A study on the viscous characteristics of granular fault gouge under low and high slip rates
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摘要: 岩石断层颗粒夹层的黏性特性对断层的动力学行为具有重大影响,针对不同断层滑移速度下断层颗粒夹层黏性系数的确定问题进行了理论研究。首先,对颗粒夹层的慢速剪切滑移,采用Maxwell松弛模型,得到了颗粒夹层力链长度对于剪切应变率、剪切带的有效扩展速度、颗粒介质强度的关系,进一步获得了颗粒夹层剪切带的松弛时间和颗粒介质的黏性系数表达式,建立了颗粒介质固-液力学行为转换的条件。与已有试验数据对比验证了本模型的正确性。最后,对于高速的断层滑移剪切,颗粒介质运动具有湍流特征,应用统计物理学来描述断层中颗粒之间的相互作用,得到了黏性系数与颗粒夹层剪切应变率成反比的结论。Abstract: The viscous characteristics of granular fault gouge significantly impact the dynamic mechanical behavior of faults, yet the problem of determining the viscosity of these interlayers at different slip velocities remains unresolved. This article presents theoretical research on this issue. The Maxwell relaxation model was employed to study the evolution of force chains in granular fault gouge during slow shearing of granular gouge, and the dependence of force chain length on shear strain rate, effective extension speed of shear bands, and strength of the granular medium was derived. The relaxation time of the shear band in granular fault gouge, the expression for the viscosity coefficient of the granular medium, and the conditions for the transformation of solid-liquid mechanical behavior of the granular medium were established. The validity of this model was verified through comparison with existing experimental data. For high-speed fault slip shear, the motion of the granular medium exhibits turbulent characteristics. Statistical physics was used to describe the interaction between granular particles in granular fault gouge, and it was found that the viscosity coefficient is inversely proportional to the shear rate at high slip rates. The research results have fundamental significance for understanding the viscous and other physico-mechanical properties of granular gouge in faults.
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Key words:
