Study on compressive mechanical tests and constitutive models of cortical bone under different strain rates
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摘要: 皮质骨作为人体骨骼系统的重要组成部分,能有效分散与吸收外部冲击力,保护内部骨髓腔、周围软组织和器官不受损伤。为研究冲击载荷作用下皮质骨的力学响应,借助万能材料试验机和分离式霍普金森压杆装置对猪皮质骨开展了不同应变率下的准静态与动态压缩实验。采用超景深三维显微系统和数字图像相关技术观察了皮质骨的压缩形变特征,利用含损伤的黏弹性本构模型对实验数据进行了拟合,确定了模型中的本构参数。结果表明,皮质骨在压缩过程中表现为骨质裂纹的产生与扩展,其力学性能具有明显的应变率相关性,弹性模量、屈服应力和压缩强度随应变率的增大而显著提高。准静态加载时,应力-应变曲线包括弹性变形和塑性变形阶段;高应变率加载时,应力-应变曲线在应变小于0.2%时为弹性,随着压缩量的增加呈现高度的非线性,无显著塑性变形,表现出一定的黏弹性特征。实验曲线与本构模型理论曲线的对比表明,理论值与实验值的误差较小,本构模型能准确描述皮质骨在不同应变率下的压缩力学行为。研究成果可为人体冲击伤的救治与防护设计提供理论参考。Abstract: Cortical bone, as a critical component of the human skeletal system, effectively disperses and absorbs external impact forces, protecting the internal medullary cavity, surrounding soft tissues, and organs from damage. In order to investigate the mechanical response of cortical bone under impact loading, quasi-static and dynamic compression experiments were conducted on porcine cortical bone at varying strain rates using a universal material testing machine and a split Hopkinson pressure bar apparatus. The compression deformation characteristics of cortical bone were observed by employing ultra-depth three-dimensional microscopy and digital image correlation techniques. A viscoelastic damage constitutive model was applied to fit the experimental data, and the model parameters were determined. The results demonstrate that the compression process of cortical bone is characterized by the initiation and propagation of microcracks, and mechanical properties of the material exhibit significant strain-rate dependence. The elastic modulus, yield stress, and compressive strength increase significantly with increasing strain rates. Under quasi-static loading, the stress-strain curve consists of distinct elastic and plastic deformation stages. In contrast, under high-strain-rate loading, the stress-strain response remains purely elastic at strains below 0.2%, but transitions into a highly nonlinear regime with increasing compression. Notably, no significant plastic deformation occurs under dynamic loading, revealing pronounced viscoelastic behavior. Comparison between the experimental data and theoretical curves from the constitutive model shows good agreement, with minimal deviations between predicted and measured values. The model accurately captures the compressive mechanical behavior of cortical bone across different strain rates. This study provides theoretical references for the treatment of impact-induced human injuries and protective designs.
