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垂直入射弹性波在压电体单侧接触界面上的传播特性

路桂华 赵曼 岳强

引用本文:
Citation:

垂直入射弹性波在压电体单侧接触界面上的传播特性

    作者简介: 路桂华(1970—),女,硕士,讲师;
    通讯作者: 岳强, yueqiang406@163.com
  • 基金项目: 山东省省级水利科研及技术推广项目 SDSLKY201305
    山东省交通科技项目 2013A09-04
    国家科技支撑计划项目 2015BAB07B05

  • 中图分类号: O343

Behavior of one-dimensional elastic waves at a unilateral contact interface between two piezoelectric solids

    Corresponding author: Qiang Yue, yueqiang406@163.com
  • CLC number: O343

  • 摘要: 弹性波与压电材料接触界面的相互作用问题是工程应用中常见而复杂的问题,入射波足够强会引起界面出现滑移和分离,但滑移和分离的边界未知,边界条件具有非线性特性。通过Fourier分析,将混合边值问题的求解转化为非线性代数方程,利用软件通过迭代修正的方法进行了求解;给出3种状态边界的求解,分析入射波强度、外加应力及电场对界面状态的影响,并对高频谐波的特性进行分析,通过实例对理论推导进行验证,结果显示:入射波强度、外加荷载和电场的大小及摩擦因数均会影响到界面,通过改变这些条件可以控制界面状态,另外检测高频谐波的信号也可以反映界面状态。
  • 图 1  一维弹性波透过压电介质摩擦接触界面的传播

    Figure 1.  Propagation of one-dimensional elastic wave through a frictional contact interface between two piezoelectric media

    图 2  界面张开位移与参数关系

    Figure 2.  Relation between the interface opening displacement and the parameter

    图 3  双侧解分布图

    Figure 3.  Distribution of bilateral solution

    图 4  各个状态区间的可能分布

    Figure 4.  Possible distributions of each state interval

    图 5  P波入射,分离状态分布区间与Pz/A3(0)的变化关系

    Figure 5.  Distribution of separation zones for different -Pz/A3(0) when the incident wave is P wave

    图 6  P波入射,分离、滑移和黏着状态分布区间随Tx/A3(0)的变化关系

    Figure 6.  Distribution of separation, slip, stick state zones for different Tx/A3(0)when the incident wave is P wave

    图 7  反射波幅值随Pz/A3(0)的变化关系

    Figure 7.  Distribution of the reflection wave's amplitude for different Pz/A3(0)

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出版历程
  • 收稿日期:  2015-09-10
  • 录用日期:  2016-01-18
  • 刊出日期:  2017-05-25

垂直入射弹性波在压电体单侧接触界面上的传播特性

    作者简介:路桂华(1970—),女,硕士,讲师
    通讯作者: 岳强, yueqiang406@163.com
  • 1. 山东农业大学水利土木工程学院, 山东 泰安 271018
  • 2. 石家庄铁道大学土木工程学院, 河北 石家庄 050043
基金项目:  山东省省级水利科研及技术推广项目 SDSLKY201305山东省交通科技项目 2013A09-04国家科技支撑计划项目 2015BAB07B05

摘要: 弹性波与压电材料接触界面的相互作用问题是工程应用中常见而复杂的问题,入射波足够强会引起界面出现滑移和分离,但滑移和分离的边界未知,边界条件具有非线性特性。通过Fourier分析,将混合边值问题的求解转化为非线性代数方程,利用软件通过迭代修正的方法进行了求解;给出3种状态边界的求解,分析入射波强度、外加应力及电场对界面状态的影响,并对高频谐波的特性进行分析,通过实例对理论推导进行验证,结果显示:入射波强度、外加荷载和电场的大小及摩擦因数均会影响到界面,通过改变这些条件可以控制界面状态,另外检测高频谐波的信号也可以反映界面状态。