- viscosity /
- granular gouge /
- fault /
- slip velocity
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按照萨道夫斯基的观点[1],地壳岩体被大大小小的不连续结构面切割,地壳岩体具有复杂的自相似内部结构层次。这些不连续的结构面在大的尺度上表现为断层,在小的尺度上表现为为节理、裂隙等。岩体的结构面在很大程度上控制着岩体的物理力学性质,岩体的变形、运动与破坏主要集中于结构面。自然界中的动力现象,如天然地震、触发矿震和岩爆等,主要发生于岩体结构面上。因此,研究岩体结构面的力学性质一直是地球物理学、地震学、矿山岩石力学的重要课题。
断层力学是在地震力学的框架内,由诸多学者们共同努力发展起来的[2-13]。为了描述地震近区高频运动的观测参数,在20 世纪后半叶发展了一种方法,按照这种方法,断层滑移面是不均匀的,含有称为凹凸体[4]或障碍物[5]的特殊区域。凹凸体在破裂扩展中起着不同的作用。根据粗糙度模型,地震的震级取决于几个这样的区域在动力事件中的破坏能力。但需要注意的是,这些区域承受了更高的法向应力,而不是具有更大的摩擦因数。这种方法引入了速度强化(velocity strengthening,VS)和速度弱化(velocity weakening,VW)的概念。在广泛采用的率-态摩擦模型框架内[7],凹凸体是在接触处具有明显速度弱化特性的区域,而断层的其他部分可能是显示速度强化特性的区域[14]。对断裂带深钻获得的地质材料样品开展的试验室研究表明[15-16],VS 和 VW 区域的矿物学成分往往不同。大多数构造断层可能包含VS 和 VW 剖面[17]。
断层的摩擦和强度特性在地震力学中起着关键作用 [18-20]。近几十年来,摩擦研究的主要进展是建立了率-态摩擦律(rate and state friction law, RSFL)[7-8]。在断层滑移速度 v = 0 时,RSFL律的对数速度依赖性与经典静摩擦模型矛盾。针对此问题已经提出了几种修正模型,其中包括在滑移率上增加一个小的截止速度[21],将对数改为反双曲正弦函数[22]。RSFL 定律的另一个问题是,地震断层滑移速度约为米/秒量级,而得到 RSFL定律的试验范围是从微米/秒到毫米/秒量级的[7]。地震断层滑移速度下的试验室试验表明,摩擦力远低于 RSFL律对摩擦力对数衰减的外推预测值[23]。在广泛的断层滑移速度范围内进行的试验表明[24-26],摩擦因数在 v>0.1 m/s 时急剧下降。因此,RSFL律在亚地震断层滑移速度下成立,但在接近或超过临界断层滑移速度 vc≈0.1 m/s 时,其有效性值得怀疑。Toro等[24]和Goldsby等[25]对3种类型岩石的摩擦因数μ的速度依赖性进行了研究,并提出了一种改进的摩擦定律(modified friction law, MFL)[27]。这3种岩石为富含石英的岩石、含硅酸盐的岩石和含碳酸盐的岩石。摩擦滑移有3种状态:状态 1:低速(v<10−4 m/s);状态 2:中等速度(10−4 m/s≤v≤10−2 m/s);状态 3:高速(v>10−2 m/s),Chen等[28]把摩擦律扩展到了高速(1 mm/s ≤ v ≤ 10 m/s)。但考虑到滑移层湍流剪切性质的理论研究还较为缺乏。
在过去一段时间内,学者们[15, 29-31]通过试验研究了颗粒水平上的材料特性对宏观滑移模式的影响。Chen等[32]在研究某些材料的摩擦因数µ 对表面粗糙度的依赖性时获得了一个重要结果:对于尺度为0.01~10 µm的粗糙度,摩擦因数与粗糙度密切相关;随着微粗糙度的增加,µ 值迅速达到约0.65~0.8,这与宏观尺度下岩石表面的普遍 Byerlee摩擦定律相对应[33]。Chen等[32]认为断裂摩擦的减少主要由 0.01~10 µm 范围内的磨损(小的粗糙度)控制,而大规模自然断层的粗糙度对µ 值的影响有限。
大多数地震断层都含有颗粒夹层。断层颗粒夹层的力学行为会影响断层地震特性[34-35]。研究表明[36],颗粒夹层的力主要集中在颗粒介质的力链中。力链的长度可能有几个颗粒直径大小,也可能延伸数百个颗粒直径,并且优先沿着颗粒系统中最大压应力的方向排列。在持续加载和变形情况下,力链最终在其侧向约束薄弱邻域发生屈曲,这种约束屈曲导致剪切带的形成,此为颗粒物质破坏的关键机制[36]。一旦充分发育,剪切带将材料分割成可以彼此相对滑移的刚体区域[37]。试验和数值模拟表明[38],力链网络具有复杂的层次结构。力链的产生率与应变率成正比,力链的寿命与应变率成反比。
