生命软物质如脑组织、高含水率水凝胶等都是典型的超软材料，它们具有很多独特的力学性质^[1-2]，其中包含强非线性的应变率效应^[3-4]，特别是在中应变率范围内（100～500 s⁻¹），应变率增强效应发生显著变化^[5]。对超软材料，中应变率实验要求在较低的冲击速度下依然能使材料发生较大的变形，这使得现有可以开展超软材料的分离式霍普金森压杆（split Hopkinson pressure bar, SHPB）系统无法满足要求，需要开发新的SHPB系统。

目前，中应变率测试装置主要分为3类^[6]：高速液压伺服实验机^[7-8]、传统SHPB设备及其改进型^[9-11]，以及使用SHPB作为载荷测量装置但采用入射杆之外的加载设备的测试系统^[12-14]。这些实验方法中，SHPB在避免加载装置振动和保持恒应变率加载方面具有显著优势。

传统SHPB系统因其原理简单，设计和建造相对容易，改进型的系统更是能应用于多种测试^[15-16]。但在应用于超软材料的中应变率测试时面临挑战，主要是试件的低波阻抗和加载时间不足。针对试件低模量导致透射信号弱的问题，已被研究者们通过采用低波阻抗的聚合物杆^[17-18]和电磁加载技术^[19-21]等方法有效解决^[22]。在另一方面，为了满足中应变率实验所需的加载时间，通常需要使用非常长的压杆系统。例如，Song等^[9]曾经采用铝作为杆件材料，分别制造了长度为11 m的入射杆和透射杆，组装成了一个总长度达到27.4 m的长分离式霍普金森压杆（long split Hopkinson pressure bar , LSHPB）系统。这一系统能够产生持续时间长达3 ms的入射波，从而在70 s⁻¹的应变率下实现23%的工程应变。幸运的是，适用于软材料的聚合物压杆相比金属杆具有更低的波速，使得相同长度的系统可以实现数倍长的脉冲宽度。此外，波分离技术的应用能够在相同长度的入射杆上实现接近两倍的脉冲宽度。经过评估，使用聚合物杆，可以设计一套长度不超过15 m的LSHPB系统，能够产生持续超过4 ms的入射波，在100 s⁻¹的应变率下使试件达到40%以上的工程应变。

本文中旨在设计并验证一种适用于超软材料中等应变率测试的LSHPB系统，并以PVA水凝胶为实验对象并开展相关研究，以期该系统可填补现有研究中关于PVA水凝胶在中应变率下的空白，为深入理解软材料的率相关力学行为提供坚实的实验基础。

1.   中应变率SHPB系统

搭建一套LSHPB系统，用于在中应变率下对超软材料的动态力学性能测试。针对黏弹性杆和超长入射波，采用波传播系数法和基于两点测量的波分离法进行数据处理。

1.1   系统设计

LSHPB系统的结构图如图1所示，系统核心组件包括双子弹电磁驱动发射器^[23]、子弹、入射杆、透射杆及数据采集系统。选用聚碳酸酯作为杆件材料，其较低的波阻抗和波速有助于与超软材料匹配。子弹、入射杆和透射杆的长度分别设定为4、5和5 m，直径统一为20 mm。电磁驱动系统由主子弹、副子弹、线圈和导轨组成，主子弹由铁磁材料制成，副子弹由非铁磁材料（本研究中为聚碳酸酯）制成。初始状态下主副子弹紧贴在一起，线圈通电后的强磁场驱动主子弹并推动副子弹达到发射速度，随后主子弹在导轨尽头停下，副子弹则带着初始速度前进一段距离后撞击入射杆。与传统气体驱动装置相比，电磁驱动在控制发射速度上具有显著的精确性优势，尤其在对发射速度变化敏感的轻质聚合物杆件上。整个LSHPB系统固定在16 m长的光学实验平台上，确保了实验的准确性和重复性。图2展示了安装于实验平台上的LSHPB系统。为确保数据处理的准确性，预先对杆件材料样品进行了准静态和动态测试，获得了描述其线性黏弹性行为的广义Maxwell本构方程参数^[24]：

图  1  双子弹电磁驱动超长分离式霍普金森压杆示意图

Figure  1.  Schematic of the double electromagnetic driving long split Hopkinson pressure bar device for intermediate strain rate testing

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图  2  双子弹电磁驱动超长分离式霍普金森压杆实物图^[25]

Figure  2.  Physical diagram of the double electromagnetic driving long split Hopkinson pressure bar device for intermediate strain rate testing^[25]

