Plastic flow properties and constitutive model of metallic materials under complex stress states
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摘要: 工程应用中，金属材料和结构往往处于复杂应力状态。材料的塑性行为会受到应力状态的影响，要精确描述材料在复杂应力状态下的塑性流动行为，必须在本构模型中考虑应力状态效应的影响。然而，由于在动态加载下材料的应变率效应和应力状态效应相互耦合、难以分离，给应力状态效应的研究和模型的建立造成很大困难。通过对Ti-6Al-4V钛合金材料开展不同加载条件下的力学性能测试，提出了一个包含应力三轴度和罗德角参数影响的新型本构模型，并通过VUMAT用户子程序嵌入ABAQUS/Explicit软件。分别采用新提出的塑性模型和Johnson-Cook模型对压剪复合试样的动态实验进行了数值模拟。结果表明，新模型不仅在对材料本构曲线的拟合方面具有较强的优势，而且由该模型所得到的透射脉冲和载荷-位移曲线均更加准确。因此，该模型能够更精确地描述和预测金属材料在复杂应力状态下的塑性流变行为。Abstract: Metallic materials are widely used in automotive, aerospace, energy, national defense, and other important fields due to their excellent mechanical properties. During service periods, metallic materials are generally subjected to complex stress states. Recent researches reveal that the plastic behavior of materials is affected by the stress state. Therefore, to accurately describe the plastic flow behavior of materials under complex stress states, the influence of the stress state must be considered in the constitutive model. Under dynamic loading, however, the effects of strain rate and stress state are coupled, which makes it difficult to study the effect of stress state and to establish a stress-state-dependent constitutive model. In this work, mechanical tests were performed under various loading conditions including uniaxial compression, uniaxial tension, and simple shear using the MTS universal testing machine and the split Hopkinson bars technique. The stress-strain curves of Ti-6Al-4V were obtained over a wide range of strain rates and temperatures. It is observed that stress states have an obvious effect on the plastic flow properties and work-hardening characteristics of the material. Based on the experimental results, a new constitutive model that incorporates the influence of the stress triaxiality and the Lode angle parameter was proposed. Under tensile or compressive loading conditions, the flow stress determined by the J-C model is significantly lower than the test results, while the present model can predict the flow stress accurately. To check the applicability of the proposed model, the dynamic experiment of a specimen under the compression-shear combined load was simulated