Kocharyan等[39]、Budkov等[40]、Ostapchuk等[41-42]对颗粒夹层的剪切行为进行了试验室试验、现场试验和数值模拟。Budkov等[40]的研究表明,颗粒介质的黏性系数并不像牛顿液体那样是材料的固有特性,而是依赖于变形剪切率、温度和其他因素的广义特征参数。数值模拟结果表明:在模拟慢滑时,标准的率-态模型无法成功再现断层的黏滑运动特征。为了再现断层的黏滑运动特征,必须在率-态模型的标准方程中[7-8]引入一个与黏度有关的项:
τvis=ηv/δ ,即:τ=σn[μ0+aln(|v|/v0)+bln(v0θ/Dc)]+ηv/δ=τfric+τvis (1) 式中:
τ 为剪切力;τfric=σn[μ0+aln(|v|/v0)+bln(v0θ/Dc)] ,为与摩擦相关项;σn 为有效正应力(施加的正应力减去孔隙压力);v为断层滑移速度;v0为参照速度;μ0为v=v0时的稳态摩擦因数;a、b为材料特性参数;Dc为临界滑移距离;θ 为状态变量;δ 为颗粒夹层厚度。通过试验数据与数值模拟的最佳对应关系,得到了相关系数为R=0.95 的有效黏性系数η 与最大断层滑移速度vmax 的关系[40]:η=235v−0.97max (2) 式中:
vmax 的单位为 mm/s。但式(2)中黏性系数与最大断层滑移速度依赖关系的物理机制尚未阐明。Lu等[43]通过试验研究了剪切颗粒流过渡区的剪切弱化现象,发现颗粒流从类固体向类液体的转变发生在Savage数Sa约为10−7时。但这种转变的机制尚未被揭示。
Chen等[28]引入摩擦加热激活的多个晶粒尺度变形机制,将滑移模型扩展到高断层滑移速度范围(1 mm/s≤v≤10 m/s)。随着速度和温度的增大,该模型预测了主要变形机制的持续转变,从低速和低温下部分配位的塑性摩擦颗粒流,到高速和高温下配位增加的固态扩散晶界滑移。研究还表明[28],熔体层内的温度升高、熔融和黏性剪切在断层滑移弱化中起着重要作用。但目前的模型没有考虑断层夹层在高剪切应变率下剪切的湍流性质。因此,对高剪切应变率下的黏性系数的理论和试验研究是必要的。
但到目前为止,仍然缺乏力学模型来描述断层夹层颗粒介质力链的演化,以及随着剪切应变率的增大,夹层颗粒流从类固体向类液体的转变特征[44-45],以及夹层颗粒黏性系数的确定问题;也没有模型考虑断层夹层颗粒介质在高剪切应变率下的湍流特性对于其黏性系数的影响问题。因此,本文中建立描述断层夹层颗粒介质滑移运动特性的力学模型,以期揭示断层夹层颗粒介质黏性随剪切应变率变化的机制。
1. 低速滑移下的断层颗粒夹层的黏性特性
大多数岩石断层都含有颗粒夹层,其力学行为影响断层的动力学特性。大多数对于岩石摩擦特性的研究没有提供剪切介质中接触力的直接数据。相比之下,断层颗粒夹层模型可以明确地描述断层带内的力的演化特性。因此,研究断层颗粒夹层的力学特性有助于理解地震发生的力学和物理机理。
在荷载作用下,力并非均匀分布在整个颗粒介质中,而是集中在力链中。力链是准线性颗粒链,在变形颗粒介质中传递高于平均水平的接触力。力链网络具有复杂的层次结构,即具有不同的尺度级别。最大应力集中在最大尺度的力链中。随着断层滑移速度的增加,较大尺度的力链发生屈曲,较小尺度的力链逐渐承载更多的载荷。力链的生产率与剪切应变率成正比,力链的寿命与剪切应变率成反比。
力链位于弱粒子网络的包围中(即承受低于平均接触力的粒子网络中)。一方面,在持续的荷载和变形作用下,力链最终在力链侧向约束薄弱邻域发生屈曲,导致剪切带形成和介质卸载,这是颗粒物质破坏的关键机制。另一方面,持续剪切将加载颗粒介质。因此,对颗粒介质中力链的演化可使用Maxwell类型的松弛模型来描述[46]。对于给定的颗粒介质和加载条件,集中在具有特征长度为
l 的力链中的等效偏应力s(l)ij 的演化方程可由以下列方程描述:ds(l)ij/dt=2ρc2s˙eij−vbs(l)ij/l (3) 式中:右边第一项反映了荷载是由剪切变形施加的,而第二项反映了松弛是由剪切带的传播引起的;
