Study on the damage constitutive model of rock considering the influence of dynamic ratio of tension to compression
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摘要: 基于连续介质损伤力学,建立了一个弹塑性损伤耦合的岩石动态本构模型。该模型以统一强度理论作为屈服准则,并引入动态拉压比充分反映应变率效应;采用有效塑性应变和体积塑性应变表示压损伤变量和用有效塑性应变表示拉损伤变量从而反映拉压条件下岩石不同的损伤演化规律;采用分段函数来刻画岩石拉压条件下的不同塑性硬化行为;基于Fortran语言和LS-DYNA用户材料自定义接口(Umat)对所建立的本构模型进行数值实现;通过岩石单轴和三轴压缩试验、岩石单轴拉伸试验和岩石弹道试验等三个经典算例对所建立的本构模型展开验证。结果表明,该本构模型能全面刻画岩石的动静态力学行为。Abstract: Based on continuum damage mechanics, a rock dynamic constitutive model with coupled elastic-plastic damage was established. This model took the unified strength theory as the yield criterion and introduces the dynamic tensile-compressive ratio to fully reflect the strain rate effect. The effective plastic strain and volumetric plastic strain were used to represent the compressive damage variable, and the effective plastic strain was used to represent the tensile damage variable, thereby reflecting the different damage evolution laws of rocks under tensile and compressive conditions. A piecewise function was adopted to describe the different plastic hardening behaviors of rocks under tensile and compressive conditions. The established constitutive model was numerically implemented based on Fortran language and the LS-DYNA user material customization interface (Umat). The established constitutive model is verified by three classical calculation examples, namely, the uniaxial and triaxial compression tests of rocks, the uniaxial tensile test of rocks, and the ballistic test of rocks. The results showed that this constitutive model can comprehensively describe the static and dynamic mechanical behaviors of rocks.
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Key words:
- constitutive model /
- damage /