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Key words:
- cortical bone /
- impulsive load /
- viscoelastic /
- strain rate /
- constitutive model
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皮质骨作为人体骨骼的主要组成部分,占骨量的80%,分布于长骨两端以及短骨、扁骨和不规则骨的内部,凭借其卓越的抗压能力,能有效承载身体质量和抵御外部冲击[1-2]。近年来,在军事领域、交通事故和体育运动中,骨骼冲击损伤现象不断增加,致伤严重性、复杂性升级,主要表现为骨折、骨裂等,其损伤程度与冲击压缩下皮质骨力学性能密切相关[3]。因此,开展冲击载荷作用下皮质骨的压缩力学响应研究具有重要意义。
由于医学伦理等限制,无法对人体活体或尸体进行实验,学者们主要借助动物模型研究皮质骨的力学行为与特性。Sanborn等[4]借助万能材料试验机、液压控制试验机和分离式霍普金森压杆(split Hopkinson pressure bar,SHPB)装置,研究了皮质骨在不同应变率下的压缩力学行为,分析了应变率对骨强度的影响,结果表明,皮质骨各向异性,轴向强度高于横向强度,且在2个方向上均表现出应变率敏感性。Kulin等[5]研究了皮质骨在不同应变率加载条件下的裂纹扩展规律,探讨了准静态和动态骨折之间增韧机制的差异。安兵兵等[6]采用数字图像相关(digital image correlation,DIC)方法,开展了牛皮质骨的稳态裂纹和疲劳裂纹扩展实验,测定了裂纹尖端位置,研究了横向与轴向裂纹扩展断裂行为,获得了断裂韧度随裂纹扩展的变化规律。曾煊[7]分析了猪皮质骨的材料成分和微结构特征,开展了猪皮质骨准静态和动态压缩实验,探讨了应变率对其力学性能的影响。雷建银[8]利用SHPB装置研究了牛皮质骨在高应变率下的力学性能,通过扫描电子显微镜(scanning electron microscope,SEM)观察试件断口,阐明了其破坏机理。顾红跃[9]进行了牛皮质骨纳米压痕和三点弯曲测试,探究了股骨轴向位置和区域变化对材料参数的影响。翟乃川[10]对不同骨矿物密度的牛皮质骨开展了三点弯曲测试,采用材料参数反求方法,识别试件的弹性模量、屈服应力等,通过多重线性回归分析方法获得了骨微观结构和骨矿物密度对其力学特性的影响。蔡志华等[11]运用万能材料试验机和SHPB对牛股骨进行了不同应变率压缩实验,采用损伤型朱-王-唐(Zhu-Wang-Tang,ZWT)本构模型拟合实验数据,确定了本构模型参数。可见,科研人员在皮质骨力学性能实验和理论建模方面开展了大量工作,验证了实验手段的可行性,具有一定的借鉴意义,但其在宽泛应变率下的力学响应、损伤本构模型及其参数仍有待深入研究。
本文中,借助万能材料试验机和SHPB装置,开展猪皮质骨准静态和动态压缩实验,获得不同应变率(0.001~
2200 s−1)下的应力-应变曲线,利用超景深三维显微系统和DIC技术分析损伤形态,考虑应变率效应,建立含损伤的黏弹性本构模型,以期为人体的冲击损伤和防护设计提供理论参考。1. 实验方案
1.1 试件制备
猪在解剖学和生理学方面与人体相似[12],实验选用从12月龄成年活长白猪取下的新鲜股骨,并在24 h内完成测试,以保证骨结构中水分、钙等成分保存相对完整。试件制备时,将表面肌肉和筋膜组织去除干净,切除两端仅保留中段股骨体,沿股骨轴向分段取样。借助空心钻头在皮质骨区域进行加工,采用低切削速度和浓度为0.9%的生理盐水冷却,防止骨过热,使用湿砂纸打磨端面,保证试件端面平行度在0.1 mm范围内,避免压缩实验中出现应力不均,最终制成