˙eij 为偏应变率分量;ρ 为介质的密度;vb为松弛速度,可以认为是颗粒夹层局部剪切滑移带的有效扩展速度,目前尚无确定该速度的理论方法,仅有试验数据;cs 是弹性剪切波在颗粒介质中的传播速度。至于剪切滑移带的有效扩展速度,砂土剪切试验表明[47],剪切滑移带在γ*≈10%的剪切变形下开始形成,在断层滑移速度从0.005~0.5 mm/s两个数量级的变化时,局部剪切滑移带的有效扩展速度约为4 mm/s,即局部剪切滑移带的有效扩展速度实际上并不取决于断层滑移速度。因此,可以将松弛速度视为常数。这种情况非常类似于真空中光传播速度的恒定性,以及固体中最大裂纹传播速度的近似恒定性。
对于恒定的剪切率方程(式(3))有下列解:
s(l)ij=2ρc2s˙eijlvb[1−e−vbt/l]=2ρc2s˙eijtr[1−e−t/tr] (4) 对于恒定应变率和足够长的加载时间
t≫τ=v/l ,加载过程由松弛时间界定,由式(4) 得:s(l)ij≈2ρc2s˙eijlvb (5) 把式(5)代入到偏应力强度表达式
σ(l)I=(3s(l)ijs(l)ij /2)0.5得:σ(l)I=3ρc2s˙εIlvb (6) 式中:
˙εI=(2˙eij˙eij/3)0.5 为等效应变率。只有当偏应力强度
σ(l)I 达到极限σ∗ 时,力链破坏,介质才会发生宏观破坏:σ∗=3ρc2s˙εIl/vb (7) 对于vb等于常数时,式(7)建立了强度极限σ*、力链长度 l 和等效应变率
˙εI 之间的关系。对于给定的力链长度 l 下的等效应变率˙εI ,得到了颗粒介质受剪激活的工作力链的尺寸l为:l=σ∗vb/(3ρc2s˙εI) (8) 在简单剪切滑移的情况下:
˙εI=˙γ/2=v/2δ (9) 式中:
δ 为颗粒夹层的厚度。这样式(8)变为:l=2σ∗vbδ/(3ρc2sv) (10) 力链的松弛时间为:
tr=l/νb=σ∗/(3ρc2s˙εI) (11) 黏性系数η可以表示为[48]:
η=Gtr (12) 式中:G为材料的剪切模量;tr为松弛时间。
这样就可以得到颗粒介质的有效黏性系数:
η=Gtr=ρc2str=2σ∗δ/3v (13) 如果考虑到在慢速剪切时,颗粒介质的强度与应变率为对数关系,即 σ*
∝ ln˙εI =ln(v/δ),显然,黏性系数不会严格地反比于断层滑移速度,而应该是指数略小于1,正如式(2)所示,η∝v−0.97max 。这样就揭示了式(2)的物理机理。下面验证模型的正确性。式(1)把剪应力分为摩擦应力τfric 和黏性应力τvis两部分。因此式(13)中的σ*应该排除摩擦应力分量τfric,即σ*=τvis。Kocharyan等[39]在试验中使用了粒径为0~200 µm和200~500 µm的石英砂,和粒径小于20 µm的土作为夹层颗粒介质。断层滑移速度为1 μm/s, 平均的颗粒夹层厚度δ=1.5 mm。正压力σn=0.05 MPa,剪切接触面积A=254 cm2。对于干土层的试验,驱动力F=906 N,摩擦因数μ=0.7,因此σ*=τvis=F/A−μσn=669 Pa,从式(13)中可得η=669
v−1max 。考虑到在确定剪切力时的误差为±8 N,黏性系数 η=(669±315)v−1max 。对于湿的土,驱动力为F=719 N,摩擦因数为μ=0.56,因此σ*=τvis=F/A−μσn=307 Pa,从式(13)可得 η=307v−1max 。考虑到在确定剪切力时的误差为±7.5 N,黏性系数 η=(307±295)v−1max 。考虑到众多因素影响黏性系数的确定,可以认为式(13)的预测可接受。Lu等[43]通过试验研究了剪切颗粒沙流过渡区的剪切弱化,与Lu 等[43]的试验数据进行对比,发现颗粒流从类固体向类液体转变,即随着剪切变形率的增大,剪应力开始减小的点发生在Savage数Sa≈10−7之时。
由式(7)可以得到对应于力链长度为l时的等效应变率为:
˙εI=σ∗vb3ρc2sl=ε∗vbl (14) 式中:
ε∗=σ∗/3ρc2s 为应力为σ*时的极限应变。如果力链的长度l 达到颗粒直径大小d,即l=d,也即力链消失,颗粒物质将表现液体行为。由上式可得相应的特征剪切应变率为:
˙γd=2ε∗vbd (15) Lu 等[43]试验中的平均砂粒直径d=