- ratio of tension to compression /
- strain rate
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岩石是矿业工程、土木工程和防护工程等领域中广泛涉及到的脆性材料,在这些领域中岩石经常受到爆炸和冲击等动载作用,岩石将不可避免地承受高压和高应变率[1]。如何准确描述并全面预测岩石材料的动态力学行为一直是学者努力的目标[2]。随着计算机技术的发展,数值模拟在解决岩石动力学问题方面发挥着越来越重要的作用。一个合适的岩石材料模型对理解和预测岩石材料的动态响应和失效行为至关重要[3-4]。
目前,一系列岩石材料的动态本构模型被提出,其中被广泛使用的是HJC模型[5],KCC模型[6],CSC模型[7]和RHT模型[8],这些模型被称为经典模型。经典模型自身都存在一定的缺陷,比如:HJC模型仅考虑了压损伤而忽视了拉损伤[9];KCC模型不能够准确捕捉到岩石材料的拉伸行为[10];CSC模型通过关联流动法则计算塑性应变从而可能导致不能够准确捕捉到岩石材料的体积膨胀行为[11];RHT模型忽略了Lode角效应[12]。
为了克服经典模型的缺陷,一些修正模型和新的模型已经被建立:Polanco-Loria等[9]通过考虑第三偏应力的影响、应变率的敏感性和拉损伤变量修正了HJC模型;凌天龙等[12]基于RHT模型提出了双线性拉伸软化模型,引入了Lode角因子,修正了应变率增强因子和拉-压子午比的计算公式;Yang等[13]建立了一个新的岩石损伤-塑性本构模型,该模型考虑了动载荷作用下的压缩压力和应变速率对岩石强度和峰后特性的影响;Li等[14]基于扩展的Drucker-Prager强度准则和Johnson-Cook材料模型建立了岩石材料的动态模型,该模型考虑了岩石材料在高围压和高应变率下条件下的力学行为;Huang等[1]在Kong等[15]所建立的混凝土动态模型的基础上提出了一个岩石的本构模型,模型充分考虑了岩石的高围压和应变率效应;胡学龙等[16]基于统一强度理论建立了一个岩石动态损伤模型;谢福君等[17]基于经典模型和统计损伤力学,提出了一个岩石压拉统计损伤本构模型;江雅勤等[18]通过组合模型的方法,构建了砂岩含损伤的动态本构模型;Shu等[19]提出了一种具有三个光滑失效强度曲面和三个不变量的新本构模型,该模型可以精确地捕捉静水压力引起的损伤机制以及拉伸和剪切损伤的相互作用;Huang等[20]基于HJC模型和JH-2模型建立了考虑高应变率和围岩影响的岩石动态边界表面塑性损伤模型;Xu等[21]结合孕育特征时间(ICT)准则和统一强度理论(UST),建立了一种通过等效应力历史捕获动态强度增加的弹性塑性损伤本构模型。无论是经典模型还是新建立的模型都有其优缺点[1],对经典模型的改进和新模型的建立仍是需要努力的方向。
本文中,以统一强度理论作为屈服准则,把动态拉压比引入屈服准则中,构建一个考虑动态拉压比影响的弹塑性损伤耦合模型,并通过岩石的单轴和三轴压缩试验、单轴拉伸试验和子弹侵彻岩石试验对新建立的本构模型进行验证。
1. 岩石损伤模型构建
1.1 考虑动态拉压比的统一强度准则
统一强度理论由俞茂宏等[22]提出,该强度理论充分考虑了作用于正交八面体单元的所有应力分量及其对材料失效的各种影响。统一强度理论有着明确的物理意义和统一的力学模型,被广泛应用于各种工程领域中,如采矿工程、土木工程、边坡工程和防护工程等。统一强度理论用主应力可表示为:
F={σ1−a1+b(bσ2+σ3)−σtσ2≤σ1+aσ31+a11+b(σ1+bσ2)−aσ3−σtσ2>σ1+aσ31+a (1) 式中:F为屈服函数;σ1、σ2和σ3分别为第一、二、三主应力;a为岩石材料单轴抗拉强度σt与单轴抗压强度σc的比,即a=σt /σc;b为中间主应力参数,反映中间主应力σ2对材料强度的影响,该参数在实际应用中作为强度准则的选择参数,因此统一强度理论也称为双参数统一强度理论。
