit, UEL)。燃料的爆炸极限是预测火灾、评估爆炸可能性和设计保护系统的重要依据[1]。尽管有很多不同的数值方法可以确定可燃气体的爆炸极限，例如一维平面模拟、极限火焰温度和极限燃烧速度的应用，但是实验测定在获得特定参数及验证数值结果可靠性方面仍然非常必要[2-4]。爆炸极限随初始条件(例如初始温度、初始压力)的不同而改变。学者们对常温常压下气体及蒸汽的爆炸极限已经进行了一些研究[5-7]。通常认为，常温常压下甲烷在空气中的爆炸下限为5%，上限为15%。然而，高温高压条件下甲烷-空气混合物爆炸极限的研究非常有限[6, 8-9]，而且温度压力对爆炸极限共同影响的研究仅涉及爆炸上限[10-13]。本文中借助特殊环境20 L爆炸特性测试系统，测定不同初始温度(25~200 ℃)和初始压力(0.1~1.0 MPa)条件下甲烷-空气混合物的爆炸上限及下限，研究初始温度和压力对甲烷-空气混合物爆炸极限的耦合影响规律。以期研究结果不仅对煤层气的安全利用及煤矿的安全生产具有指导意义，也为进一步研究多因素耦合影响作用提供参考。
1. 实验系统与方法
采用特殊环境20 L爆炸特性测试系统进行高温高压条件下甲烷-空气混合物爆炸极限的实验测定，该实验系统工作原理如图 1所示。实验系统主要包括容积为20 L的爆炸罐体、配气系统、抽真空系统、点火系统、加热系统、控制系统和采集系统7部分。爆炸罐体为不锈钢双层球形结构，配气系统根据体积分压原则由电磁阀控制配制实验设定浓度的实验气体，该系统配气精度为±0.1%，实验中运用高压电点火，点火能量为10 J。实验中先对罐体进行抽真空，根据设定的初始压力及甲烷浓度，配气系统按体积分压依次充入甲烷和空气。若进行常温下试验，则静置5 min左右以使实验气体混合均匀，若进行高温试验，则开启加热系统加热实验气体至实验温度。之后借助罐体中心处的点火电极进行点火，设置200 ms的延迟时间以使点火系统在更稳定的状态下进行点火操作。
依据ASTM标准[14]，以最大爆炸压力超过初始压力7%的压力升高作为爆炸极限实验的爆炸判据，若连续3次实验均未爆炸，则认为此时的甲烷浓度为此条件下的爆炸极限值。为研究初始温度和初始压力对甲烷爆炸极限的影响，罐体内实验气体温度变化范围为25~200 ℃，压力变化范围为0.1~1.0 MPa。点火前罐体内的实验气体均处于静止状态。
2. 温度、压力单因素的影响
图 2为甲烷-空气混合物爆炸极限随初始温度和初始压力的变化情况。随着初始温度的升高和初始压力的增大，甲烷-空气混合物爆炸上限升高，爆炸下限降低，爆炸极限范围扩大。
图 2 甲烷-空气混合物爆炸极限随初始温度/初始压力的变化曲线Figure 2. Explosion limit of methane-air mixtures varied with initial temperature or pressure由图 2(a)可知:在常压条件下，当初始温度为25 ℃时爆炸上限为15.8%，下限为5.1%，极限范围为10.7%;而当初始温度升高至200 ℃时爆炸上限上升为17.7%，下限下降为4.6%，极限范围扩大为13.1%，爆炸极限扩大的百分率为22.4%。由图 2(b)可知:在常温条件下，当初始压力由0.1 MPa增加到1.0 MPa，甲烷-空气混合物爆炸上限上升到21.4%，下限降低到4.5%，极限范围扩到到16.9%，爆炸极限较常温常压时扩大的百分率为57.9%。在实验温度和压力范围内，甲烷-空气混合物的爆炸上限和下限与初始温度和初始压力基本呈线性关系:
y=A+Bx (1) 式中：当x=T0/℃时，25≤x≤200;当x=p0/MPa时，0.1≤x≤1.0。各参数值如表 1所示。
表 1 拟合函数的参数Table 1. Parameters for fitting functiony% x A B R UEL T0/℃ 15.464 3 0.011 4 0.995 5 UEL p0/MPa 15.659 7 6.142 4 0.987 6 LEL T0/℃ 5.142 9 -0.002 5 -0.996 6 LEL p0/MPa 5.151 2 -0.666 9 -0.998 5 通过比较各拟合直线的斜率可以看出，初始温度和压力对甲烷-空气混合物爆炸上限的影响要大于其对下限的影响。这是由于在爆炸下限浓度附近，可燃混合气体中甲烷的含量很小，过量的空气作为反应中的惰性气体，一方面阻碍了甲烷与氧气分子的有效碰撞，减少了反应发生的可能性；另一方面吸收反应放热，不利于链式反应的持续及火焰的蔓延。因此，温度的升高和压力的增大虽然使甲烷爆炸下限降低，但由于过量空气的存在，其受影响的程度要小一些。
3. 温度、压力的耦合影响
3.1 甲烷-空气混合物爆炸上限