by both the J-C model and the proposed model implemented in the ABAQUS/Explicit software via the VUMAT user subroutine. The results show that the present model exhibits a higher accuracy in the prediction of the flow stress curves. Moreover, this model can predict both the transmitted pulse and the force-displacement curves more accurately. Therefore, the new model can describe the stress state effect successfully and predict the plastic behavior of the material under complex stress states more precisely.
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Key words:
- stress state effect /
- stress triaxiality /
- Lode angle parameter /
- constitutive model
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弹体对蓄液结构的冲击与侵彻可能造成灾难性后果[1-2]，如高速破片对飞机油箱的冲击与侵彻将引起油箱的爆裂等破坏。爆破型水中兵器接触爆炸产生的大量二次高速破片，会对舰船舷侧防护液舱结构产生严重的侵彻破坏。并且，随着定向聚能爆破技术在水中兵器战斗部上的广泛应用，自锻弹丸等更对舰船水下防护液舱和防护纵壁构成了严重威胁。因此，关于高速弹体入水冲击载荷特性及蓄液结构破损问题有了大量的研究工作。J.H.McMillen等[3-4]对弹体入水冲击波传播特性进行了细致的研究。P.J.Disimile等[5]、D.Townsend等[6]、J.P.Borg等[7]对蓄液结构内冲击波载荷传递机理进行了研究。其中，D.Townsend等[6]、J.P.Borg等[7]建立了理论分析模型，并分别提出入射冲击波传播波速关系式及激波压力关系式。近年来，对油箱等特殊容器的防护有了研究。P.J.Disimile等[5]、D.Townsend等[6]分别通过在水箱内布置三角锥体及隔层薄板结构，以削弱入射冲击波载荷对后板的破坏。由上可知，通过大量的弹道实验，对冲击波在液体中的传播规律进行了详细的研究，但对蓄液结构所受压力载荷的作用过程及机理研究很少。本文中，采用瞬态非线性有限元，从载荷作用过程、前后板载荷特性及强度等对蓄液结构载荷特性进行分析，并根据其特性对前后板进行分区，建立每个分区的简化计算模型，研究初速度和水域尺度对载荷强度影响，还进行回归分析，力图揭示蓄液结构承受的冲击载荷特性，为高速弹体侵彻下蓄液结构的防护方法提供参考。
1. 有限元模拟
利用有限元软件LS-DYNA，建立高速弹体侵彻蓄液结构数值模拟。箱型蓄液结构尺寸为400 mm×400 mm×100 mm, 分为3个部分，即前板、后板、侧板，厚度分别为2、6、10 mm(见图 1)，材料采用Q235钢。弹丸采用圆柱形，弹径为14.5 mm, 长度为18 mm，质量为24.5 g。材料为45钢，弹体和面板采用8节点拉格朗日实体单元。为缩短计算时间，建立1/2对称模型。在撞击点区域网格加密处理，远离撞击区域网格逐步稀疏过渡。液体选用水，水域和空气域选用8节点实体单元，单元算法采用单点Euler/ALE多物质单元算法。并将空气域网格和水域网格共节点，以允许水介质的流动(见图 2)。弹体与水、板与水通过欧拉-拉格朗日罚函数耦合算法将结构与流体耦合。弹体采用Johnson-Cook本构模型, 蓄液结构采用Cowper-Symonds本构模型，水采用Grüneisen状态方程，气体状态方程为线性多项式。其中相关参数与文献[8]相同。
图 1 1/2蓄液结构计算模型示意图Figure 1. Sketch of finite element modelfor half liquid-filled structure2. 结果及分析
2.1 载荷作用过程
首先，弹体以初速v0穿透前板侵入液体、形成以撞击点为中心、向外传播的球型入射冲击波，如图 3(a)所示；侵入液体运动过程中，弹体首部与液体产生强烈的挤压作用，形成局部高压区(弹体前激波)，并与弹体以相同速度向前运动。冲击波在水中传播速度c=1 500 m/s，由于v0＜c，冲击波与局部高压区开始发生分离。由于弹体在液体运动过程中不停地振荡，因而形成一系列入射冲击波阵面，这与文献[3-4]一致，如图 3(b)所示；紧接着，入射冲击波传播至后板，沿着后板表面继续向两边传播，并同时形成反射波，如图 3(c)所示；随后，局部高压区运动至后板附近，对后板中心区域产生较大的局部压力载荷作用，如图 3(d)所示；然后，反射波作用于前板，并沿着前板表面继续向板两边传播，如图 3(e)所示；随着弹体继续向前运动，空化区域不断增加，而激波的传播也使液体远离弹体运动，空泡得以不断膨胀扩张，使液体内压力增加，对前后板不断挤压，前后板受到持续压力载荷作用，称为空化压力载荷。液体只对前后板真空区域附近产生局部的空化压力作用，液体的动能逐步转化为板的变形能，如图 3(f)所示；此阶段为空化压力载荷作用的主要阶段，一直持续至达到最大空泡尺寸时。之后，空泡开始逐步收缩，空化压力载荷作用迅速衰减。