统一强度理论不是单一的强度准则,而是随着中间主应力参数b的变化,统一强度理论可以形成一系列外凸强度准则(0≤b≤1)和非凸强度准则(b<0或b>1)[23]。当b=0时,统一强度理论简化为莫尔-库仑准则,这是统一强度理论的下边界;当b=1时,统一强度理论简化为双剪强度准则,这是统一强度理论的上边界;当a=1和b=0时,统一强度理论变为Tresca强度准则;当a=1和b=1/2,统一强度理论线性逼近von Mises强度准则,如图1所示。
为了使统一强度理论反映岩石材料的应变率效应,以往的研究通常采用瞬时应变率增强模型,即将准静态抗拉强度σt替换成动态抗拉强度σtd,从而使强度面沿着其径向或者法向进行放大。虽然该方法一定程度上捕捉了岩石材料统一强度面在不同应变率下的演化规律,但只是单纯地将强度面进行整体放大,忽略了岩石材料单轴抗拉强度与单轴抗压强度之比a的应变率依赖性,这与实验结果不符[24]。因此,应变率依赖的动态拉压比ad需要考虑到统一强度理论中,从而让动态统一强度理论更好地解释材料屈服失效机制。
在相同应变率下,仅由应变率效应引起的动态抗压强度和抗拉强度增量相等[25-27],因此有:
σtd−σt=σcd−σc (2) 式中:σtd为岩石材料单轴动态抗拉强度,σcd为岩石材料单轴动态抗压强度。
岩石材料动态单轴强度与准静态单轴强度的关系为
σtd=Itσt (3) σcd=Icσc (4) 式中:It、Ic分别为抗拉强度动态增长因子和抗压强度动态增长因子。
联立式(2)~(4),得:
Ic=(It−1)a+1 (5) 动态拉压强度ad可表示为:
ad=σtd/σcd (6) 联立式(3)、(4)和(6),得:
ad=aIt/Ic (7) 联立式(5)和(7),得:
ad=Ita/[(It−1)a+1] (8) 把式(1)中的a和σd分别替换为ad和σtd,可得动态统一强度理论为:
F={σ1−11+bIta(It−1)a+1(bσ2+σ3)−Itσtσ2≤σ1+adσ31+ad11+b(σ1+bσ2)−Ita(It−1)a+1σ3−Itσtσ2>σ1+adσ31+ad (9) 图2(a)为考虑动态拉压比统一强度理论屈服面在主应力空间的屈服面轨迹,动态拉压比随着拉伸强度动态增长因子的增加而增加。图2(b)为没有考虑动态拉压比统一强度理论屈服面在主应力空间的屈服面,屈服面只是径向扩大而拉压比保持不变。
本文中的抗拉强度动态增长因子It可以表示为[27]:
It=1+Ae[Blg(˙ε/˙ε0)−C] (10) 式中:A、B和C为应变率参数,可以通过试验数据进行拟合得到;
˙ε 和˙ε0 分别为应变率和参考应变率。1.2 损伤演化
为了刻画岩石在从变形到破坏的过程中刚度和强度的退化,需要对损伤因子ω进行合适表示。由于岩石材料在压拉应力状态下损伤具有不同的演化规律,因此为了反映不同应力状态下的损伤机制,分别对压损伤和拉伸损伤进行了处理。
(1) 压损伤
本文认为压损伤由剪切损伤和静水压力损伤两部分组成,其中剪切损伤是由剪切诱发微裂纹引起的,静水压力损伤来源于孔隙压实。本文引入HJC模型中对损伤变量的表示[5],即:
ωc=∑dγp+dμpD1(p∗+a)D2 (11) dγp=√23[(dεpij−13δij(δmndεpmn))(dεpij−13δij(δmndεpmn))] (12) dμp=δijdεpij (13) 式中:
ωc 为压损伤变量;dγp 为有效塑性应变增量;dμp 为塑性体积应变增量;dεpij 为塑性应变增量;D1和D2为岩石材料损伤常数;p*为标准化静水压力,p*=p/σc,p为实际静水压力;δij 为克罗内克符号。如图3[5]所示,实际静水压力p与体积应变μ的关系可以分为3个阶段:线弹性阶段、过渡阶段和压实致密阶段。其中:μcrush和pcrush为岩石达到弹性极限时的体积应变和静水压力;μlock和plock为岩石被压实时的塑性应变和静水压力;μplock为p=plock时所对应的体积应变。在线弹性阶段(0≤μ<μcrush), p=Kμ(K=pcrush/μcrush,为体积模量);在过渡阶段(μcrush≤μ<μplock),p=(plock−pcrush)/( μplock−μcrush)( μ−μcrush)+ pcrush;在压实致密阶段(μ≥μplock),p=K1
ˉμ + K2ˉμ2 + K3ˉμ3 (K1、K2、K3为岩石材料参数,ˉμ 为修正后的体积应变)。(2) 拉损伤