0.44 mm,砂的密度ρ=2.65×103 kg/m3,施加应力σ≈4 kPa。极限应变ε*和vb在文献[43]中没有给出。为了进行近似评价,引用Turuntaev等[48]中关于沙子的试验数据,即取vb的平均值0.004 m/s,极限应变为 σ*=γ*/2=0.05。则根据式(15),从类固体行为转变为类液体行为的相应特征剪切应变率˙γd=2ε∗vd=0.91s−1 ,相应的Savage数为:Sa=ρd2˙γ2dσ=4ρ(ε∗vb)2σ=4×2.65×103×(0.05×0.004)24×103=1.07×10−7 (16) 可以看出,上述估计与Lu等[43]的结果一致性较好。因此,该模型与试验结果一致。 说明了模型的合理性。该模型包含了颗粒大小、断层滑移速度、颗粒介质强度、剪切模量、剪切应变率和剪切带的有效扩展速度,为真正的颗粒介质力链演化的力学模型。
2. 高速滑移下的断层颗粒夹层的黏性特性
即使在慢速剪切作用下,颗粒夹层的运动模式包含涡旋的形成、解体、再形成的重复过程[49-50]。在快速(v=0.1~10 m/s)滑移下,断层夹层的剪切率很大。例如,对于断层滑移速度v=0.1 m/s时,1.5 mm厚的颗粒夹层,剪切率达到67 s−1;对于断层滑移速度v=1.0 m/s时,剪切率达到670 s−1,比固-液转换剪切率0.91 s−1 高2~3个数量级。在快速滑移情况下,夹层介质中会发生诸如温度升高、粒子碎化(纳米粒子的形成)、介质熔化、含碳酸钙介质的分解等物理化学现象[51]。断层颗粒夹层的粒子的运动为旋转模式主导,为湍流运动[52]。颗粒速度的脉动和分散增强了介质运动的湍流特征。因此,使用统计物理学来描述岩石颗粒之间的相互作用是合理的。
假设
{ {\boldsymbol{R}}_i} 是第i个粒子在时刻t的位置,可以用时间相关的分布函数\psi \left( {{{ {\boldsymbol{R}}}_1},{{{\boldsymbol{R}}}_2}, \cdots ,{{{\boldsymbol{R}}}_N},t} \right) 来描述粒子的动力演化。然后,在给定的点{{\boldsymbol{R}}_i} 和时间t发现粒子的概率由下式确定[53]:\frac{{\partial \psi }}{{\partial t}} = - \sum^N_{i=1} {\frac{\partial }{{\partial {{{\boldsymbol{R}}}_i}}}} \left( {{{{\boldsymbol{R}}}_i}\psi } \right) (17) 对于断层滑移速度场,式(17)可以被转换为下列方程[54]:
\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\partial}{\partial\boldsymbol{R}_{ }}\left(\frac{\partial D}{\partial\boldsymbol{R}_{ }}-\boldsymbol{v}_{\mathrm{r}}\psi\right) (18) 式中:
{\boldsymbol{v}}_{\mathrm{r}} 为粒子的相对速度;D为扩散系数,D = {{kT} \mathord{\left/ {\vphantom {{kT} \varsigma }} \right. } \varsigma }, 其中\varsigma = 2 {\text{π}} a\eta ,a 为颗粒半径。那么由给定的流场,
{\boldsymbol{v}}_{\mathrm{r}} 所产生的局部应力{\sigma _{\alpha \beta }}\left( {{\boldsymbol{r}},{\boldsymbol{R}}} \right) 的构形平均应力{\overline \sigma _{\alpha \beta }}\left( {{\boldsymbol{r}}} \right) 由下式决定:{\overline \sigma _{\alpha \beta }}\left( {{\boldsymbol{r}}} \right) = \int {{\sigma _{\alpha \beta }}\left( {{\boldsymbol{r}},{\boldsymbol{R}}} \right)} \psi \left( {{\boldsymbol{R}}} \right){\mathrm{d}}{\boldsymbol{R}} (19) 而