图 3 弹体侵彻蓄液结构载荷作用过程(v0=1 000 m/s)Figure 3. Load process of the liquid-filled structure subjected to projectile penetration另外，随着初速度v0的增加，载荷作用过程基本相似。不同的是，入射冲击波与局部高压区分离时间延长。当1 500 m/s＜v0＜2 000 m/s时，局部高压将与入射冲击波先一同运动，当弹体速度衰减至波速c以下时，发生分离。当v0>2 000 m/s时，局部高压区与入射冲击波将在蓄水结构中无法分离，两者将一齐作用于后板，破坏能力大大增强。
2.2 载荷特性
由上可知，冲击波和空化压力等冲击载荷作用前后板时，作用面积均为环形，因而按照所受载荷特性的不同，将前后板分别划分为3个区域，如图 4所示。其中，x为前后板中线处坐标，x=0为撞击点。
2.2.1 前板
前板所受冲击载荷主要为入射冲击波作用、反射波作用、空化压力作用，压力峰值分别为pf、pr与pc。其中，空化压力峰值pc取整个过程平均值。区域Ⅰ，范围为x＜R1，主要集中在撞击点附近，受到巨大的入射冲击波作用。由于区域Ⅰ在反射波作用前板前，已快速形成真空区，因而不承受反射波载荷作用。同时，由于空化压力载荷作用远小于入射冲击波强度并持续时间极短，因而忽略空化压力载荷作用, 认为区域Ⅰ主要承受入射冲击波载荷作用，可以简化为三角形脉冲载荷，如图 5(a)所示。区域Ⅱ，范围为R1＜x＜Rf，Rf为前板最大空化半径。所受上述3种冲击载荷作用，但随着空泡径向尺寸的扩张，该区域进入真空区以后，不再承受空化压力作用，空化压力载荷作用时间较短，空化压力峰值pc相比于pf、pr也较小，因而区域Ⅱ可以简化为双三角形脉冲载荷，如图 5(b)所示。区域Ⅲ，范围为x＞Rf，也主要受到3种冲击载荷作用。与区域Ⅱ不同的是，由于区域Ⅲ在最大真空区以外，因而整个过程一直受到长时间的空化压力载荷作用，因而可以简化为双三角形脉冲载荷加矩形脉冲载荷，如图 5(c)所示。同时，区域Ⅲ与前板撞击点x=0距离较远，入射冲击波压力峰值pf已衰减至较小值，pf、pr与pc相差不大，但pf、pr作用时间极短，因而区域Ⅲ可进一步简化为长矩形脉冲载荷。
2.2.2 后板
后板所受冲击载荷主要分为3种，入射冲击波作用、局部高压作用、空化压力作用，压力峰值分别为pb、pj与pc。区域Ⅰ，范围为x＜R1，由于空化作用持续时间大致与入射冲击波、局部高压作用时间相同，时间极短，而压力峰值pb、pj是pc的约40倍，因而忽略空化压力载荷作用，认为区域Ⅰ主要承受两个部分压力载荷作用，即入射冲击波作用和局部高压作用，可以简化为双三角形脉冲载荷，如图 6(a)所示。区域Ⅱ，承受3种压力载荷作用，即入射冲击波、局部高压、空化压力载荷作用，范围R1＜x＜Rb，Rb为后板最大空化半径。随着x的增加，pj迅速衰减至零，与前板区域Ⅱ类似，该区域进入真空区后，不再承受空化压力作用，因而，此区域主要承受入射冲击波载荷作用，可以简化为三角形脉冲载荷，如图 6(b)所示。区域Ⅲ，承受两种压力载荷作用，即入射冲击波作用、空化压力作用，范围为x＞Rb。区域Ⅲ与后板撞击点x=0距离较远，入射冲击波已迅速衰减，其压力峰值pb与空化压力峰值pc相差不大，因而区域Ⅲ主要受到空化压力载荷作用。可以简化为三角形脉冲载荷加矩形脉冲载荷，如图 6(c)所示。与前板区域Ⅲ类似，后板区域Ⅲ可进一步简化为长矩形脉冲载荷。
2.3 载荷强度及影响因素
2.3.1 载荷强度
图 7为v0=1 000 m/s、L=100 mm时作用前板载荷产生比冲量I及压力峰值pm变化关系曲线。由图可知：随着x的增加，入射冲击波压力峰值及作用比冲量不断减小。反射波压力峰值和比冲量基本保持不变。由于区域Ⅰ在反射波作用前板前已形成真空区，反射波载荷对区域Ⅰ作用比冲量为零。空化压力载荷压力峰值pc在整个过程中基本维持不变，但随着x的增加，其持续作用时间不断增长，因而比冲量迅速增大。另外，由于入射冲击波强度随着x的增加衰减速度远大于反射波，在x≈110 mm处，反射波压力峰值大于入射冲击波压力峰值，反射波作用比冲量也大于入射冲击波。通过比较比冲量可知，区域Ⅰ和Ⅱ入射冲击波及反射波载荷比冲量远大于空化压力载荷，因而主要承受入射冲击波及反射波载荷作用。区域Ⅲ空化压力载荷作用比冲量最大, 入射冲击波及反射波比冲量较小，主要承受空化压力载荷作用。这与在前板载荷特性分析中得到的结论是一致的。