下载: 全尺寸图片 幻灯片

式中：$\sigma$为应力，$\varepsilon$为应变，$\dot \varepsilon$为应变率，t为时间，$\tau$为时间自变量，${E_0} = 2\;067.8\;{\rm{MPa}}$为准静态线弹性模量，${E_1} = 267.3\;{\rm{MPa}}$为低频弹性模量，${\theta _1} = 3.7\;{\rm{s}}$为低频松弛时间，${E_2} = 3\;334.1\;{\rm{MPa}}$为高频弹性模量，${\theta _2} = 1.23 \times {10^{ - 4}}\;{\rm{s}}$为高频松弛时间。这些本构参数为从应变片信号计算试件的应力提供了基础。

1.2   黏弹性波处理

由于聚合物杆的黏弹性及其超长长度，应力波在其中传播时会发生明显的弥散和衰减，有必要进行修正以获得试件两端的实际应变。采用波传播系数法进行修正^[26]。基于应力波在杆中一维传播的假设，将时域中的应力波信号经傅里叶变换后，在频域中的传播行为可以通过波动方程来描述：

式中：$\rho$为材料密度，$x$为杆上质点位置，$t$为时间，$\omega$为频率，${\mathcal{F}}\left[ {\sigma (x,t)} \right]$和${\mathcal{F}}\left[ {\varepsilon (x,t)} \right]$分别为频域中应力和应变历史的傅立叶变换。线性黏弹性材料在频域中的一维本构关系如下：

式中：${E^*}(\omega )$为频域中的弹性模量。将传播系数$\gamma$定义为：

式中：$\gamma$的实部称为衰减系数，虚部称为波数。引入传播系数后，杆中线性黏弹性波的一般解如下：

式中：下标r代表右行波，l代表左行波。

如图1所示，入射杆粘贴了3组应变片：靠近撞击端的应变片1、杆中间的应变片2和靠近试件端的应变片3。在子弹撞击入射杆后的一段时间内，只有右行波传播，被应变片1和2前后分别记录为$\varepsilon_{\mathrm{r}} (x_1)$和$\varepsilon_{\mathrm{r}} (x_2)$，由式(5)可知${\mathcal{F}}[\varepsilon_{\mathrm{r}} (x_1)]\text{e}^{-\gamma x_1}= {\mathcal{F}}[\varepsilon_{\mathrm{r}} (x_2)]\text{e}^{-\gamma x_2}$，即可计算传播系数$\gamma$，并可得到波在入射杆上传播任意距离后的波形。

1.3   基于两点测量的波分离法

由于采用了大于0.5倍入射杆长度的子弹，入射波和反射波会在入射杆中叠加，采用两点法波分离技术分离杆中叠加的左行波和右行波^[27-28]。以入射杆上的应变片1、3为例，如图3所示，以子弹撞击端为空间坐标原点，撞击时刻为时间原点，当杆的左端受到撞击时产生右行波。当$t {\text{≤}} {t_{\text{1}}} = (2L - {x_{\text{1}}})/{c_0}$时，点1处应变片所记录的信号$\varepsilon ({x_1},t)$就是点1处的右行波${\varepsilon _{\text{r}}}({x_1},t)$。其中，${x_{\text{1}}}$为点1到原点的距离，L为入射杆的长度，${c_0}$为杆上的纵波波速。同理，当$t {\text{≤}} {t_{\text{3}}} = (2L - {x_{\text{3}}})/{c_0}$时，$\varepsilon ({x_3},t)$就是点3处的右行波${\varepsilon _{\text{r}}}({x_3},t)$。而当$t {\text{＞}} {t_{\text{3}}}$时，$\varepsilon ({x_3},t)$是$t$时刻点3处的右行波${\varepsilon _{\text{r}}}({x_3},t)$与反射回来的左行波${\varepsilon _{\text{l}}}({x_3},t)$的叠加：

图  3  波分离示意图

Figure  3.  Schematic diagram of stress wave separation

下载: 全尺寸图片 幻灯片

式中：${\varepsilon _{\text{r}}}({x_3},t)$是点1处的右行波${\varepsilon _{\text{r}}}({x_1},t - \Delta t)$经传播$\Delta t = ({x_{\text{3}}} - {x_{\text{1}}})/{c_0}$后得到的，可通过传播系数法定量描述它们的关系：

式中：${{\mathcal{F}}^{ - 1}}$表示傅里叶逆变换。结合式(6)～(7)，可以得到点3处的左行波${\varepsilon _{\text{l}}}({x_3},t)$：

2.   系统可靠性验证

为了验证LSHPB系统的可靠性，同时采用本套LSHPB系统和另一套高速SHPB系统对同一种材料开展相近应变率下的动态实验。若两套系统测试结果一致，则证明LSHPB系统是可靠的。