{\overline \sigma _{\alpha \beta }} 在含有N 个粒子的单元体积V 上的体积平均为:\begin{split}\left\langle\overline{\sigma}_{\alpha\beta}\left(\boldsymbol{r}\right)\right\rangle= & \frac{1}{V}\int_{ }^{ }\overline{\sigma}_{\alpha\beta}\left(\boldsymbol{r}\right)\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\frac{1}{V}\left[\int_{V_2}^{ }\overline{\sigma}_{\alpha\beta}\left(\boldsymbol{r}\right)\mathrm{d}\boldsymbol{r}+\sum\limits_{i=1}^N\int_{V_i}^{ }\overline{\sigma}_{\alpha\beta}\left(\boldsymbol{r}\right)\mathrm{d}\boldsymbol{r}\right]= \\ & \frac{1}{V}\left[\int_{V_2}^{ }\eta_2\gamma_{\alpha\beta}\mathrm{d}\boldsymbol{r}+\sum\limits_{i=1}^N\int_{V_i}^{ }\overline{\sigma}_{\alpha\beta}\left(\boldsymbol{r}\right)\mathrm{d}\boldsymbol{r}\right]=\frac{1}{V}\left[V_2\eta_2\left\langle\dot{\gamma}_{\alpha\beta}\right\rangle+\left(\sum\limits_{i=1}^NV_i\right)\cdot\left\langle\sigma_{\alpha\beta}\right\rangle_1\right]= \\ & \frac{1}{V}\left[V_2\eta_2\left\langle\dot{\gamma}_{\alpha\beta}\right\rangle+V_1\cdot\left\langle\sigma_{\alpha\beta}\right\rangle_1\right]=\eta_2\left\langle\dot{\gamma}_{\alpha\beta}\right\rangle(1-\varphi)+\varphi\left\langle\sigma_{\alpha\beta}\right\rangle_1\end{split} (20) 式中:
{V_i} 为第 i个粒子的体积;{V_1} =\displaystyle \sum\limits_{i = 1}^N {{V_i}} 为所有粒子占有的体积;V2 为粒子之间间隙的体积;V为考察的单元体积;{\eta _2} 为粒子之间的黏性系数;\varphi=V_1/V 为粒子体积占有的体积份额;\left\langle {{{\dot \gamma }_{\alpha \beta }}} \right\rangle = \dfrac{1}{V}\displaystyle\int_V {{{\dot e}_{\alpha \beta }}\left( {{\boldsymbol{r}}} \right){\mathrm{d}}{\boldsymbol{r}}} 为平均的剪切应变率。这样有效黏性为:
{\eta _{\alpha \beta }} = {{\left\langle {{{\overline \sigma }_{\alpha \beta }}} \right\rangle } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left\langle {{{\bar \sigma }_{\alpha \beta }}} \right\rangle } {\left\langle {{{\dot \gamma }_{\alpha \beta }}} \right\rangle }}} \right. } {\left\langle {{{\dot \gamma }_{\alpha \beta }}} \right\rangle }} (21) 因此有:
{\eta _{\alpha \beta }} = {\eta _2}\left( {1 - \varphi } \right) + \frac{{\varphi {{\left\langle {{\sigma _{\alpha \beta }}} \right\rangle }_1}}}{{\left\langle {{{\dot \gamma }_{\alpha \beta }}} \right\rangle }}\qquad \begin{array}{*{20}{c}} {\alpha \ne \beta }&{} \end{array} (22) 其中:
\left\langle\sigma_{\alpha\beta}\right\rangle_1=\frac{1}{V_1}\int_{V_1}^{ }\overline{\sigma}_{\alpha\beta}\left(\boldsymbol{r}\right)\mathrm{d}\boldsymbol{r} (23) 对于二维的情况,设流场为:
{\boldsymbol{v}}_{\mathrm{r}}={\dot{\gamma}{\textit{z}}}{\boldsymbol{j}} (24) 式中:
{\boldsymbol{j}} 为y方向的单位矢量;\dot \gamma = \left\langle {{{\dot \gamma }_{y{\textit{z}}}}} \right\rangle 。把
{\boldsymbol{v}}_{\mathrm{r}} 表达式代入式(18)得:D\frac{{{{\text{d}}^2}{{\overline \sigma }_{y{\textit{z}}}}}}{{{\text{d}}{y^2}}} + \dot \gamma {\textit{z}}\frac{{{{\text{d}}^{}}{{\overline \sigma }_{y{\textit{z}}}}}}{{{\text{d}}{y^{}}}} = 0 (25) 其解为:
{\overline \sigma _{y{\textit{z}}}}\left( {{\boldsymbol{r}}} \right) = A + B\exp \left( { - \frac{{\dot \gamma \varsigma y{\textit{z}}}}{{kT}}} \right) (26) 式中:A、B为常数。把式(26)代入到式(23)得:
\left\langle\sigma_{y\text{z}}\right\rangle_1=A+\frac{B}{V_1}\int_{V_1}^{ }\left(1-\frac{\dot{\gamma}\varsigma y{\textit{z}}}{kT}+\cdot\cdot\cdot\right)\mathrm{d}\boldsymbol{r}=A+B\left(1-\frac{2a^2\dot{\gamma}\varsigma}{5\text{π}}+\cdot\cdot\cdot\right)=A+B\exp\left(-\frac{2a^2\dot{\gamma}\varsigma}{5\text{π}}+\cdot\cdot\cdot\right) (27) 再把式(27)代入到式(22)得:
\eta \left( {\dot \gamma } \right) = \frac{A}{{\dot \gamma }} + \frac{B}{{\dot \gamma }}\exp \left[ { - C\frac{{\dot \gamma }}{{kT}}\eta \left( {\dot \gamma } \right)} \right] (28) 这一方程为非线性的。如果令
\eta \dot \gamma = X ,则上式变为:X = A + B\exp \left[ { - C\frac{X}{{kT}}} \right] (29) 对于同一温度T,此方程的解为
\eta(\dot{\gamma})=X=\mathrm{const} ,即:\eta \left( {\dot \gamma } \right) = \frac{{{\text{const}}}}{{\dot \gamma }} (30) 即随着应变率的增大,黏性系数与应变率成反比。这种依赖关系是在高速滑移条件下夹层湍流运动的结果。