图 3为压力温度耦合影响下甲烷-空气混合物爆炸上限的变化情况。在不同的初始压力条件下，爆炸上限均随初始温度的上升而升高，变化趋势基本相同，如图 3(a)所示。当处于相同的初始温度时，随着初始压力的升高，单位压力对爆炸上限的影响逐渐减弱。由图 3(b)可知，在不同初始温度条件下，爆炸上限均随初始压力的上升而升高。从变化趋势来看，压力的升高使单位温度升高对爆炸上限产生更大的影响。在相同的初始压力下，随着初始温度的升高，单位温度升高对爆炸上限的影响逐渐减弱。这是由于随着甲烷-空气混合物爆炸上限的升高，反应系统中的氧气含量逐渐减少，处于负氧状态的系统发展成为爆炸系统将更加困难，这就对系统提出了更高的要求，因此，单位温度和单位压力的升高对瓦斯爆炸上限的影响逐渐变小。
图 3 温度、压力对甲烷-空气混合物爆炸上限的影响曲线Figure 3. Upper limit of methane-air mixtures varied with initial temperature or pressure常温常压条件下，甲烷-空气混合物爆炸上限为15.8%，当初始温度升高到200 ℃且初始压力增大到1.0 MPa时，爆炸上限上升为25.7%，上升幅度几乎达到了62.7%。常压下，当初始温度由25 ℃升至200 ℃时，上限的升幅仅为8.2%；而常温下，当初始压力由0.1 MPa增大到1.0 MPa时，上限升幅也只为35.4%。由此可见，甲烷-空气混合物爆炸上限在初始温度和初始压力耦合影响作用下的变化幅度比单一因素影响下的变化幅度大得多，且远大于单一影响因素下变化幅度的加和。为了综合分析初始温度和初始压力对甲烷爆炸上限的耦合影响，以初始温度作为x轴、初始压力作为y轴、甲烷-空气混合物爆炸上限作为z轴得到爆炸上限随初始温度和初始压力的变化曲面，如图 4所示。该曲面更直观地反映了初始温度和初始压力对甲烷-空气混合物爆炸上限的耦合影响作用，根据拟合函数:
z=z0−12Aexp[(x−xcw1)+(y−ycw2)2] (2) 
图 4 初始温度和压力对甲烷-空气混合物爆炸上限的耦合影响Figure 4. Upper explosion limit surface with initial temperature and pressure for methane-air mixtures可预估实验温度压力范围内的甲烷爆炸上限, 式(2)中50≤x≤200, 0.2≤y≤1.0, 拟合函数各参数如表 2所示。
表 2 拟合函数的参数Table 2. Parameters for fitting functionz x y z0 A UEL/% T0/℃ p0/MPa 13.80 12.30 xc w1 yc w2 R2 263.81 267.86 1.13 0.75 0.998 9 3.2 甲烷-空气混合物爆炸下限
甲烷-空气混合物的爆炸下限随初始温度和初始压力耦合影响的变化情况如图 5所示。在不同初始压力条件下，爆炸下限均随初始温度的上升而降低；在不同初始温度条件下，下限均随初始压力的增大而降低，且变化趋势均具有较好的一致性。甲烷-空气混合物常温常压时的爆炸下限为5.1%，当初始条件改变为200 ℃、1.0 MPa时爆炸下限下降为4.1%，下降幅度为19.6%。而在相同实验条件下，仅初始温度升高至200 ℃时，爆炸下限下降幅度为9.8%，而仅初始压力增大至1.0 MPa时下降幅度为11.8%。由此可见，甲烷-空气混合物爆炸下限在初始温度和初始压力耦合影响作用下的变化幅度也比单一因素影响下的变化幅度要大，但其与两者单一影响下的变化幅度的加和基本一致。这是因为在爆炸下限浓度附近，空气的惰性效应是反应进行中的重要阻碍，初始温度的升高和初始压力的增大虽然在一定程度上增加了甲烷分子与氧气分子的有效碰撞，提高了反应速率，有利于链式反应的发展，但是由于甲烷浓度的限制，两者耦合的正反馈效应并不是很明显，因而温度压力对甲烷爆炸下限的影响基本上是两者单一影响效果的叠加。图 6为初始温度和初始压力对甲烷-空气混合物爆炸下限的耦合影响曲面，拟合曲面的函数表达式为：
z=z0+Aexp(−xB)exp(−yC)50≤x≤200,0.2≤y≤1.0 (3) 
图 5 温度压力对甲烷-空气混合物爆炸下限的影响曲线Figure 5. Lower limit of methane-air mixtures varied with initial temperature or pressure
图 6 初始温度和压力对甲烷-空气混合物爆炸下限的耦合影响Figure 6. Lower explosion limit surface with initialtemperature and pressure for methane-air mixtures根据此式(3)可以求得实验温度压力范围内的甲烷-空气混合物爆炸下限值, 拟合函数各参数见表 3。
表 3 拟合函数的参数Table 3. Parameters for fitting functionz x y z0 LEL/% T0/℃ p0/MPa 3.08 A B C R2 2.34 587.71 1.81 0.995 3 初始条件为200 ℃、1.0 MPa时甲烷-空气混合物的爆炸极限范围为21.6%，比常温常压时的10.7%扩大的百分率为101.9%，扩大的危险浓度范围使甲烷-空气混合气体在高温高压条件下的危险性也有了很大程度的提高，因此，如果甲烷-空气混合气体有处于高温高压条件的可能性，则在生产流程及安全设施上需要对更宽浓度范围的可燃气体进行监管和治理。