拉损伤由拉伸产生的微裂纹造成的,参考文献[13],拉伸损伤可以表示为:
ωt=η1(1−e−η2γp) (14) 式中:
γp 为有效塑性应变,η1 和η2 为材料拉损伤参数。1.3 硬化行为
岩石在压缩和拉伸条件下的硬化行为有显著差异。一般来说,岩石材料在压缩条件下有硬化行为,而在拉伸条件下表现出拉脆性而没有硬化行为[13-14, 28-30]。为了区别不同的硬化行为,采用的分段函数为:
h={β0+(βm−β0)γp/(b1+γp)p≥01p<0 (15) 式中:h为硬化函数;
β0、βm 分别为塑性硬化的初始临界值和最大临界值;b1为控制硬化速率的参数。1.4 本构关系
塑性势函数控制着岩石材料的塑性膨胀,本文中的塑性势函数为[31]:
G={σ1−a∗1+b(bσ2+σ3)σ2≤σ1+a∗σ31+a∗11+b(σ1+bσ2)−a∗σ3σ2>σ1+a∗σ31+a∗ (16) 式中:
a∗ 为反映塑性势摩擦角的假设参数,a∗=(1−sinψ)/(1+sinψ) ,ψ为膨胀角。因此,塑性应变增量为:
dεpij=dλ∂G/∂σij (17) 式中:
dλ 为塑性乘子,dεpij 为塑性应变增量张量,σij 为应力张量。根据一致性条件,有:
dF′=∂F′∂σijdσij+∂F′∂γpdγp+∂F′∂ωdω=0 (18) 式中:
F′ 为考虑损伤和硬化行为的统一强度屈服函数,即F′={σ1−11+bIta(It−1)a+1(bσ2+σ3)−ωhItσtσ2≤σ1+adσ31+ad11+b(σ1+bσ2)−Ita(It−1)a+1σ3−ωhItσtσ2>σ1+adσ31+ad (19) 根据连续介质损伤力学,应力增量与应变增量之间的关系为:
dσij=(1−ω)Dijmn(dεmn−dεpmn)−dωDijmn(εmn−εpmn) (20) 式中:
dσij 为应力增量张量,Dijmn 为弹性张量。联立式(12)和式(17),可得:
dγp=Qdλ,Q=√23[∂G∂σij−13δij(δmn∂G∂σmn)][∂G∂σij−13δij(δmn∂G∂σmn)] (21) 联立式(17)、(18)、(20)和(21)可得:
dλ=(∂F′/∂σij)(1−ω)Dijmndεmn+[∂F′/∂ω−(∂F′/∂σij)Dijmn(εmn−εpmn)]dω(1−ω)(∂F′/∂σij)Dijmn(∂G/∂σmn)−Q∂F′/∂γp (22) 因此,模型的本构关系为:
dσij=(1−ω)Dijmn(1−Q1)dεmn−[Q2+Dijmn(εmn−εpmn)]dω (23) Q1=(1−ω)(∂F′/∂σij)Dijmn(∂G/∂σmn)(1−ω)(∂F′/∂σij)Dijmn(∂G/∂σmn)−Q∂F′/∂γp (24) Q2=(1−ω)[∂F′/∂ω−Dijmn(εmn−εpmn)]Dijmn(∂G/∂σmn)(1−ω)(∂F′/∂σij)Dijmn(∂G/∂σmn)−Q∂F′/∂γp (25) 2. 模型数值实现
为了求解和验证本构模型以及增强模型的应用性,需要对本构模型进行数值实现。由于本文中建立的本构模型是一个塑性与损伤耦合的模型,对模型进行求解比较复杂,因此本文采用图4所示的完全隐式后向欧拉算法的简化形式半隐式应力返回算法[32]实现数值计算。模型数值实现的流程如下。
(1)弹性预测:计算试探应力
σtriij=σkij+DijmnΔεk+1mn ,其中,k为迭代步数。(2) 判断强度屈服函数
F′(σtriij,γp,k,ωk)≤0 是否存在:若存在,则有σk+1ij=σtriij ;若不存在,继续进行第(3)步。(3) 应力返回:当
F′(σtriij,γp,k,ωk)>0 时,试探应力位于屈服面以外,需要把试探应力拉回到屈服面上。根据塑性力学可知,在屈服面上有:F′,k+1(σk+1ij,γp,k+1,ωk+1)=0 (26) 对式(26)在试探应力处进行一次泰勒展开有:
F′,k+1=F′,tri+∂F′∂σijΔσcrectorij|tri+∂F′∂ωΔω|tri=0 (27) Δσcrectorij=σk+1ij−σtriij=[−(1−ωk)DijmnΔεpmn−σij/(1−ωk)]|tri 联立式(17)、(21)、(26)和(27)可得