目前,关于颗粒夹层高速滑移情况下的黏性特性的试验研究不足。因为正如前文所述,该问题涉及到夹层颗粒介质诸如温度升高、粒子碎化(纳米粒子的形成)、介质熔化、含碳酸钙介质的分解等物理化学现象,以及介质的湍流运动特性,且宏观黏性力分量和摩擦力分量交织在一起,试验时存在区分困难,数据缺乏等问题。
但是在高速滑移情况下的颗粒夹层运动类似于固体熔化体的运动和固体在高应变率条件下的快速类液体变形运动[52, 54-56]。对于熔化的玻璃流体运动可采用如下的应变率依赖黏性系数表达式[44]:
\eta \left( {T,\dot \varepsilon } \right) = {\eta _T}{\left[ {1 + \frac{{{\eta _T}\dot \varepsilon }}{{{\sigma _\infty }}}} \right]^{ - 1}} (31) 式中:
{\eta _T} 为温度为T时的黏性系数;{\sigma _\infty } 为熔化流体的最大强度。由上式可以看出,在高应变率时,黏性系数在大的应变率条件下具有式(30)那样的反比关系。图1展示了碳化硅、氧化铝的强度随应变率变化的情况[57]。在高应变率阶段,碳化硅、氧化铝的动态强度几乎不变,可以认为作为动力强度主要成分的黏性成分为常数,即
\eta \dot \varepsilon = {\text{const}} ,所以\eta \left( {\dot \varepsilon } \right) = {{{\text{const}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{const}}} {\dot \varepsilon }}} \right. } {\dot \varepsilon }} ,与式(30)符合。对照前面慢速滑移的分析结果,黏性系数
\eta=2\sigma^{\ast}\delta/3v=2\sigma^{\ast}/(3\dot{\gamma}) 。可以看到在慢速与快速滑移条件下黏性系数对于剪切应变率的依赖性一致。如果认为式(30)对于从低速滑移到高速滑移范围内都成立,那么式(30)中的常数应该为2\sigma^*/3 。这样就可以实现黏性系数的统一描述。但是目前在中间断层滑移速度情况下断层颗粒夹层黏性的理论与试验研究不足,因为该问题涉及到复杂的物理化学反应,以及颗粒夹层运动从层流到湍流的过渡,且宏观黏性力分量和摩擦力分量交织在一起,试验时不好区分。因此,需要在未来进一步深入研究。正如文献[44]所指出的那样,剪切应变率增大时黏性系数的降低是由材料结构在应变率条件下介质的内部结构动态变化引起的。在较低的断层滑移速度下,介质的松弛时间取决于力链的生存时间,而力链的生存时间与应变率成反比;而在高速滑移情况下,介质的松弛时间取决于涡旋的生存时间,而涡旋的生存时间也与应变率成反比,因而黏性系数随着应变率的增大而减小。
3. 结 论
本文中研究了慢速和高速滑移条件下断层颗粒夹层黏性系数的确定问题。对于颗粒夹层的慢速剪切滑移情况,力链起着关键的作用,必须考虑力链随着应变率的演化。为此采用介质的Maxwell松弛模型,即颗粒夹层应力增大与否取决于外部加载和由于力链破坏引起的滑移带扩展所致卸载的竞争。由此模型推得了力链长度对于剪切应变率、剪切带的有效扩展速度、颗粒介质强度的关系,进一步获得了剪切带的松弛时间和颗粒介质的黏性系数表达式,明确了颗粒介质固-液力学行为转换的条件。该模型包含了颗粒大小、断层滑移速度、颗粒介质强度、剪切模量、剪切应变率、剪切带的有效扩展速度,是有效的力链演化的力学模型。与已有试验数据的对比验证了该模型的正确性。对于高速滑移剪切,夹层介质中会发生诸如温度升高、粒子碎化(纳米粒子的形成)、介质熔化、含碳酸钙介质的分解等物理化学现象。断层颗粒夹层的粒子的运动为旋转模式主导,颗粒介质运动具有湍流特征。因此使用统计物理学来描述岩石颗粒之间的相互作用,得到了颗粒介质的黏性系数与剪切率成反比的结论。上述结果是由夹层颗粒介质结构在滑移条件下的动态变化引起的。在低速滑移情况下,介质的松弛时间取决于力链的生存时间;而在高速滑移情况下,介质的松弛时间取决于涡旋的生存时间。随着应变率增大,夹层的颗粒介质内部结构的生存时间减小,黏性系数也减小。
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