English Abstract

  • 界面广泛存在于自然介质及工程结构中,弹性波与界面相互作用一方面会引起界面的失稳或破坏, 另一方面界面会改变波的传播方向使波发生反射和折射, 或者阻碍波的传播形成波的衰减和波形改变。关于波与界面相互作用问题的研究多集中于几种界面模型:完好黏结界面模型、弱连接界面及界面层模型和接触界面模型。接触界面只能承受压力而不能承受拉力, 因而是一种单侧约束的界面模型。K.Sazawa等[1]最早将界面的摩擦定律写成线性形式,当不考虑界面相对滑移速度时得到弹簧滑移模型,卢文波[2]利用该模型研究了应力波与岩石中可滑移解理面的相互作用问题。但是大家知道库伦摩擦不是线性而是非线性模型,特别是与速度无关的干摩擦问题线性模型更是不适用的。Y.Chevalier等[3]假定整个界面在不分离状态下处于滑移状态,建立了滑移状态模型。李夕兵[4]利用该模型分析了应力波在岩体软弱结构面上的传播问题。但是一般情况下入射波是脉冲波,界面应力非均匀,界面会发生局部分离和滑移,因此上述模型也不适用。对黏着、滑移及分离区域应该分别建立边界条件,但黏着、滑移和分离状态的边界未知,边界具有很强的非线性,因此增加了问题的难度。考虑单一型波(P波或SV波)入射,M.Comniou等[5-7]较早采用该模型研究了波与接触界面的相互作用问题,他们的研究大多针对无限大介质和各向同性介质。Y.S.Wang等[8-11]、于桂兰等[12]、李楠等[13]将M.Comniou等的方法推广应用到覆层和夹层中的传播问题中,后来又进一步研究了摩擦接触界面上波的再极化问题及各向异性介质摩擦接触界面与波的相互作用问题。综上所述诸多学者的研究主要针对普通纯弹性材料。压电介质与纯弹性介质相比,由于力电耦合特性的存在,使类似问题的求解增加了难度。白玉柱等[14-15]对一维弹性波在压电材料光滑接触界面中的传播问题进行了研究,而对摩擦接触界面至今鲜有讨论。对于压电材料弹性波斜入射(二维)摩擦接触界面问题[16]由于总是伴随有非均匀平面波的出现,问题的解由奇异积分方程控制,这与一维波问题或纯弹性介质的情况有很大的区别。路桂华等[17]曾对一维P波入射问题进行过简单介绍,没做深入研究和详细分析。

    本文中针对一般垂直入射弹性波与压电材料摩擦接触界面相互作用问题进行了较深入讨论,通过Fourier分析的方法,将问题的求解转化为非线性代数方程的求解。通过迭代和修正,确定界面上分离、滑移和黏着3种区域的分布范围,并讨论随外加力/电荷载的变化规律。同时计算了面力、相对滑移速度等参量以及由于边界非线性而引起的反射和透射的高频谐波幅值。

    • 图 1所示, 2个相接触的半无限大各向同性压电弹性体,接触面遵循库仑摩擦定律,忽略运动锁定效应(即:动、静摩擦因数fkfs相同),设摩擦因数fk=fs=f,远处受压应力p、剪应力τ1和电场E1E3作用。有一沿z轴的平面波垂直于界面入射(n=0表示),当入射波强度足够大时界面会交替出现黏着、滑移、分离这3种不同状态,但状态边界未知,这导致问题的边界非线性,使得系统对单一入射波的响应将包括所有的高频成分,因此会产生高频谐波。图中n=1, 2和n=3, 4分别代表反射波和透射波,cijeijεijρ分别为下半平面的弹性常数、压电常数、介电常数及密度,cijeijεijρ分别为上半平面相应的材料常数。

      图  1  一维弹性波透过压电介质摩擦接触界面的传播

      Figure 1.  Propagation of one-dimensional elastic wave through a frictional contact interface between two piezoelectric media

      假定为平面应变问题,采用图 1所示的坐标系,其z轴为压电介质的极轴。对于横观各向同性压电介质一维问题,可取入射波为任一类型的平面简谐波,形式如下:

      $ \left( {{u^{\left( 0 \right)}},{w^{\left( 0 \right)}},{\varphi ^{\left( 0 \right)}}} \right) = {A^{\left( 0 \right)}}\left( {d_1^{\left( 0 \right)},d_2^{\left( 0 \right)},d_3^{\left( 0 \right)}} \right){\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ {\exp \left[ {{\rm{i}}{k_0}\left( {z - {c_0}t} \right)} \right]} \right\} $

      式中:uwφ分别为xz方向的位移分量和电势标量,A为振幅,(d1, d2, d3)为位移极化矢量,k0为波数。不失一般性取A(0)为实数。反射波及折射波的形式可记为:

      $ \left( {{u^{\left( n \right)}},{w^{\left( n \right)}},{\varphi ^{\left( n \right)}}} \right) = {A^{\left( n \right)}}\left( {d_1^{\left( n \right)},d_2^{\left( n \right)},d_3^{\left( n \right)}} \right){\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ {\exp \left[ {{\rm{i}}{k_0}\left( {{p^{\left( n \right)}}z - {c_0}t} \right)} \right]} \right\}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \\ n = 1,2,3,4 $

      接触界面上z=0,ik0(p(n)zc0t)=-ik0c0t,令η=-k0c0t,设界面面力分量为Sx(η)、Sz(η),电位移分量为Dz(η),界面的相对滑移速度为Vx(η),界面张开速度为Vz(η),界面张开位移为g(η)。

      接触界面上面力和电位移连续,除此之外还应建立如下边界条件[18]

      (1) 分离状态:

      $ \begin{array}{*{20}{c}} {g\left( \eta \right) > 0,}&{{S_x}\left( \eta \right) = {S_z}\left( \eta \right) = 0} \end{array} $

      (2) 滑移状态:

      $ \begin{array}{*{20}{c}} {g\left( \eta \right) = 0,}&{{S_z}\left( \eta \right) < 0,}&{\left| {{S_x}\left( \eta \right)} \right| = f\left| {{S_z}\left( \eta \right)} \right|} \end{array} $

      $ \begin{array}{*{20}{c}} {{V_z}\left( \eta \right) = 0,}&{{\rm{sign}}\left( {{V_x}} \right) = {\rm{sign}}\left( {{S_x}} \right)} \end{array} $

      (3) 黏着状态:

      $ \begin{array}{*{20}{c}} {g\left( \eta \right) = 0,}&{{V_x}\left( \eta \right) = 0,}&{{S_z}\left( \eta \right) < 0,}&{\left| {{S_x}\left( \eta \right)} \right| < f\left| {{S_z}\left( \eta \right)} \right|} \end{array} $

      电边界条件采用可导通电边界条件,即:Dz+=Dz, Δφ=0,其中+、-号分别代表界面上下边界,Δφ为电势差。根据横观各向同性压电材料本构关系及几何关系可知,电边界条件自动满足。另外,以下分析中,由弱条件${V_z}(\eta ) = \dot g(\eta ) = 0$代替g(η)=0,并确保张开位移在接触状态消失。

    • 同文献[12]将问题的解分解为一个完好黏结情况下的双侧解和一个表征单侧性质的修正解。其中双侧解以上标b来表示,如u(b);修正解以上标波浪线来表示,如${\tilde u}$。完好黏结情况下,界面力双侧解可以写成如下形式:

      $ \begin{array}{*{20}{c}} {S_x^{\left( {\rm{b}} \right)}\left( \eta \right) = A_1^{\left( 0 \right)}\sin \eta ,}&{S_z^{\left( {\rm{b}} \right)}\left( \eta \right) = A_3^{\left( 0 \right)}\sin \eta } \end{array} $

      式中:A1(0)=k0c44d1(0)A(0)A3(0)=k0(c33+e332/ε33)d2(0)A(0)