2.1   验证性实验方案

测试所采用的另一套实验系统为本实验室的高速SHPB系统^[23]，如图4所示。目标应变率为400 s⁻¹。选取硅橡胶作为验证性实验的试件材料。试件形状为圆柱形，直径为8 mm，厚度为2 mm，如图5所示。两套SHPB系统各测试3个试件。

图  4  双子弹电磁驱动SHPB系统^[23]

Figure  4.  Double-striker electromagnetic driving SHPB system^[23]

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图  5  硅橡胶试件

Figure  5.  Silicone rubber specimens

下载: 全尺寸图片 幻灯片

2.2   验证性实验结果

图6展示了使用LSHPB和传统SHPB系统获得的硅橡胶的应力-应变曲线。在控制加载速度相近且在SHPB系统的应变测量范围内，两套系统得到的数据具有很高的一致性，从而验证了LSHPB系统的可靠性。

图  6  分别利用LSHPB和SHPB测得的硅橡胶应力-应变和应力率-应变关系

Figure  6.  Stress-strain and strain rate-strain relationships of silicone rubber measured by LSHPB and SHPB system, respectively

下载: 全尺寸图片 幻灯片

3.   PVA水凝胶的SHPB实验

PVA水凝胶作为一种新型超软材料，在关节软骨替代等生物医学领域具有重要的应用前景。鉴于人体关节软骨在跌落或跳跃活动中会承受中低应变率的动态负荷，因此对PVA水凝胶在这些负荷下的力学响应进行深入研究具有重要意义。本文中开发的双子弹电磁驱动LSHPB系统，为探究PVA水凝胶在中应变率下的力学性能提供了一种有效的实验方法。

3.1   实验方案

PVA水凝胶是由水和PVA纤维构成的复合材料，本研究所用的试件通过反复冷冻解冻法制备，饱和状态下含水率可达85%。为了确保试件变形的均匀性并减弱径向惯性效应，设计圆柱形试件直径为6 mm、厚度2 mm，如图7所示。利用LSHPB系统对PVA水凝胶进行了力学性能测试，目标应变率为100和350 s⁻¹，每种应变率条件下均测试了至少4个试件。

图  7  饱和和脱水的 PVA 水凝胶试件

Figure  7.  Saturated and dehydrated PVA specimens

下载: 全尺寸图片 幻灯片

3.2   实验数据及处理

一次典型的350 s⁻¹应变率下的PVA水凝胶LSHPB实验数据如图8所示，包含应变片1、3、4所采集的应变信号。运用传播系数法（式(7)）可计算点3处的右行波${\varepsilon _{\text{r}}}\left( {{x_3}} \right)$，运用波分离法（式(8)）可计算点3处的左行波${\varepsilon _{\text{l}}}\left( {{x_3}} \right)$，此外还有点4处直接测得的右行波${\varepsilon _{\text{r}}}\left( {{x_4}} \right)$。再利用传播系数，根据点3和点4分别到入射杆和透射杆端面的距离，计算端面处的入射波${\varepsilon _{\text{I}}}$反射波${\varepsilon _{\text{R}}}$以及透射波${\varepsilon _{\text{T}}}$。图9展示了试件两端的入射波、反射波和透射波的绝对值。结果显示，入射波与反射波的差值与透射波吻合，表明试件满足SHPB实验的应力均匀基本假设。

图  8  典型的350 s⁻¹下PVA水凝胶LSHPB测试中应变片测得的应变以及左、右行波

Figure  8.  The strain measured by gauges in the LSHPB test of PVA hydrogel at 350 s⁻¹, as well as the left and right traveling waves

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图  9  端面处入射波、反射波和透射波的绝对值

Figure  9.  The absolute values of the incident wave, reflected wave, and transmitted wave at the end surface

下载: 全尺寸图片 幻灯片

式中：$A$为杆的截面积，${A_{\mathrm{s}}}$为试件初始面积，${l_{\text{s}}}$为试件初始厚度。采用式(9)计算试件的名义应力、应变以及名义应变率，其中试件的应力用透射波计算，应变用三波计算，在透射信号微弱的软材料SHPB测试中，这种简化的三波法比二波法或三波法更精确^[29]；试件的真实应力和应变则根据体积不变假设计算。

表  1  材料参数

Table  1.  Material parameters

所用数据应变率/s−1	κυT/kPa	k	α	β	G11/kPa	G21/kPa	θ1/s	G12/kPa	G22/kPa	θ2/μs
0.001～0.1, 1000～1500	16.7	6.12	0.079	0.58	17.7	0	77.6	338	228	98.9
0.001～100, 1000	16.7	6.12	0.079	0.58	17.7	0	77.6	510	261	50.4