4. 结论
随着初始温度或初始压力的升高，甲烷-空气混合物的爆炸下限降低，爆炸上限升高，爆炸极限范围扩大。在常温常压下，爆炸上限和下限与初始压力、初始温度近似呈线性关系。
在相同的初始温度条件下，随着初始压力的升高，单位压力升高对甲烷-空气混合物爆炸上限的影响逐渐减弱。当初始压力相同时，单位温度升高对爆炸上限的影响随初始温度的升高而减弱。当初始条件改变时，单位温度/压力的升高对爆炸下限的影响变化并不显著。
初始温度和初始压力对甲烷-空气混合物爆炸上限和下限的耦合影响比单因素的影响要大得多。两者对爆炸上限的耦合影响远大于两者单一影响的加和，而对爆炸下限的影响几乎等同于两者单一影响的加和。温度压力与爆炸上限和下限的关系均可用特定的曲面方程进行描述。
为了深入了解爆炸极限与初始条件之间的依赖关系，还需要继续研究更高的温度和压力条件下甲烷-空气混合物等可燃气体的爆炸极限以及其他其他影响因素之间的耦合影响作用。
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图 7 不同上升沿时长时应力-应变曲线的拟合模量和割线模量
Figure 7. Fitted modulus and secant modulus of stress-strain curves with different rise times
图 9 一维应力波条件下数值模拟与理论计算的应力-应变曲线
Figure 9. Stress-strain curves for numerical simulation and theoretical calculation under one-dimensional stress wave conditions
图 10 “三波法”与“二波法”的计算结果
Figure 10. Calculation results of the three-wave method and two-wave method
图 11 采用“三波法”计算得到的应力-应变曲线
Figure 11. Fig.11 Stress-strain curves using the three-wave method
图 12 采用“三波法”计算得到的三种模量无量纲时程曲线
Figure 12. Dimensionless time history curves for three moduli in the three-wave method
图 13 不同波长线性入射波计算结果
Figure 13. Calculation results by using different wavelength of the linear incident wave
图 14 不同波长时切线模量和无量纲应力差曲线
Figure 14. Tangent modulus and dimensionless stress difference curves at different wavelengths
图 15 不同波长时切线模量与质点速度差曲线
Figure 15. Tangent modulus and particle velocity difference curves at different wavelengths
图 17 无量纲时间分别为4和1的线性波和正弦波计算结果
Figure 17. Calculated results for linear and sinusoidal waves at dimensionless times 4 and 1
图 19 不同形状特征入射波得出的试件两端应力差
Figure 19. Stress difference at both ends of specimens resulting from incident waves of different shapes
图 20 入射波上升沿无量纲时间为4时，4种曲线的计算结果
Figure 20. Calculation results of four curves when dimensionless time of incident wave rise time is 4
图 21 入射波上升沿无量纲时间为1时，4种曲线的计算结果
Figure 21. Calculation results of four curves when dimensionless time of incident wave rise time is 1
图 22 无量纲时间为4时三种波形切线和割线杨氏模量曲线对比
Figure 22. Comparison of tangent and secant Young’s modulus curves for three waveforms at a dimensionless time of 4
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