∅ 4 mm×8 mm、∅ 4 mm×4 mm的试件,使用医用酒精擦拭试件,并将试件置于生理盐水中浸润。试件取样位置如图1所示,制作过程如图2所示。1.2 实验方法与过程
1.2.1 准静态压缩实验
借助万能材料试验机(CMT 5105,MTS)进行皮质骨准静态实验,使用高速摄像机(Memrecam ACS-1 M60,分辨率
1280 ×896,频率ν=1000 Hz)拍摄压缩过程,实验原理如图3所示,其中ds为试件直径,Ch0为轴向位移信号,Ch1为轴向力学信号, Ch2为压缩触发信号,Ch3为径向信号。为减小试件与压缩接触面之间切向摩擦力,在不影响压缩位移的情况下,试件上、下表面均涂有凡士林,分别以0.48、4.8、48 mm/min的加载速率压缩,直至试件断裂失效。同时,为减小实验过程中的随机误差,每组加载速率重复3次,记录载荷与位移,通过超景深三维显微系统(VHX-500, KEYENCE)观察压缩后试件形貌,万能材料试验机如图4所示,光学纤维系统如图5所示。根据实验所获得的加载力和位移,试件工程应力、工程应变和应变率[13-14]可表示为:
εe=s/ls (1) σe=F/As (2) ˙ε=v0/ls (3) 式中:εe为工程应变,s为压缩位移,ls为试件初始长度,σe为工程应力,F为压力,As为试件初始横截面积,
˙ε 为应变率,v0为加载速度。结合式(1)~(2),试件中的真实应力和真实应变可表示为:
εt=−ln(1−εe) (4) σt=σe(1−εe) (5) 式中:εt为真实应变,σt为真实应力。
1.2.2 动态压缩实验
利用SHPB装置开展皮质骨动态压缩实验,实验原理如图6所示,实验装置如图7所示。材料均为LC4硬铝合金,杆径为14.5 mm,压杆材料参数如表1所示,其中ρ0为密度,E0为弹性模量,c0为波速,I0为波阻抗。入射杆、透射杆均选用电阻应变片(灵敏度为2.1,阻值为120 Ω,BF120-5AA),分别贴于入射杆和透射杆中间位置,通过应变片与动态应变仪获得试件应变响应特性,并借助三维全场分析系统获得动态变形过程(PMLAB RDIC-3D,分辨率
1280 ×512,ν=27 kHz),三维全场分析系统如图8所示。实验前在试件表面喷涂哑光漆,制作均匀散斑,采集散斑位置数据进行DIC分析,制作散斑的试件如图9所示。实验过程中,试件与入射杆、透射杆的接触面通过涂抹凡士林保持初始接触,并确保试件中心与各杆轴心对齐。表 1 压杆材料参数Table 1. Material parameters of the pressure bar材料 ρ0/(kg·m−3) E0/GPa c0/(m·s−1) I0/(kg·m−2·s−1) LC4硬铝合金 2.7×103 70 5.05×103 1.36×107 SHPB实验过程中要求试件满足应力均匀性:
εi(t)+εr(t)=εt(t) (6) 式中:εi(t)、εr(t)、εt(t)分别为入射波、反射波和透射波对应的杆中应变。
通过入射杆、透射杆上的应变片与数据采集系统获得的应变信号,基于一维应力波理论,试件应变率(
˙ε )、应变(ɛ)和应力(σ)[15]可表示为:˙ε(t)=−2c0lsεr(t) (7) ε(t)=−2c0ls∫t0εr(t)dt (8) σ(t)=E0A0Asεt(t) (9) 式中:A0为压杆横截面积。
2. 实验结果与分析
2.1 准静态压缩实验
压缩速率为48 mm/min工况下,实验开始时计为t=0 s,皮质骨准静态压缩过程如图10所示。由图10可知,在轴向压缩载荷作用下,试件端面出现轻微剥落,沿股骨轴向出现裂纹,随着压缩位移的增大,裂纹扩展至贯通,试件发生完全破坏。图11给出了准静态压缩时3种不同应变率下的应力-应变曲线。可见,应力-应变曲线包括弹性变形和塑性变形阶段,且具有明显的应变率效应,弹性模量、屈服应力和压缩强度随应变率的增大而显著提高。当应变率分别为0.001、0.01和0.1 s−1时,加载初期的应力-应变呈线性关系,弹性模量分别为3.77、4.26、5.40 GPa;随着应力不断增大,试件出现屈服,随后试件出现破坏,极限应变分别为