下载: 导出CSV 

| 显示表格

图10～11展示了试件的名义应变率、真实应变、真实应力以随时间的变化以及应力（真实应变率）与真实应变的关系。需要指出的是，标称的350 s⁻¹应变率来自加载平台段的名义应变率均值，且实验结果只取应变0.7之前的数据，在此之后试件已明显不能保持恒应变率。

图  10  典型的350 s⁻¹下PVA水凝胶在LSHPB装置上实验结果

Figure  10.  The experimental results of a typical PVA hydrogel by LSHPB at 350 s⁻¹

下载: 全尺寸图片 幻灯片

此外，对于试件在加载过程中的径向惯性效应，采用Gorham等^[30]的处理方法进行修正，但计算结果表明中应变率实验过程中径向惯性产生的附加应力不超过1 kPa，可以被忽略。

图  11  350 s⁻¹下PVA水凝胶的应力应变关系

Figure  11.  The stress-strain relationship of PVA hydrogel at 350 s⁻¹

下载: 全尺寸图片 幻灯片

3.3   实验结果与分析

3.3.1   中应变率力学行为与强非线性应变率效应

图12描绘了PVA水凝胶在不同应变率条件下的应力-应变曲线以及对应的名义应变率，这些曲线是基于4个试件的平均结果。观察到随着应变率的提高，PVA水凝胶在相同应变水平下展现出更高的应力响应。进一步地，结合Xie等^[5]关于PVA水凝胶在低应变率和高应变率下的研究，图13展示了在应变为0.4时不同应变率下的应力值，从而揭示了PVA水凝胶的应力水平与应变率之间的关联。结果表明，PVA水凝胶的应变率效应在中应变率区域并不呈现双线性特征，而是展现出更平滑的变化趋势，这与文献[5]中预测的不同。

图  12  PVA 水凝胶的真实应力、应变率与应变的关系

Figure  12.  Stress- and strain rate-strain relationship of PVA hydrogel

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图  13  PVA 水凝胶的应变率效应

Figure  13.  The strain rate effect of PVA hydrogel

下载: 全尺寸图片 幻灯片

3.3.2   中应变率实验优化本构方程参数

利用拟合效果出色的非线性黏弹性本构模型^[25]对数据进行分析：

式中：$\kappa$为玻尔兹曼常数，为1.38×10⁻²³ J/K；$\upsilon$为聚合物链的数量；$T$为环境温度，25℃；$k$为反映水凝胶细观形态的系数；$\alpha$和$\beta$为表征水凝胶体积变化的参数；${G_{11}}$、${G_{21}}$和${\theta _1}$分别为低频广义Maxwell单元的弹性模量和松弛时间；${G_{12}}$、${G_{22}}$和${\theta _2}$则为高频广义Maxwell单元参数；${\dot \varepsilon _{\text{N}}}$为名义应变率。

如果不纳入中应变率数据，仅凭低应变率（0.001～0.1 s⁻¹）和高应变率的数据（1000～1500 s⁻¹），在预测100 s⁻¹和350 s⁻¹应变率下的力学行为时会产生最大18%的误差，如图14所示；而如果采用低应变率（0.001～0.1 s⁻¹）和部分中高应变率数据（100、1000 s⁻¹），来预测350和1500 s⁻¹的数据，误差则小于7%，如图15所示（相关参数列于表1）。这些预测结果表明，纳入中应变率数据可显著提高模型的预测效果。因此，对于软材料而言，中应变率的实验数据对于理解材料的率相关力学行为至关重要。

图  14  用其他数据预测100、350 s⁻¹应变率下的力学行为

Figure  14.  Mechanical behaviors at 100, 350 s⁻¹ strain rates predicted with other data

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图  15  用其他数据预测350、1500 s⁻¹应变率下的力学行为

Figure  15.  Mechanical behaviors at 350, 1500 s⁻¹ strain rates predicted with other data

下载: 全尺寸图片 幻灯片

4.   结　论

本文中成功构建并验证了一种新型的双子弹电磁驱动长分离式霍普金森压杆系统，可用于中应变率下超软材料的动态力学性能测试。对PVA水凝胶进行的实验表明，其应变率增强效应存在强非线性，且强非线性转化区间正好处于中应变率区间，但总体是光滑过渡的。结合已有的低和高应变率实验数据和本构模型所进行的分析表明，中应变率数据对于模型的预测效果和理解材料的率相关力学行为至关重要。