      考虑到边界非线性将引起高频谐波,修正解可写成包含所有频率的傅立叶级数的形式:

      $ \left( {{{\tilde u}^{\left( n \right)}},{{\tilde w}^{\left( n \right)}},{{\tilde \varphi }^{\left( n \right)}}} \right) = \left( {d_1^{\left( n \right)},d_2^{\left( n \right)},d_3^{\left( n \right)}} \right){\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ {\sum\limits_{m = 1}^\infty {F_{\rm{m}}^{\left( n \right)}\exp \left[ {{\rm{i}}m{k_0}\left( {{p^{\left( n \right)}}z - {c_0}t} \right)} \right]} } \right\}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \\ n = 1,2,3,4 $

      式中:Fm(n)为未知系数。令Fm=Dm+iEmDmEm为实数。根据接触界面上应力连续可推出:

      $ \begin{array}{*{20}{c}} {F_{\rm{m}}^{\left( 3 \right)} = {\lambda _1}F_{\rm{m}}^{\left( 1 \right)},}&{F_{\rm{m}}^{\left( 4 \right)} = {\lambda _2}F_{\rm{m}}^{\left( 2 \right)}} \end{array} $

      式中:${\lambda _1} = {c_{44}}{p^{(1)}}{({{\bar c}_{44}}{p^{(3)}})^{ - 1}}$${\lambda _2} = ({c_{33}} + e_{33}^2/{\varepsilon _{33}}){p^{(2)}}{\left[ {\left( {{{\bar c}_{33}} + \bar e_{33}^2/{{\bar \varepsilon }_{33}}} \right){p^{(4)}}} \right]^{ - 1}}$则外力作用下界面力为:

      $ {S_x}\left( \eta \right) = {T_x} + A_1^{\left( 0 \right)}\sin \eta - {k_0}{c_{44}}{p^{\left( 1 \right)}}\sum\limits_{m = 1}^\infty {m\left[ {D_{\rm{m}}^{\left( 1 \right)}\sin \left( {m\eta } \right) + E_{\rm{m}}^{\left( 1 \right)}\cos \left( {m\eta } \right)} \right]} $

      $ {S_z}\left( \eta \right) = {P_z} + A_3^{\left( 0 \right)}\sin \eta - {k_0}\left( {{c_{33}} + e_{33}^2/{\varepsilon _{33}}} \right){p^{\left( 2 \right)}}\sum\limits_{m = 1}^\infty \\ {m\left[ {D_{\rm{m}}^{\left( 2 \right)}\sin \left( {m\eta } \right) + E_{\rm{m}}^{\left( 2 \right)}\cos \left( {m\eta } \right)} \right]} $

      式中:${T_x} = \tau _1^\infty + {e_{15}}E_1^\infty $, ${P_z} = - {p^\infty } - {e_{33}}E_3^\infty $。界面滑移和张开速度:

      $ \begin{array}{*{20}{c}} {{V_x}\left( \eta \right) = {U_x} + \frac{{{\rm{d}}{{\tilde u}^{\left( 3 \right)}}}}{{{\rm{d}}t}} - \frac{{{\rm{d}}{{\tilde u}^{\left( 1 \right)}}}}{{{\rm{d}}t}}}\\ { = {U_x} + {k_0}{c_0}\left( {{\lambda _1} - 1} \right)\sum\limits_{m = 1}^\infty {m\left[ {D_{\rm{m}}^{\left( 1 \right)}\sin \left( {m\eta } \right) + E_{\rm{m}}^{\left( 1 \right)}\cos \left( {m\eta } \right)} \right]} } \end{array} $

      $ {V_z}\left( \eta \right) = {k_0}{c_0}\left( {{\lambda _2} - 1} \right)\sum\limits_{m = 1}^\infty {m\left[ {D_{\rm{m}}^{\left( 2 \right)}\sin \left( {m\eta } \right) + E_{\rm{m}}^{\left( 2 \right)}\cos \left( {m\eta } \right)} \right]} $