0.0325 、0.0290 、0.0330 ,压缩强度分别为107.98、116.32、138.32 MPa。图12和图13分别为超景深三维显微系统观察的试件破坏情况和破坏面的表面结构。可见,皮质骨的破坏主要为沿股骨轴向断裂,将断裂面放大至200 μm时,从端面观察发现骨板出现圆弧状逐层向外分层现象,表明皮质骨为典型的板层结构,其由多个平行排列的骨组织组成,该结构增强了轴向强度,但垂直于此方向的横向强度在一定程度上下降。轴向断裂试件的内部断裂表面在多个方向具有微小管道结构,该结构为皮质骨提供外界营养,但降低了此处的断裂韧度,使裂纹在其内部更易扩展。2.2 动态压缩实验
为保证试件应力平衡和常应变率加载,选用
∅ 10.0 mm×1.5 mm的H62黄铜片作为脉冲整形器,进行了动态加载实验。图14给出了应变率为1 800 s−1时(撞击速度为17.74 m/s),整形后的入射、反射和透射波形,其中纵坐标U为惠斯通电桥输出电压。可见,波形整形器过滤了加载波中因直接碰撞引起的高频分量,减少了波在长距离传播中的弥散失真,平滑了加载波形,使入射波上升前沿变得平缓,上升时间显著增加,增大加载脉冲宽度,保证了试件应力平衡和均匀变形,反射波上升减缓,波形拉宽,实现了常应变率加载。图15为应变率为1 800 s−1时的应力平衡图。由图15可知,实验测得的透射波与由式(6)计算的透射波重合,进一步表明该实验过程满足应力均匀性要求。通过式(7)~(9)对SHPB实验数据进行处理,获得皮质骨试件在5种应变率下的动态压缩应力-应变曲线,如图16所示。由图16可知,在高应变率(≥102 s−1)加载时,皮质骨的应力-应变曲线在应变小于0.2%时具有线弹性特性[16],随着压缩量的增加呈现高度的非线性,无显著塑性变形,表现出一定的黏弹性特征。弹性模量可用变形初始阶段线性部分斜率表示,应变率分别为300、450、900、1 800和2 200 s−1时,弹性模量分别为14.5、15.3、16.5、19.8和22.9 GPa;进一步压缩后,曲线斜率下降,出现应变软化现象,直至试件破碎;极限应变分别为0.033、0.033、
0.018 、0.017 和0.013 ,压缩强度分别为167.97、184.88、184.37、192.01和194.28 MPa。与准静态实验相似,动态压缩应力-应变曲线表现出明显的应变率敏感性。在应变率为300和450 s−1时,应力-应变曲线中的AB段和CD段斜率接近,且随着应变率的增大,其在应力-应变曲线中未出现,表明该阶段试件裂纹迅速扩展,裂纹在扩展过程中应力增长速度基本一致,但应变率增大后缩短了该过程,导致其逐渐消失。
同时,可以看出应变率为900 s−1时的应力-应变曲线仍存在直线段,其破坏模式与300、450 s−1时相似,而应变率为
1800 、2200 s−1时直线段消失,具有相同的破坏模式,故选用900和1800 s−1时的皮质骨破坏过程开展分析,2种应变率下动态冲击压缩过程如图17~18所示,帧数分布图如图19~20所示。以形变前的1帧作为压缩过程的第1帧和皮质骨完全破坏为最后1帧作为横坐标,每帧间隔时间为0.037 ms。由图17~18可知,应力波的重复加载将动态压缩过程分为3个阶段,第1阶段为图17中Step 1~3、图18中的Step 1~2。冲击载荷作用下,试件内部骨密质的横向断裂韧度大于轴向断裂韧度(垂直于股骨轴向为横向),其轴向裂纹扩展不易发生偏斜且断面较平直,同时被裂纹剥离的外层骨板与透射杆接触处出现蜷曲现象。因此,骨密质表面出现明显裂纹,且大多为轴向裂纹。该阶段分别保持了0.296和0.148 ms,占压缩过程的29.6%和22.2%,如图19~20中的阶段Ⅰ所示。第2阶段为图17中Step 4~6、图18中的Step 3~6。