dλ=F′,tri(∂F′/∂σij)(1−ωk)Dijmn∂G/∂σmn|tri+{Q′[(∂F′/∂σij)σij/(1−ωk)−∂F′/∂ω]}|tri−Q∂F′/∂γp|tri (28) Q′={(Q+δij∂G/∂σij)/[D1(p∗+a)D2]p≤0η1η2e−η2γpQp>0 (4) 更新应力
σk+1ij 、塑性应变εp,k+1ij 、有效塑性应变γp,k+1 和损伤变量ωk+1 :σk+1ij=σkij+Δσtri,k+1ij+Δσcrectorij (29) εp,k+1ij=εp,kij−Ck+1ijmnΔσcrectormn (30) γp,k+1=γp,k+Δγp,k+1 (31) ωk+1=ωk+Δωk+1 (32) 式中:Cijmn为弹性柔度张量。
根据以上计算流程,通过LS-DYNA的用户材料自定义接口Umat,采用Fortran语言对本构模型的求解进行编程,并把新生成的求解器导入LS-DYNA软件中。
3. 模型验证
一个模型的正确与否需要通过试验进行验证,在该部分通过岩石的单轴和三轴压缩试验、单轴拉伸试验和弹道试验对本文所建立的模型进行验证。
3.1 岩石压缩试验
Wawersik等[33]对田纳西大理石进行了一系列的单轴和三轴压缩试验。田纳西大理岩的基本物理力学参数如下:密度ρ=
2680 kg/m3,弹性模量E=71.91 GPa,泊松比υ=0.20,单轴抗压强度σc=130 MPa,单轴抗拉强度σt=36.65 MPa。数值模拟中大理岩有限元模型与试验中的大理岩试件形状和尺寸相同,即形状为圆柱形,尺寸为∅ 50 mm ×100 mm,有限元网格尺寸为2 mm,有限元模型和边界条件如图5所示。数值模拟中所采用的其他模型参数如下:A=0,B=0,C=0,β0=0.8,βm=1.15,b1=1.8×10−4,D1=0.015,D2=1.0,μcrush=0.88×10−3,μlock=0.011,pcrush=35 MPa,plock=0.8 GPa,K1=51.86 GPa,K2=−54.12 GPa,K3=1359.66 GPa,η1=0.98,η2=300,上述参数的具体确定方法可参考文献[2]。图6为大理岩在不同围压下的应力-应变曲线。可以看出,大理岩的应力-应变曲线数值模拟结果与试验数据比较吻合。不同围压下大理岩的应力-应变曲线均经历了线弹性、硬化和软化三个阶段;随着围压的增加,大理岩由脆性逐渐向韧性转变。
3.2 岩石拉伸试验
Okubo等[28]对凝灰岩进行了单轴拉伸试验,获取了凝灰岩完整的应力-应变曲线。凝灰岩的基本物理力学参数如下:密度ρ=1920 kg/m3,弹性模量E=5.87 GPa,泊松比υ=0.23,单轴抗压强度σc=32.92 MPa,单轴抗拉强度σt=2.71 MPa。凝灰岩单轴拉伸的数值模拟试验中所采用的其他模型参数如下:A=0,B=0,C=0,β0=1.0,βm=1.0,b1=1.8×10−4,D1=0.04,D2=1.0,μcrush=3.04×10−3,μlock=
0.0245 ,pcrush=11 MPa,plock=0.54 GPa,K1=9.76 GPa,K2=−21.80 GPa,K3=401.85 GPa,η1=0.98,η2=160。有限元模型与试验试样保持一致,即形状为圆柱形,尺寸为∅ 25 mm ×50 mm[29],有限元网格尺寸为2 mm。凝灰岩有限元模型与边界条件如图7所示。图8为凝灰岩单轴拉伸应力应变曲线,图中凝灰岩在单轴拉伸条件下经历了线弹性和软化两个过程,凝灰岩单轴拉伸应力-应变曲线的数值模拟结果与试验数据比较吻合。
3.3 子弹侵彻岩石试验
Seah等[34]对花岗岩进行了子弹侵彻试验,该部分基于此试验对建立的模型进行验证。试验中钢制子弹由压缩气体枪发射,通过光电池系统测量子弹在最终撞击目标之前的初速度。钢制子弹长94.9 mm,直径为20 mm,质量为0.2 kg,如图9所示。花岗岩靶尺寸为600 mm×600 mm×100 mm,质量约为100 kg,由刚性钢板锚定,花岗岩弹道试验装置如图10所示。为了降低计算成本和提高计算效率,仅对四分之一的花岗岩靶和钢制子弹进行建模,如图11所示。钢制子弹和花岗岩靶采用三维实体单元SOLID 164。为了在节省计算时间的同时保证计算精度,对花岗岩靶进行了局部网格细化,花岗岩靶体的单元尺寸在撞击位置近区为1 mm,超过子弹直径的3倍后扩大到3 mm;子弹的单元尺寸为1 mm。采用侵蚀表面接触算法来反映子弹与花岗岩靶体的接触行为。本试验中花岗岩的基本物理力学参数为:密度ρ=