      式中:Ux为整体滑移速度,${U_x} = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \pi }^\pi {{V_x}(\xi )} {\rm{d}}\xi $

      下面分别针对分离、滑移、黏着这3种不同的状态,讨论问题的求解。

    • 根据边界条件式(3)结合式(10)~(13)可得:

      $ {V_z}\left( \eta \right) = q\left( {{P_z} + A_3^{\left( 0 \right)}\sin \eta } \right) $

      式中:$q = {c_0}({\lambda _2} - 1){\left[ {\left( {{c_{33}} + e_{33}^2\varepsilon _{33}^{ - 1}} \right){p^{(2)}}} \right]^{ - 1}}$

      界面张开位移:

      $ g\left( \eta \right) = - {\left( {{k_0}{c_0}} \right)^{ - 1}}\int {{V_z}\left( \eta \right){\rm{d}}\eta } = q{\left( {{k_0}{c_0}} \right)^{ - 1}}\left( { - {P_z}\eta + A_3^{\left( 0 \right)}\cos \eta - L} \right) $

      若设η∈(δ1, δ2)为分离状态,则g(δ1)=g(δ2)=0,因此:

      $ L = - {P_z}{\delta _1} + A_3^{\left( 0 \right)}\cos {\delta _1} = - {P_z}{\delta _2} + A_3^{\left( 0 \right)}\cos {\delta _2} $

      根据η的周期性,只需在η的一个周期内,如(-π, π),讨论问题的求解。图 2所示为A3(0)>0和A3(0) < 0时,g(η)和η关系图。

      图  2  界面张开位移与参数关系

      Figure 2.  Relation between the interface opening displacement and the parameter

      由弱条件${V_z}(\eta ) = \dot g(\eta ) = 0\;$代替g(η)=0。从图可以判断,当A3(0)>0时,$\dot g\left( {{\delta _2}} \right) = 0$,由此可判断在η∈(δ1, δ2)区间内g(η)>0,(δ1, δ2)为分离区。根据式(14),令Vz(δ2)=0可以得到:

      $ \begin{array}{*{20}{c}} {\sin {\delta _2} = - {P_z}/A_3^{\left( 0 \right)}}&{{\delta _2} > {\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \end{array} $

      δ1可由式(16)求解获得,且δ1 < π/2。

      同理当A3(0) < 0时:sinδ1=-Pz/A3(0)δ1 < -π/2,δ2由式(16)求得,且δ2>-π/2。

    • 式(10)~(13)结合边界条件式(4)可推出:

      $ {a_0}{V_x}\left( \eta \right) = {a_0}{U_x} + {T_x} + A_1^{\left( 0 \right)}\sin \eta \pm f\left( {{P_z} + A_3^{\left( 0 \right)}\sin \eta } \right) $

      式中:a0=c44p(1)[c0(λ1-1)]-1

      确定滑移状态区间的条件有2个:(a)区间2个端点Vx(η)=0;(b)区间内Sz(η) < 0,sign(Vx)=sign(Sx)。首先根据双侧解估计滑移状态区间的可能分布。图 3为压应力和剪应力(-π, π)内的分布示意图。图中可以看出当η=±π/2时压应力取得极值,而剪应力也取得极值,推测在η=±π/2附近可能出现滑移状态。当A3(0)>0时,估计各个区间的可能分布如图 4所示。忽略库仑摩擦的运动锁定效应(即动静摩擦因数相等),在滑移范围两端有Vx(η)=0。根据式(18),在(-π/2, π/2)内可能得到2个根,记为η1η2,则:

      $ \begin{array}{l} \sin {\eta _1} = \left( { - {a_0}{U_x} - {T_x} - f{P_z}} \right)/\left( {A_1^{\left( 0 \right)} + fA_3^{\left( 0 \right)}} \right)\\ \sin {\eta _2} = \left( { - {a_0}{U_x} - {T_x} + f{P_z}} \right)/\left( {A_1^{\left( 0 \right)} - fA_3^{\left( 0 \right)}} \right) \end{array} $