轴向裂纹和横向裂纹持续扩展,随后彼此勾连,使试件一部分剥离为碎片,并从自由处溅射而出。该阶段冲击载荷不足以使试件完全破碎,仍有部分剩余,说明了骨密质从韧性断裂到脆性破坏的转变。试件分别压缩为初始长度的58.8%和67.2%,保持了0.481和0.296 ms,占压缩过程的48.1%和44.4%,如图19~20中的阶段Ⅱ所示。第3阶段为图17~18中Step 7~9。该阶段冲击载荷使剩余试件完全压缩,形成较小碎片,部分为粉末状。保持了0.222 ms,分别占压缩过程的22.2%和33.3%,如图19~20中的阶段Ⅲ所示。通过对比图19和20,结合应力-应变曲线可知,随着应变率的增大,第1阶段帧数减少,裂纹扩展速度增大,导致斜率较小的弹性变形段减少,黏弹性特征更显著。3. 本构模型
通过对皮质骨准静态和动态应力-应变曲线分析可知,其为黏弹性非线性率相关材料。为描述宽泛应变率范围内皮质骨的应变率相关特性,采用含损伤的改进黏弹性本构模型表征其力学行为。
3.1 黏弹性本构方程
Cloete等[17]提出了由1个非线性Kelvin-Voigt单元和2个带有非线性阻尼器的Maxwell单元组成的皮质骨黏弹性模型,可描述材料弹性响应(通过Kelvin-Voigt单元中的弹簧表示)和随时间变化的黏性响应(通过Maxwell单元中的弹簧-阻尼器组合表示),如图21[17]所示。
本构模型[17]可表示为:
σ(t)=E0ε(t)+ηp˙ε(t)p+∫t0Em˙ε(τ)me−(t−τ)θmdτ+∫t0En˙ε(τ)ne−(t−τ)θndτ (10) 式中:Em为第1个Maxwell单元的弹性常数,En为第2个Maxwell单元的弹性常数,ηp为非线性阻尼器黏度系数,θm、θn为所对应Maxwell单元的松弛时间,p、m、n分别为Kelvin-Voigt单元和2个Maxwell单元应变率项的指数(p表示变化的非线性,m、n表示皮质骨在高、低应变率下不同的应变率敏感性,其中m<1,n≥1),τ为积分变量。
3.2 含损伤的黏弹性本构方程
Cloete的黏弹性模型仅能描述黏弹性特性,无法描述材料屈服或破坏下的力学行为。结合DIC分析,引入损伤函数,建立了含损伤的黏弹性本构模型,其表达式为:
σ(t)=(1−D)[E0ε(t)+ηp˙ε(t)p+∫t0Em˙ε(τ)me−(t−τ)θmdτ+∫t0En˙ε(τ)ne−(t−τ)θndτ] (11) 式中:D为损伤因子,0≤D≤1。
D={0ε≤εthD0˙εa−1(ε−εth)bε>εth (12) 式中:εth为损伤演化的应变阈值,D0为初始损伤因子,a为应变率相关的指数因子,b为损伤应变指数因子。
应变阈值εth依赖于应变率,可通过实验拟合获得,其表达式为:
εth=0.03192−8.43×10−6˙ε (13) 松弛时间θm约为10~102 s,θn约为10−6~10−4 s,其将在各自有效影响区范围内发挥作用[20]。在低应变率时,高应变率响应的Maxwell单元在加载时出现松弛,高应变率积分项可忽略,如图22(a)所示,式(11)可简化为:
σ(t)=(1−D)[E0ε(t)+ηp˙ε(t)p+∫t0Em˙ε(τ)me−(t−τ)θmdτ] (14) 在高应变率时,撞击时间较短,低频响应来不及松弛,将第1个Maxwell单元当作弹簧处理,如图22(b)所示,式(11)可简化为:
σ(t)=(1−D)[E0ε(t)+ηp˙ε(t)p+Emε(t)m+∫t0En˙ε(τ)ne−(t−τ)θndτ] (15) 利用4组不同应变率下的实验数据(