2626 kg/m3,弹性模量E=54 GPa,泊松比υ=0.27,单轴抗压强度σc=163 MPa,单轴抗拉强度σt=7.1 MPa。模拟中所采用的其它模型参数如下:A=1.93,B=0.75,C=0.10,β0=1.0,βm=1.0,b1=1.8×10−4,D1=0.04,D2=1.0,μcrush=1.39×10−3,μlock=0.1,pcrush=54.33 MPa,plock=0.8 GPa,K1=85 GPa,K2=−171 GPa,K3=208 GPa,η1=0.98,η2=200,其中模型参数A、B和C可以通过对试验数据[1]进行拟合确定,如图12所示。子弹采用刚体材料模型,其材料参数如下[14]:弹性模量E=210 GPa,密度ρ=7850 kg/m3,泊松比υ=0.2,屈服强度σy=1900 MPa。图13为考虑动态拉压比情况下子弹以279 m/s速度侵彻花岗岩靶板时的数值结果,可以看出,花岗岩靶板在子弹的作用下形成了弹坑和锥形塞,这与试验结果也比较一致[34]。所形成的锥形塞高度和靶板背面弹坑的直径如图13和表1所示。锥形塞高度的数值模拟结果66 mm,与试验结果65 mm一致,相对误差仅为1.5%,远小于解析值[34]与试验结果[34]的相对误差(18.5%);靶板背面弹坑直径数值模拟结果为274 mm,与试验结果312 mm[34]的相对误差为12.2%,也远小于解析值(455 mm)[34]与试验结果(312 mm)[34]的相对误差(45.8%)。
表 1 花岗岩靶板受子弹冲击后锥形塞高度和靶板背面弹坑的直径Table 1. The cone plug height of granite target plate impacted by bullets and the diameter of crater on the back of target plate图14为未考虑动态拉压比情况下子弹以279 m/s速度侵彻花岗岩靶板的数值结果,可以看到,未考虑动态拉压比情况下子弹侵彻花岗岩也有弹坑和锥形塞的形成,形成的锥形塞高度为67 mm,与试验值65 mm和考虑动态拉压比得到的结果66 mm也比较接近。与考虑动态拉压比时所不同的是,未考虑动态拉压比情况下所形成的背面弹坑直径仅为180 mm,与试验值312mm[34]相差很大,相对误差高达42.3%,与解析解相对误差(45.8%)[34]基本持平。因此,综合对比上述两种情况的数值模拟结果(见表1),考虑动态拉压比时本构模型更能很好地刻画花岗岩在冲击荷载下的力学行为。
4. 结 论
以考虑动态拉压比影响的统一强度理论作为屈服准则,建立了一个能够综合反映岩石静动态力学行为的弹塑性损伤耦合的本构模型;基于LS-DYNA材料模型二次开发接口和半隐式应力返回算法,对本构模型进行了数值实现;通过单轴和三轴压缩试验、单轴拉伸试验及子弹侵彻岩石试验对所建立的本构模型进行了验证。主要结论如下:
(1) 建立的本构模型不仅能够捕捉岩石的静态力学行为,还能刻画其动态力学特征;
(2) 与未考虑动态拉压比相比,考虑动态拉压比影响的本构模型能够更好地反映子弹侵彻作用下岩石靶板的损伤破坏模式。
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表 1 花岗岩靶板受子弹冲击后锥形塞高度和靶板背面弹坑的直径
Table 1. The cone plug height of granite target plate impacted by bullets and the diameter of crater on the back of target plate
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