      图  3  双侧解分布图

      Figure 3.  Distribution of bilateral solution

      图  4  各个状态区间的可能分布

      Figure 4.  Possible distributions of each state interval

      当2个根为实根时,令α1=min(η1, η2),α2=max(η1, η2),β1=-π-α1β2=π-α2,则区间(β1, α1)和(α2, β2)即为可能的滑移状态区间;当只有一个实根时,说明只有一个滑移状态区间,并可根据条件判定是(β1, α1)还是(α2, β2);当无实根时有2种可能情况:当$\left| {{T_x}} \right| + \left| {A_1^{\left( 0 \right)}} \right| < f\left( {\left| {{P_z}} \right| - \left| {A_3^{\left( 0 \right)}} \right|} \right)$时界面为完全黏结无滑移状态,当$\left| {\left| {{T_x}} \right| + \left| {A_1^{\left( 0 \right)}} \right|} \right| > f\left( {\left| {{P_z}} \right| - \left| {A_3^{\left( 0 \right)}} \right|} \right)$时界面处于连续滑移无黏结状态。式(18)~(19)是非常复杂的非线性方程组,直接求解比较困难的,通过Matlab软件给出了数值解。

    • 式(10)~(13)结合边界条件式(6)可推出得界面面力:

      $ \begin{array}{*{20}{c}} {{S_x}\left( \eta \right) = {T_x} + A_1^{\left( 0 \right)}\sin \eta + {a_0}{U_x},}&{{S_z}\left( \eta \right) = {P_z} + A_3^{\left( 0 \right)}\sin \eta } \end{array} $

      由边界非线性引起的反射及透射高频谐波幅值分量可由式(9)~(13)推出,高频谐波的幅值(其中一次谐波幅值不含双侧解的贡献):

      $ \begin{array}{*{20}{c}} {\left| {F_{\rm{m}}^{\left( n \right)}} \right| = \sqrt {{{\left( {D_{\rm{m}}^{\left( n \right)}} \right)}^2} + {{\left( {E_{\rm{m}}^{\left( n \right)}} \right)}^2}} }&{n = 1,2,3,4} \end{array} $

    • 取上、下半空间为同一种各向同性材料BaTiO3,材料参数为:c11=150 GPa,c13=66 GPa,c33=146 GPa,c44=44 GPa,e13=-4.35 C/m2e15=11.4 C/m2e33=17.5 C/m2ε33=111.5×10-10 C/(V·m),ε11=128.3×10-10C/(V·m),ρ=5700 kg/m3,库仑摩擦因数取为f=0.2。以P波入射为例进行分析,设入射波幅值为A3(0)=k0(c33+e33/ε33)2d(0)A(0)=a0/f

      只有P波入射时,考虑到问题的对称性不会产生剪应力,因此不会有滑移状态产生,只有分离和黏着2种状态交替。图 5所示为Tx/A3(0)=0时,分离状态分布区间与Pz/A3(0)的变化关系图。根据η的周期性,前文中理论分析部分是在[-π, π]之间进行讨论的,考虑到η=-k0c0t为负值,算例分析中将取值周期改为-η方向,并将曲线调整到周期全为正值的区间内,同时横坐标除以周期2π,代表在一个整周期内的变化规律,因此图 5的横坐标取为-η/2π。图 5中[δ1, δ2]为分离状态分布区间,[0.5, δ1]和[δ2, 1.5]为一个周期内黏着状态分布区间。Ⅰ代表不同Pz/A3(0)值对应的分离状态分布区间变化时组成的区域。从区域Ⅰ的规律可看出,当|Pz/A3(0)| < 1时,分离状态才开始产生,分离状态区间的范围随|Pz/A3(0)|的减小而增大。当|Pz/A3(0)|>1时压应力足够大界面不会分离。图中还可以看出入射波相位只影响分离状态的分布位置,而不会影响分离区间的大小,其大小只与入射波强度有关。