˙ε =0.001、0.01、300、1 800 s−1),采用列文伯格-马夸尔特算法进行参数拟合,参数拟合结果如表2所示。其中a>1,表明随着应变率的增大,皮质骨的破坏应变减小,呈现冲击脆化,与实验观察的现象一致。表 2 含损伤的黏弹性本构模型参数Table 2. Parameters of the viscoelastic constitutive model with damageD0 a b E0 /MPa ηp /(MPa·s) Em /MPa θm /s En /MPa θn /s m n p 1.2 1.1 0.7 2.3×103 0.001 2.1×103 5.7×10−6 2.0×104 14.8 0.99 1.0 0.99 图23为拟合曲线与实验曲线的对比。因对连续变量进行拟合和预测,采用决定系数R2评价拟合结果,具体数值见表3。可见,含损伤的黏弹性本构模型在准静态和动态条件下,理论值与实验值误差较小,一致性较好,能较为准确描述皮质骨在不同应变率下压缩力学行为。
表 3 拟合决定系数R2 Table 3. Coefficient of determinationR2 ˙ε/s−1 0.001 0.01 0.1 300 450 900 2200 R2 0.997 0.999 0.982 0.996 0.990 0.984 0.998 4. 结 论
针对皮质骨抗冲击性能,对其开展了准静态和动态压缩实验,利用超景深三维显微系统和DIC技术分析了损伤形态,考虑应变率效应,建立了含损伤的黏弹性本构模型,得到如下主要结论。
(1) 准静态加载时,皮质骨应力-应变曲线包括弹性变形和塑性变形阶段,且具有明显的应变率效应,弹性模量、屈服应力和压缩强度随应变率的增加而显著提高。
(2) 在高应变率加载时,应力-应变曲线在应变小于0.2%时具有线弹性特性,随着压缩量的增加呈现高度的非线性,无显著塑性变形,表现出一定的黏弹性特征。弹性模量可用变形初始阶段线性部分斜率表示,进一步压缩后曲线斜率下降,出现应变软化,直至试件破碎,弹性模量、压缩强度均远高于准静态加载,表现出明显的应变率敏感性,但破坏应变随应变率的增大而减少,产生冲击脆化现象。
(3) 低应变率压缩破坏主要为沿股骨轴向断裂,骨板圆弧状逐层向外分层,试件断裂表面具有微小管道结构,该结构一定程度上降低了此处的断裂韧度,使其裂纹更易扩展。高应变率压缩时,轴向裂纹扩展不易偏斜且断面较平直,同时被裂纹剥离的外层骨板与透射杆接触处出现蜷曲,骨密质表面出现明显的轴向裂纹。随后,轴向裂纹和横向裂纹持续扩展,彼此勾连,试件最终形成较小碎片,部分为粉末状,并从自由处溅射而出。
(4) 利用含损伤的黏弹性本构模型对实验结果进行拟合,理论值与实验值误差较小,能较好表征皮质骨在低变率和高应变率下的压缩力学行为。
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表 1 压杆材料参数
Table 1. Material parameters of the pressure bar
材料 ρ0/(kg·m−3) E0/GPa c0/(m·s−1) I0/(kg·m−2·s−1) LC4硬铝合金 2.7×103 70 5.05×103 1.36×107 表 2 含损伤的黏弹性本构模型参数
Table 2. Parameters of the viscoelastic constitutive model with damage
D0 a b E0 /MPa ηp /(MPa·s) Em /MPa θm /s En /MPa θn /s m n p 1.2 1.1 0.7 2.3×103 0.001 2.1×103 5.7×10−6 2.0×104 14.8 0.99 1.0 0.99 表 3 拟合决定系数
R2 Table 3. Coefficient of determination
R2 ˙ε/s−1 0.001 0.01 0.1 300 450 900 2200 R2 0.997 0.999 0.982 0.996 0.990 0.984 0.998 -
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