图 7 前板的比冲量及压力峰值(v0=1 000 m/s, L=100 mm)Figure 7. Specific impulses and peak pressures of the front plate图 8为作用后板载荷产生比冲量I及压力峰值pm变化关系曲线。由图可知：随着x的增加，入射冲击波和局部高压载荷压力峰值及作用比冲量不断减小。并且，局部高压比入射冲击波强度衰减更迅速，在x≈20 mm处时，其压力峰值小于入射冲击波。空化压力载荷压力峰值基本保持不变，但随着x的增加，载荷作用时间不断增加，比冲量不断增大。比较比冲量值可知，区域Ⅰ处入射冲击波和局部高压载荷作用比冲量巨大，因而主要承受入射冲击波及反射波载荷作用，他们使该区域预加巨大应力，极易产生穿甲破口，是蓄液结构后板破坏的主要载荷。区域Ⅱ局部高压作用比冲量已迅速衰减，但入射冲击波比冲量仍然较大，因而主要承受入射冲击波载荷作用。后板区域Ⅲ与前板区域Ⅲ相同，主要承受空化压力载荷作用。这与在后板载荷特性分析中得到的结论是一致的。
图 8 后板的比冲量及压力峰值(v0=1 000 m/s, L=100 mm)Figure 8. Specific impulses and peak pressures of the rear plate2.3.2 初速度影响因素
图 9为不同初速下作用前板载荷产生比冲量I及压力峰值pm变化关系曲线，图 10为不同初速下作用后板载荷产生比冲量及压力峰值变化关系曲线。结合两图可知：随着初速度的增加，前后板所受入射冲击波压力峰值及比冲量不断增加。反射波压力峰值及作用前板比冲量也是不断增大的。另外，随着初速度的增加，弹体在运动至后板时剩余速度也不断增大，因而局部高压压力峰值及作用后板比冲量也不断增大。空泡扩张随着初速度的增加而加快，因而空化压力载荷压力峰值略有增加。随着初速增加，最大空化半径Rf增幅不大，各区域划分面积基本不变。区域Ⅰ和Ⅱ由于迅速进入真空区，空化压力载荷持续作用时间减小，因而比冲量也不断减小。而区域Ⅲ由于在最大真空区以外，空化压力载荷作用比冲量不断增加。
图 9 不同初速下前板的比冲量及压力峰值Figure 9. Specific impulses and peak pressures of the front plate at different initial velocities
图 10 不同初速下后板的比冲量及压力峰值Figure 10. Specific impulses and peak pressures of the rear plate at different initial velocities综上可知，随着速度的增加，前后板载荷压力峰值及比冲量均不断增大，入射冲击波和局部高压载荷的增加尤其显著，这更进一步加剧了蓄液结构后板的破坏。另外，当弹体速度足够高时，局部高压与入射冲击波载荷在蓄液结构中无法分离，二者同时作用于后板，使其预加巨大应力，破坏能力大大增强。
2.3.3 水域尺度影响因素
图 11为不同水域长度L下作用前板载荷产生比冲量I及压力峰值pm变化关系曲线。由图可知：随着水域长度的增加，入射冲击波压力峰值及作用前板比冲量基本不变。随着在液体中传播距离的增加，反射波强度迅速衰减，因而压力峰值及比冲量大大减小。当L=300 mm时，反射波压力峰值与空化压力载荷峰值基本相同，在2 MPa左右。另外，随着水域长度的增加，空化载荷压力峰值基本保持不变，但弹体在水中运动开坑空化作用时间增加，因而空化压力载荷作用比冲量不断增加。
图 11 不同水域长度下前板的比冲量及压力峰值Figure 11. Specific impulses and peak pressures on the front plate at different lengths of waters图 12为不同水域长度下作用后板载荷产生比冲量I及压力峰值pm变化关系曲线。由图可知：随着水域长度L的增加，即入射冲击波在液体中传播距离的增加，其压力峰值迅速降低，因而作用于后板的比冲量也不断减小。同时，随着在液体中侵彻距离的增加，弹体运动至后板附近时剩余速度减小，因而局部高压压力峰值及比冲量不断减小。另外，随着水域长度L的增加，Rb基本呈线性不断减小。因而，后板真空区域大大减小。区域Ⅰ和Ⅱ范围大大减小，区域Ⅲ范围大大增加，空化压力载荷作用面积大幅增加，比冲量迅速增加。
图 12 不同水域长度下后板的比冲量及压力峰值Figure 12. Specific impulses and peak pressures on the rear plate at different lengths of waters综合可知：随着水域长度的增加，入射冲击波载荷、局部高压载荷压力峰值和比冲量迅速减小，而空化压力载荷作用比冲量不断增加，蓄液结构的抗侵彻能力和吸能能力得到了增强。水域宽度和高度方向对冲击波载荷特性影响不大，但空化压力载荷作用得到了增强。这是因为，随着蓄液结构宽度和高度方向的增加，前后板空化半径不断增加。因此，空泡膨胀至最大尺寸时间增加，即空化作用时间增加，空化压力载荷作用比冲量不断增加。
2.3.4 压力峰值回归分析
以上探究了初速和水域尺度因素对前后板载荷强度的影响，并进行了定性的分析。若要对载荷强度进行定量研究，直接运用波动理论比较困难，因而可进行回归分析。入射冲击波的压力峰值为p，弹体初速为v0，传播距离为r。随着入射冲击波的传播，波阵面的面积不断扩大，这就导致了冲击波的几何弥散现象，从而引起压力峰值的下降，可以考虑形式为p=kv20+bv0+crα。对于前、后板，传播距离分别为r=x、r=√L2+x2，前、后板所受入射冲击波压力峰值pf(Pa)关于传播距离r(m)、初速v0(m/s)的拟合关系式为：