      图  5  P波入射,分离状态分布区间与Pz/A3(0)的变化关系

      Figure 5.  Distribution of separation zones for different -Pz/A3(0) when the incident wave is P wave

      当有外加剪力作用时,会导致界面产生滑移。图 6(a)所示为Pz/A3(0)=-0.5时,黏着、滑移和分离这3种状态分布区间与Tx/A3(0)的变化关系曲线。图中[δ1, δ2]为分离状态分布区间,[α2, δ1]与[δ2, β2]为滑移状态分布区间。Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别代表不同Tx/A3(0)值对应的分离、滑移和黏着状态分布区间变化时组成的区域。从图中可以看出分离状态区间始终为一定值,这说明分离状态的分布只与等效外加压力有关,而与外加剪力的大小无关。随|Tx/A3(0)|的增大,滑移状态区间增大,当|Tx/A3(0)|超过0.13时整个界面处于滑移状态和分离状态交替产生而无黏着状态存在的情况。

      图  6  P波入射,分离、滑移和黏着状态分布区间随Tx/A3(0)的变化关系

      Figure 6.  Distribution of separation, slip, stick state zones for different Tx/A3(0)when the incident wave is P wave

      图 6(b)所示为Pz/A3(0)=-1.5时,各种状态分布区间与Tx/A3(0)的关系曲线。因为压力足够大界面不会分离。[α2, β2]为滑移状态分布区间,Ⅰ代表不同Tx/A3(0)值对应的滑移状态分布区间变化时组成的区域。当|Tx/A3(0)| < 0.1时,不足以克服摩擦阻力无滑移状态产生,当|Tx/A3(0)|>0.1时,滑移状态开始出现,并且其分布区间随|Tx/A3(0)|的增大而增大,增大至0.3时界面发生连续滑移。滑移状态的分布与Tx的方向无关,只与其大小有关。

      针对图 5所示的情况,图 7给出了反射波的一次(仅含单侧解)及二次谐波的振幅随Pz/A3(0)的变化曲线。图中$\left| {F_{\rm{m}}^{\left( 0 \right)}} \right| = \frac{{2\pi {k_0}{c_0}\left| {{F_{\rm{m}}}} \right|}}{{qA_3^{\left( 0 \right)}}}$,是一个有关入射波幅值的比值,与入射波幅值有关。从图中可以看出随着|Pz/A3(0)|增大,一次谐波的幅值逐渐减小至零,二次谐波的幅值先增大而后逐渐减小到零。这是因为|Pz/A3(0)|为零时整个界面处于分离状态,入射波被完全反射;而|Pz/A3(0)|>1时整个界面处于完好黏着接触状态,入射波完全透射过去(因为2个半空间取同种材料)。这2种情况下均不会有高频谐波产生。图中反射二次谐波的幅值曲线也正好验证了这一特性。根据式(9)可知,透射和反射高频谐波的幅值只相差一比例常数,所以它们的性质完全一样。

      图  7  反射波幅值随Pz/A3(0)的变化关系

      Figure 7.  Distribution of the reflection wave's amplitude for different Pz/A3(0)

    • (1) 弹性波垂直摩擦接触界面入射时会引起界面发生分离或滑移。分离区和滑移区的大小和分布与外加荷载、入射波强度及摩擦因数等有关。

      (2) 外加压应力Pz和剪应力Tx均为等效外加应力,包括电场分量。因此可知外加电场通过改变外加机械荷载的作用效果而影响界面的状态。不同方向的外加电场作用时会起到促使或抵制界面分离和滑移的作用。

      (3) 分离和滑移状态产生时确实会导致高频谐波产生。P波入射在摩擦接触界面上产生反射和透射高频P波,若等效的外加剪力为零,则不会产生高频SV波,即不会发生波形畸变。同样SV波遇到界面后也不会发生波形畸变,即不会产生反射和透射P波。

参考文献 (18)

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