pf=0.32v20+735.44v0−412983.27x1.39,pb=3.14v20−2283.56v0+783199.1(√L2+x2)1.76 vp(s)=v0e−3Cxρ1s/4dp,p1=ρ1cvp+ρ1S1v2p 式中：ρl为液舱内液体的密度；c为液体中声速，c=1 470 m/s; Sl为液体的Hugoniot系数，Sl=1.94；vp为弹体在液舱中的运动速度；Cx为阻力系数；dp为弹体直径。
弹体速度vp与初速v0、位移s(m)的拟合关系式为：
vp(s)=v0e−8.90s 因此，当弹体运动位移为s时，局部高压pl(Pa)关系式为：
p1=ρ1(cv0e−8.90s+S1v0e−17.8s) 3. 结论
(1) 阐述了冲击载荷作用全过程, 并按照前后板所受冲击载荷种类及过程的不同，将前后板主要分为3个区域，并建立了每个分区的简化计算模型。前、后板区域Ⅰ和Ⅱ主要作用载荷，分别为压力峰值高但持续时间极短的入射冲击波载荷，及入射冲击波-局部高压载荷作用，压力峰值较小但长时间的空化压力载荷为区域Ⅲ的主要作用载荷。
(2) 入射冲击波和局部高压载荷压力峰值及比冲量随着初速度的增大而迅速增大，当速度足够高时，二者在蓄液结构中无法分离，将一齐作用于后板，使其预加巨大应力，极易产生破口破坏。空化压力载荷主要使液体动能逐步转换为板变形能，使其弯曲变形。
(3) 水域尺度宽度和高度方向对冲击波载荷特性影响不大，但空化压力载荷作用得到了增强。水域尺度长度方向对冲击波载荷特性具有衰减作用，同时，也增强了空化压力载荷作用。
(4) 针对蓄液结构防护设计时，问题的关键在于如何削弱入射冲击波和局部高压载荷作用。
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图 4 不同应力状态下的等效应力-等效应变曲线
Figure 4. The equivalent stress-equivalent strain curves under different stress states
图 8 压缩试验结果与两种模型（J-C模型和新模型）结果比较
Figure 8. Comparison of the compression test results with the J-C model and the new model
图 9 拉伸试验结果与两种模型（J-C模型和新模型）结果比较
Figure 9. Comparison of the tension test results with the J-C model and new model
图 10 15°压剪试样和有限元模型示意图
Figure 10. Schematic diagrams of a 15° compression-shear specimen and the finite element model
图 11 模拟结果（J-C模型和新模型）与实验曲线对比
Figure 11. Comparison of the experimental and simulation results (J-C model and new model)
图 13 压剪试样在不同加载时刻的等效应力分布
Figure 13. Equivalent stress evolutions of the compression-shear specimen in the simulation
表 1 新模型材料常数
Table 1. Material constants of the new model
A/MPa B/MPa n C m cη η0 c1 c2 971.59 362.39 0.1298 0.0160 0.5839 0.0501 0 0.1692 0.4264 
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表 2 不同应力状态下新模型和J-C模型（根据剪切试验结果建立）与拉压试验结果的平均误差
Table 2. Average error of the new and J-C models under different stress states compared with the experimental results
应力状态 准静态加载误差/% 动态加载误差/% J-C model New model J-C model New model 单轴压缩 25.2 3.7 21.1 3.9 单轴拉伸 10.5 1.5 9.7 4.8
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表 3 有限元分析中各部件的物理参数
Table 3. Physical parameters of each component in the finite element analysis
部位 材料 ρ/
(g·mm−3)E/
GPaμ λ/
(W·m−1·°C)c/
(J·kg−1·°C)入射杆/透射杆 18Ni钢 8.0 190 0.3 − − 试样 Ti-6Al-4V 4.43 114 0.33 6.7 586
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